對中學數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想的探討

[摘 要]數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學教學中的一種重要思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，將代數(shù)問題與圖形相互轉(zhuǎn)化，達到代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。但不少教師在教學中以形輔數(shù)，將抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀圖形問題，很少從形載數(shù)，簡化分析過程。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形；規(guī)律；簡化；蹊徑

數(shù)形結(jié)合能將抽象的數(shù)學語言與直觀圖形結(jié)合起來，以“形”輔 “數(shù)”，解題直觀、迅速、正確，以“數(shù)”助“形”，解題簡捷。在解決幾何問題時，注意各因數(shù)間的數(shù)量關(guān)系，巧用代數(shù)式，可彌補想象的不足，有些問題僅從“數(shù)”中觀察很難入手，但如果把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形，借助形的生動和直觀可直接反應(yīng)數(shù)量關(guān)系。

一、以數(shù)輔形簡化思路

不少幾何圖形，可以借助代數(shù)加以簡化，達到更為簡便地分析過程，從而更為簡捷地找到解題思路。

例1：如圖1，已知正方形的邊長是a cm，求陰影部分的面積。此題的解法很多，最簡便的方法是割補法，還可以用正方形的面積減去四個空白的面積，或是先算出一片葉子形的面積，學生不易理解。若借助方程思想，解法會出其不意。

解：設(shè)每片葉子形的面積為x，每個空白的面積為y，根據(jù)圖形得：4x+4y=a2 （1） 2x+y= ？仔（ ）2 （2）

這道題通過二元一次方程，簡化了分析過程，比用一般方法容易多了，思路清淅，把數(shù)寄托于形中，相得益彰。

二、以形助數(shù)提示規(guī)律

有些代數(shù)問題，蘊涵著豐富的圖形因素，教學中加以挖掘，用圖形來呈現(xiàn)，形象直觀顯示解題的規(guī)律。

例2：使 + 取最小值的實數(shù)x的值為多少？

這道題用配方法很難求出代數(shù)式的最小值，聯(lián)想到由于 + = + ， 可看作x與2的直角三角形的斜邊， 可以看作直角邊分別為（8-x）與4的直角三角形的斜邊，要使其和最小，應(yīng)該使這兩條斜邊成為一直線上的線段。于是借助圖形，將問題轉(zhuǎn)化，構(gòu)造成圖形，轉(zhuǎn)化為一個熟悉的情景。

三、數(shù)形互助開辟蹊徑

把含有明顯的幾何意義的代數(shù)問題，構(gòu)造符合典型的幾何圖形，把幾何圖形與代數(shù)緊密結(jié)合起來，數(shù)形互助，能開辟解題蹊徑。

例3：已知：0

化簡不等式左邊也可得證，但比較繁雜，可引導(dǎo)學生用簡便的方法去求解，觀察所給代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，含有明顯的幾何意義，若能結(jié)合不等式左邊式子的特點，將數(shù)的形式與形的特征聯(lián)系起來構(gòu)想，你會發(fā)現(xiàn)其形式與勾股定理相吻合，從而想到構(gòu)造直角三角形，利用“形”的特點來幫助解決“數(shù)”的問題。不等式左邊的每一項都可以視為一個直角三角形的斜邊，所證的四個二次根式之和大于或等于2 ，可以看作分成兩組線段之和不小于 即可，而 可以由邊長為1 的正方形的對角線作出來。

此題充分挖掘了數(shù)形結(jié)合的巧妙構(gòu)想，發(fā)揮了邏輯思維和形象思維的互助功能，打破常規(guī)的思維定勢，培養(yǎng)學生細心觀察、大膽猜想以及于思考問題的綜合解題能力。

責任編輯 潘中原