數學學習過程視角下課程標準的比較與啟示

在加拿大，教育是由聯邦、省和地方政府共同監管的，各省可以自行制定課程標準，也可若干個省共用一個課程標準.正因如此，加拿大有包括安大略省課程標準在內的四個課程標準.

由于安大略省有不少華人聚居城市，這就使得安大略省與中國的歷史文化背景有許多相似之處.也正因如此，基于比較而審視加拿大安大略省的數學課程標準（以下簡稱《安大略課標》）和我國《義務教育數學課程標準（2011年版）》以下簡稱《課標2011》，其意義應該是顯見的.限于篇幅，本文僅以“數學學習過程”為視角，比較《安大略課標》和《課標2011》的異同，并基于比較而給出《課標2011》的若干修訂建議.

1 《安大略課標》關于數學學習過程的論述

正如著名比較教育專家埃蒙德·金（Edmund J.King）所說：“比較研究的意義在于以信息為根據解釋背景、決策和實現機會之間的相互作用.那就是為什么那些進行比較的人必須很好地了解據以作出教育決策的哪些重要的背景和場合的理由.”因此，本文先羅列《安大略程標》中關于數學學習過程的內容.

數學學習過程在《安大略課標》中是這樣定義的：數學學習的過程是數學學習的重要組成部分.它是一個學生通過推理、猜測、判斷解答、闡明和精煉思維、反思學習過程來自主構建知識的理解過程.并且，這些過程在數學學習中相互連接和關聯.

據此，《安大略課標》中將數學學習過程具體劃分為七個進程：問題解決，解決問題策略的選擇，推理與證明，反思，選擇工具和計算策略，內容的連續、表征，交流，并較為詳盡地描述了這七個進程的作用以及具體實施方法.

2 《課標2011》關于數學學習過程的論述

嚴格而言，《課標2011》并沒有對數學學習過程給出明確的界定，當然也就沒能如《安大略課標》那樣對數學學習過程作出具體的進程劃分.

但相關研讀表明，《課標2011》事實上也將數學學習過程劃分成與《安大略課標》類似的具體進程.只不過，這些相關的表述相對零散地分布于《課標2011》的不同位置.

3 基于數學學習過程的《安大略課標》與《課標2011》比較

如前所述，《安大略課標》將數學學習過程具體劃分為：問題解決，解決問題策略的選擇，推理與證明，反思，選擇工具和計算策略，內容的連續、表征，交流等七個學習進程.這意味著，完整意義上的比較，應該全面涵蓋上述七個具體的學習進程.同樣限于篇幅，本文僅就“問題解決”、“解決問題策略的選擇”、“反思”等三個方面對《安大略課標》與《課標2011》展開比較，以期“窺一豹而知全身” .

3.1 問題解決比較

《課標2011》中，關于問題解決的表述，并不像《安大略課標》一樣作為獨立的模塊進行敘述，而是分散在不同要求細則中.主要體現在：課程和教材設計、課程實施的教學評價、教學建議等方面提到培養學生解決問題的能力.

兩個課標中相關表述的分布如表1所示.

《課標2011》中規定：課程設計思路必須“重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程.”其中，新增加的“綜合與實踐”中也有明確要求：“在學習活動中，學生將綜合運用“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”等知識和方法解決問題.“綜合與實踐”的教學活動應當保證每學期至少一次，可以在課堂上完成，也可以課內外相結合.

由此可見， 《課標2011》雖然沒有如《安大略課標》一樣，對數學學習過程中對“問題解決”的作用系統呈現，但卻以“能否運用數學知識來解決問題”來評價學生是否掌握數學能力和思想.

據此，從某種程度上可以認為，兩個課標對“問題解決”的重視程度應該是基本一致的.

3.2 問題解決的策略選擇比較

在我國數學教育研究中，數學學習過程中的解決問題策略選擇主要可以分為兩種：具體的策略和抽象思維的策略.具體的策略常見的有：畫圖、制表、檢驗、逆向思維、列方程等；抽象思維的策略主要有：分析與綜合、歸納與演繹和類比等思想方法.[4]

研讀發現，《課標2011》中，對“問題解決的策略選擇”相關描述主要出現在：數學思想、教學關系、學生學習評價、課程開發利用等內容中.并且，還給出了具體的解決問題的策略選擇的應用例題.

