數學中幾道實際問題的探究

【摘 要】數學就在我們身邊，她是科學的語言，是一切科學和技術的基礎，是我們思考和解決問題的工具。在數學中得到的訓練和修養會很好地幫助我們學習其他理論，數學素質的提高對于個人能力的發展至關重要。

【關鍵詞】數學素養 數學建模

數學就在我們身邊，每個人每天都在自覺與不自覺中使用著數學，無論他是否懂數學。數學處處都能派上用場，小至日常瑣事的處理，如農村大媽買菜賣菜，大到神舟宇宙飛船遨游太空，離開數學都將一事無成。大家都知道，農民沒有農具不能種田，工人沒有工具不能做工，軍人沒有武器不能打仗。我們學習數學手里也需要有工具，但是這里的“工具”是指概念、定義、定理、公理和公式等一些硬件式的東西。我們有了這些工具，接著就要探究思維方法，包括邏輯方法和具體的解題方法。數學能力的形成源于數學工具與思維方法的合成。當然靠機械地做題、考試是不能提升素質與能力的，最重要的是如何將知識轉化成為個人的素質與能力。

科學家本杰明。富蘭克林死后留下的財產只有1000英鎊，但竟留下一份分配幾百萬英鎊財產的遺囑。遺囑如下：“一千英鎊留給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英鎊，那么這筆應該托付給一些挑選出來的人，他們把這錢按每年5﹪的利率借給一些年輕的手工藝者去生息。這款子過了100年增加到31000英鎊，我希望，那時候用100000英鎊來建立一所公共建筑，剩下的31000英鎊拿去繼續生息100年，在第二個100年末了，這筆款增加到4061000英鎊，其中1061000英鎊還是由波士頓居民來支配，而其余300000英鎊讓馬薩諸塞州的公眾來管理，過此之后我可不敢多作主張了。”富蘭克林的這個遺囑顯然不是信口開河，這個問題用指數函數來解是行的通的。

把實際問題用數學語言抽象概括，再從數學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關于實際問題的數學描述就是數學模型。具體函數的應用在生活中有很多體現，重點是運用一次函數，二次函數，分段函數，指數函數，對數函數和冪函數來解決問題。 數學模型剔除了事物中一切與研究目標無本質聯系的各種屬性，在純粹狀態下研究數量關系和空間形式，函數就是最重要的數學模型，用函數解決方程問題，使求解變得容易進行，這是數學模型間的相互轉換在發揮作用。而用函數解決實際問題，則體現了數學模型是聯系數學與現實世界的橋梁。

這道題是對數據進行函數模擬，選擇最符合的模擬函數，就一般的數學建模來說，是離不開假設的，如果在問題的原始狀態下不作任何假設，將 所有的變化因素全部考慮進去，對于稍復雜一點的問題就無法下手了。假設可以進一步明確模型中需要考慮的因素和它們在問題中的作用。通常，初步接觸一個問題，會覺得圍繞它的因素非常多，經仔細分析篩查，發現有的因素并無實質聯系，有的因素是無關緊要的，排除這些因素，問題則越發清晰明朗。在假設時就可以設這些因素不需考慮。一般情況下，是先在最簡單的情形下組建模型，然后通過不斷地調整假設使模型盡可能地接近實際，得到更滿意的解。

我們可以先建立三種投資方案所對應的模型，在通過比較他們的增長情況，為選擇方案的依據。

解：設第 天的回報為 元，則方案一可以用 進行描述，方案二可以用 進行描述，方案三可以用 進行描述，要對三個方案進行選擇， 就要對增長情況進行分析。作出相應的圖形，發現當自變量變得很大時，指數函數比一次函數增長得快。

在沒有給出具體模型的問題中建立函數模型，函數圖像是分析問題的好幫手。首先畫出散點圖，然后根據散點圖描繪出函數草圖，聯想熟悉的函數圖象預測可能的函數模型，最后要檢測所求函數模型與實際誤差的大小，在多個模型中選擇最優模型。根據原始數據、表格，繪出散點圖；通過考察散點圖，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線，這就是關于函數擬合與預測的主要步驟。如果所有實際點都落到了擬合直線或曲線上，每一個點都不漏下，那么這將是個十分完美的事情。但在實際應用中，這種情況是不可能發生的。因此，使實際點盡可能均勻分布在直線或曲線兩側，使兩側的點大體相等，得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了。根據所學函數知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式。利用函數關系式，根據條件對所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據。

【參考文獻】

[1]《普通高中課程標準實驗教科書數學必修1教師教學用書A版》.

[2]《狀元筆記教材詳解高中數學必修1》，科學出版社.