圓中輔助線作法的舉例探究

楊林

【摘? 要】? 圓中輔助線的作法較多，作圖時要充分利用圓的幾何要素，串聯圓中的幾何特性來構建模型，如連接弦心距、連接圓心與切點、作直徑所對的圓周角等.本文具體講解其中常見的三種輔助線作法，并結合實例加以探究.

【關鍵詞】? 圓；輔助線；弦心距；圓心；直徑

圓綜合題的破解過程通常需要作輔助線，將圖形特性顯現出來，串聯問題條件.實際作輔助線時有一些技巧可利用，可立足幾何圓的特征，把握圓心、直徑、弦長等幾何要素，通過作輔助線來構建特殊模型，下面舉例探究三種圓中輔助線的作法.

作法探究一? 遇弦作弦心距

對于與弦相關的圓問題，作輔助線時常添加弦心距或者作垂直于弦的半徑（或直徑），再連接過弦的端點的半徑.后續解題時有三種破解思路：一是利用垂徑定理進行分析；二是利用圓心角及其所對弧、弦和弦心距之間的關系進行分析；三是利用弦的一半、弦心距和半徑構造直角三角形，進而利用勾股定理來分析相關量.

例1? 如圖1所示，已知AB是圓O的直徑，弦CD交AB于點E，∠CEA=30°，OE=4，DE=，求弦CD及圓O的半徑長.

解析? 本題目中CD為圓O的一條弦，求弦長及圓O的半徑，可把握弦這一特殊線段，作弦心距.即過點O作OM⊥CD于點M，再連接OD，如圖2所示，根據垂徑定理推理.

已知∠CEA=30°，則∠OEM=∠CEA=30°.

在Rt△OEM中，OE=4，

所以OM==2，

EM==.

又知DE=，

可推得DM=DE-EM=.

由于OM過圓心，OM⊥CD，

則CD=2DM，

所以CD=.

在Rt△DOM中，OM=2，DM=，

由勾股定理可得OD=，

即弦CD的長為，⊙O的半徑長為.

評析? 上述問題以圓為背景，主要考查垂徑定理和直角三角形特性.圖形中給出了弦長，作輔助線時采用了“遇弦作弦心距”的策略，并結合圓的半徑構建了直角三角形，通過解直角三角形求解線段長.對于與弦、半徑、弦心距相關的問題，常作半徑、作弦心距，構造直角三角形來輔助分析.

作法探究二? 遇切線連圓心和切點

當圓中問題要求證明某一直線為圓的切線時，可以采用“連圓心和切點”的策略，具體解題時可采用如下兩種思路：

思路一? 有點連圓心，即當直線和圓的公共點已知時，可聯想切線的判定定理，只要將該點與圓心相連接，再證明該半徑與直線垂直；

思路二? 無點作垂線，若條件中未告知與圓之間的交點，可聯想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，只需證明圓心到垂足的距離等于半徑即可.

例2? 如圖3所示，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在上，且與點A、B不重合.若∠P＝26°，則∠C的度數為? ? ? ? ?.

解析? 本題目中設定PA與⊙O相切于點A，后續要求進行角度分析，顯然可以采用“遇切線連圓心和切點”的策略.

連接AO并延長交⊙O于點D，連接DB，如圖3虛線所示.

已知PA與⊙O相切于點A，則∠OAP=90°.

又知∠P=26°，則∠AOP=90°﹣∠P=90°﹣26°=64°，

所以∠D=.

點C在上，且與點A、B不重合，

所以∠C=∠D=32°，即∠C的度數為32°.

評析? 上述求解圓中的角度，題目設定直線與圓相切，故求解時采用了“遇切線連圓心和切點”的策略，把握圓心和切點這兩個特殊點，構建直角三角形，后續即可利用直角三角形的性質來推導角度.

作法探究三? 遇直徑作直徑所對的圓周角

遇到圓中設定其直徑，求線段相關問題時，可添加直徑所對的圓周角，從而得到直角或直角三角形，后續利用圓周角定理和直角三角形性質來探究突破.

例3? 如圖4所示，AB為⊙O的直徑，且AB=10，C為⊙O上一點，AC平分∠DAB交⊙O于點C，AE=6，AD⊥CD于點D，F為半圓弧AB的中點，EF交AC于點G.

（1）求CD的長；

（2）求EG的長.

解析? 本題目中設定了圓中的直徑AB，后續求解線段長，可基于該直徑作所對的圓周角，利用圓周角定理和直角三角形性質來求解.

（1）連接EB，OC交于點M，如圖5所示.

已知AC平分∠DAB交⊙O于點C，

則∠DAC=∠BAC，

所以弧CE=弧BC，

可推得OC⊥BE，EM=BM.

又AO=BO，則OM=AE=3.

因為AB為⊙O的直徑，

所以BE⊥AD.

又AD⊥CD于點D，

所以四邊形MCDE是矩形，

所以CD=EM=BM，

在△OBM中，OB=5，OM=3，

可求得BM=，即CD=4.

（2）過G作GR⊥AD于點R，GS⊥BE于點S，如圖5所示.

設GR=x，F為半圓弧AB的中點，

可推知∠AEF＝∠BEF，

所以GR=GS.

因為S△AEB=，

所以，

可解得x=2，則可求得EG=.

評析? 上述題目以圓為背景構建復合圖形，解題時要把握“AB為圓的直徑”這一特征，依托圓上的點E作輔助線，構建圓周角，后續利用圓周角定理、勾股定理來推導線段長.圓周角定理是求解圓問題的重要定理，學習時要深刻理解該定理，掌握圓周角作圖的技巧.

總之，上述具體探究了圓中輔助線的三種作法，分別從圓中弦、圓切線、圓直徑三種情形來探究作輔助線的思路.探究學習時要注意以下兩點：一是深刻理解作圖的依據，掌握作圖建模的技巧；二是注意總結其中的性質定理，活用定理轉化條件，推導分析.