首先，在《課標2011》中表示：“通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律（策略選擇）.”

其次，在教學中應當注意的幾個關系中有所提及：“問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的策略，并引導學生通過與他人的交流選擇合適的策略，豐富數學活動的經驗，提高思維水平.”

再次，在對學生進行評價時，《課標2011》指出：“教師可以關注不同的層次，值得注意的是：學生解決問題的策略可能與教師的預設有所不同，教師應給予恰當的評價.”

最后，《課標2011》還強調：“在課程資源開發與利用建議中：將信息技術作為學生從事數學學習活動的輔助性工具.為此，可以引導學生積極有效地將計算器、計算機用于數學學習活動之中幫助自己形成解決問題的基本策略和方法等.”

值得指出的是，在《課標2011》中，還以例題的形式體現出對“問題選擇策略思想”的要求.

筆者注意到，《安大略課標》在這一方面的做法是，通過具體的問題解決，將解決的方法一一列舉出來，藉此呈現“問題選擇策略思想”，并相應羅列學生需要掌握的知識和方法.顯然，這是把數學看成解決問題的一種工具.

基于上述解讀，可以認為，《課標2011》更加注重在不同方面，通過評價和教學設計等不同的數學學習過程，以達到培養學生的問題解決策略的思想和能力，體現問題解決的策略選擇思想.

3.3 反思的比較

《課標2011》主要在課程總目標、綜合實踐、評價建議中提到反思的數學學習過程.

首先，在“課程總目標”中，對“問題解決”初步形成評價與反思的意識.強調能針對他人所提的問題進行反思，初步形成評價與反思的意識.“情感態度”養成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣，形成實事求是的科學態度.

其次，在“綜合與實踐”中通過學生對數學知識的應用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學知識之間的聯系，獲得數學活動經驗.學生應學會反思參與活動的全過程，將研究的過程和結果形成報告或小論文，并能進行交流，進一步獲得數學活動經驗.引導學生在參與數學活動的過程中積累基本經驗，幫助學生形成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等良好的學習習慣.在實施過程中，教師要注意觀察、積累、分析、反思，使“綜合與實踐”的實施成為提高教師自身和學生素質的互動過程.

最后，《課標2011》在“評價建議”中指出通過評價得到的信息，可以了解學生數學學習達到的水平和存在的問題，幫助教師進行總結與反思，調整和改進教學內容和教學過程.通過這種形式總結自己的進步，反思自己的不足以及需要改進的地方，汲取他人值得借鑒的經驗.條件允許時，可以請家長參與評價.“教材內容的‘過程性’呈現”讓學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應用.

在這一方面，《安大略課標》與《課標2011》的關注角度與重視程度基本相似.

4 基于比較所得的《課標2011》修訂與使用的啟示

如果說“數學教育研究的主要目的應是促進實際的數學教育活動，或是達到更高的理論水平.”那么比較《安大略課標》與《課標2011》在數學學習過程方面的“優劣”之后，一個有價值的體現應該是基于比較所得的《課標2011》修訂與使用的啟示.

4.1 系統地呈現數學學習過程，將“問題解決”其融入教學目標之中

《課標2011》是我國統一的數學課程標準，但其對數學學習的過程卻沒有很明確的論述和界定.

關于問題解決，《課標2011》將其零散體現在課程和教材設計過程、相關課程實施的教學評價和教學建議之中，并不像《安大略課標》一樣作為獨立的模塊進行敘述.這樣分布的零散、界定的不明確，可能導致以下兩種結果：第一，教師容易忽略相關要求，沒有將數學學習進程融入教學目標之中；第二，教師對數學學習過程的理解不到位，對“問題解決”單純的理解為解決數學問題，而對問題解決能夠帶來的作用效果一無所知.

