反思一道方程應用題的錯解

由于課改，初中階段的應用題很顯著的一個特點就是遠離了枯燥繁瑣的計算，遠離了抽象的邏輯思維、數量關系的分析，而密切聯系生活實際，注重了在實際問題情景中，考查學生建立數學模型解決問題的能力。

筆者在多年的教學實踐中，曾多次遇到學生怕于正面對待方程應用題，大量的學生在解決此類問題時總會出現這樣那樣的一些問題，導致解決問題的過程中漏洞百出。在一次測驗中曾有這樣一題：

“暑假期間，小明到父親經營的小超市參加社會實踐活動。一天，小明隨父親從銀行換回來58張，共計200元的零鈔用于顧客付款時找零。細心的小明清理了一下，發現其中面值為1元的有20張，面值為10元的有7張，剩下的均為2元和5元的鈔票。你能否用所學過的數學方法算出2元的和5元的鈔票各有多少張嗎？請寫出演算過程。”

就此題而言是一道非常好的應用題：巧妙的將數量關系融入在學生所熟悉的日常生活情景（零錢兌換）之中，且問題充分體現人性化“你能否用所學過的數學方法算出2元的和5元的鈔票各有多少張嗎？請寫出演算過程”。據閱卷場抽樣調查發現得分率相當低：大量的錯卷，大量的空白。造成如此境況，不得不引起我們數學教育者的重視和反思！

歸納起來，學生在解答此題時，錯誤情況大致有以下幾種情形，現逐一列舉并分析如下：

錯誤一：不設未知數就直接列出方程解答，讓人一頭霧水。

例：“解：2x+5（58-20-x）=110。”這種錯誤是學生的基本解題習慣不具備造成的，說明了我們平時對學生的訓練量不足，或是對學生的指導不到位。

錯誤二：不能準確的設出未知數。

如，“設分別為x張”，而所列方程又為“2x+5（58-20-x）=110”

又如，“設分別有x、y張”。而所列方程組為又是正確的。為：

這種錯誤在于設未知數時表述不準確，導致指向不明，也不能算完全正確。這也暴露出我們教師在平時的教學中對學生的訓練要求不嚴謹，不規范；或是學生自身不具備科學嚴謹的態度。

錯誤三：未知數設正確了，但只列出了一個方程。

如：“設面值2元的有x張，面值5元的有y張”而列出的方程是：“2x+5y=110”。這種錯誤的原因是只找出并只找對了一個數量關系，另外人民幣的張數這個數量關系沒有找出來，沒有建立好方程。這也許是學生對二元方程的應用的基本模式沒有把握造成的，或許也是因為學生由于考場上的緊張而造成的失誤。

錯誤四：未知數設正確了，看題不仔細，或是明顯筆誤，造成失分。

把“7”當成了1，所列出的其中一個方程為： “20+1+x+y=58”；把“7”當成了10，所列出的其中一個方程為：“20+10+x+y=58” 。這種錯誤是典型的粗心造成的，學生弄懂了題意，心中建立了數量關系模型，但沒有把相關數據厘清或是在書寫中筆誤導致錯解，實感不值！

錯誤五：學生采用列舉法，花了很大篇幅，但沒有得到正確答案。

一考生答題過程如下：

“解：剩下的2元和5元總鈔票價值為200-20-10×7=110元。

∵剩下的面值為2元鈔和5元鈔。

∴2元鈔的張數只能為5，10，15，20，25，30，35，40，45，50這10種可能。

∴與之相對應的5元鈔的張數分別為20張，18張，16張，14張，12張，10張， 8張，6張，4張，2張。

答：2元和5元的張數為：（5，20），（10，18），（15，16），（20，14），（25，12），（30，10），（35，8，）（40，6），（45，4），（50，2）。”

該考生的思路是很清晰的，想試圖通過列舉法找出他們的公共解（交集）。但遺憾的是其答案是錯誤的。其根本原因是只顧尋求人民幣的總額為110元這個條件，而忽略了“總張數為58張（2元和5元的張數為31張）”這個條件。犯了顧此失彼的錯誤。

反思：這些應用題中的常見錯誤，為什么屢禁不止？學生的答卷中為何頻繁出現？對于應用題教學，我們教師究竟該教給學生什么？

解決策略：

一、學習習慣的培養不容忽視。

我們要將學生的學習習慣培養貫穿于整個數學課堂教學，包括讀題習慣，思維習慣，書寫習慣，考試習慣，答題習慣等等。比如，對于解決一道應用題時，首先應準確設出未知數，以免造成學生不設未知數就列方程；同時應強調細節，該規范的盡量規范，如設未知數時應帶好單位，解答完后要準確寫出答語等。實踐證明，學生的習慣來源于教師的反復糾正強調、督促訓練，功夫在平時，專靠考前的強調或是臨時一兩天的集訓是不會有效果的。

二、明確應用題的教學目標。

數學課標中指出“學生將學習方程和方程組、不等式和不等式組、函數等知識，探索數、形及實際問題中蘊涵的關系和規律，初步掌握一些有效地表示、處理和交流數量關系以及變化規律的工具，體會數學與現實生活的緊密聯系，增強應用意識，提高運用代數知識與方法解決問題的能力，能夠根據具體問題中的數量關系，列出方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型。”

三、解決問題的能力培養在課堂。

在我們的教學中“應注重讓學生在實際背景中理解基本的數量關系和變化規律，注重使學生經歷從實際問題中建立數學模型的過程。”

同時，“教學應結合具體的數學內容采用\"問題情境-建立模型-解釋、應用與拓展\"的模式展開，讓學生經歷知識的形成與應用的過程，從而更好地理解數學知識的意義，掌握必要的基礎知識與基本技能，發展應用數學知識的意識與能力，增強學好數學的愿望和信心。”

另外，“教學中要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化，尊重學生在解決問題過程中所表現出的不同水平。問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的策略，并引導學生在與他人的交流中選擇合適的策略，豐富數學活動的經驗，提高思維水平。”

在方程應用題的教學中，學生感到最困惑的地方在于無法根據問題情景抽象出數量關系，即建立等量關系。造成此現象的原因大多在于讀不懂題。像以上所列舉的試題，在考場上，時間緊再加上此題的字數較多，會造成學生心理緊張，考生往往在慌亂中隨意讀題就下筆。如果平時的訓練不到位，肯定會造成這種窘況！