顯然這些結果對數學課程的開展，學生的數學學習過程非常不利.因此，如果不能像《安大略課標》一樣，把數學學習過程獨立出來分為不同的模塊闡述，至少也要對重要的數學學習進程進行界定，列出描述“問題解決”、“策略選擇”、“反思”等學習進程的作用與方法.

4.2 注重培養學生問題解決的能力，把數學作為一種工具

在我國，對于如何培養學生解決問題的能力這一問題上，國內的數學教育工作者也進行了大量的研究，指出：“問題”的設置，應注重“現實性”、“開放性”和“生成性”.

筆者認為，問題“現實性”可以結合《安大略課標》中的“數學知識的應用意識和運用數學來聯系實際”，注意問題所蘊含的實際現實背景；“開放性”則應該關注“可以共享方法和策略”，問題必須給學生提供交流的機會；“生成性”可以和《安大略課標》中“批判性思維、問題概念的理解能力，以及對數學的分支概念和技能賦予意義”相結合.

基于此，應該認識到，問題解決不僅是學習數學的一個目標，而且應該作為學習數學的一種主要方式融入課堂教學之中.

4.3 明確“反思”的數學學習進程界定，將“反思”融入課堂教學

對數學學習的“反思”是在具體開展教學過程中非常容易受到忽視的內容.因此，教師更應注重將“反思”的數學學習進程更好地融入自己的課堂教學.對此，通過與《安大略課標》的比對研究，筆者提出以下幾種措施以供參考.

首先，教師可以加強引導學生“反思”解決問題的另一個方法（如：一題多解），通過對問題的變式達到反思的效果；

其次，引導學生“反思”數學問題答案的合理性，回顧知識點與習題之間的聯系；

最后，指導學生反思自己和別人思維，從而提升學生解決問題的技巧，加深學生對數學問題的理解，更重要的是能夠幫助學生構建數學知識之間的聯系.

4.4 對數學知識的要求應更具有層次性、靈活性

對不同的學生有不同的要求，加強學生在數學學習過程中的主體性體現.現代教育的一個處于支配地位的基本觀念是將最大的個人實現視為任何教育努力的中心目標.根據這個觀念，作為整體的教育體系的主要作用是幫助每個學生發展，以達到他的趨向與才能的最大化.[7]加拿大《安大略課標》，并沒有像《課標2011》一樣，把對知識的要求分為：“了解”、“理解”、“掌握”三個程度.而是更多以學生為主體，對學生對知識的掌握提出一種“期望”（expectation），以“期望”為教學目標，希望學生能夠掌握這些知識方法，并不對其進行硬性要求.在教育心理學的研究中，有意義學習僅僅發生在學生處在與自己所在位置相符合的學習進展連續系統中，也更加符合奧蘇貝爾提出的“最近發展區”.因此，筆者認為，在教學過程中必須更加貫徹：充分以學生為數學學習主體的教學理念，而不是對數學知識按照要求進行“灌輸”式教學.

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要》明確指出：“把提高質量作為教育改革發展的核心任務.樹立科學的質量觀，把促進人的全面發展、適應社會需要作為衡量教育質量的根本標準.”這就明確了教育改革的方向.因此，我國課程標準中應該更加強調數學學習過程中學生的主體性體現，弱化對數學知識掌握程度的硬性要求，在這一點的處理上《安大略課標》是值得借鑒的.

參考文獻

[1]埃蒙德·金著.別國的學校和我們的學?！袢毡容^教育.李克興，王承緒譯.北京：人民教育出版社，2001：520

[2]曹一鳴.十三國數學課程標準評價.北京：北京師范大學出版社，2012：61-63

[3]谷改霞.談談初中問題解決的對策.中華少年：研究青少年教育，2012（18）：163

[4]曾憲林.加拿大高中數學課程標準和教學評價的啟示.數學教育學報，2011（3）：87-88

[5]鄭毓信.數學教育：動態與省思.上海：上海教育出版社，2005：22[6]王亞輝.數學方法論——問題解決的理論.北京：北京大學出版社，2007：3-4

[7]丘成桐.數學與教育.北京：高等教育出版社，2009：130