運用波利亞解題思想促進學困生轉化

摘 要：美籍匈牙利數學家波利亞認為中學數學教育的根本宗旨是“教會年輕人思考”，認為“學習任何知識的最佳途徑是由學生自己去發現。波利亞的解題思想對現階段的中學數學教學仍有重要意義，特別是對學困生的轉化有重要的指導意義。

關鍵詞：波利亞解題思想； 學困生轉化

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2014）11-022-001

一、探索合理方式審清題意，培養學困生的思維能力

學困生的困難之首就是不會審題，不能明確問題的方向和實質，因此，通過各種方式培養學困生的審題能力不容忽視。

例如蘇科版第四章第3節中有這樣一個問題：運動場跑道周長400m，小紅跑步的速度是爺爺的2倍，他們從同一起點沿跑道的同一方向同時出發，5分鐘后小紅第一次追上了爺爺，你知道他們的跑步速度嗎？

對于學困生來說，很難直接找到問題的實質，根源在于自己不會審題，教師通過計算機模擬實際情況——和學生一起繪制數學模型示意圖——找出問題本質：小紅跑的路程-爺爺跑的路程=跑道一圈的長度400m。

跑道示意圖：

波利亞指出：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的？”“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯系起來思考、分析、探索的過程。

二、分解難度，逐級向上，培養學困生的學習信心

數學學困生最嚴重的問題就是在學習心理上失衡，對自己的學習沒有信心。因此，波利亞解題思想中分解難度，逐級向上解決問題的方法，對樹立學習信心，增強學習意志有很大的幫助。

例如某市為了鼓勵節約用水，對自來水的收費標準作了如下的規定：每月每戶用水不超過10噸的部分，按0.45元/噸收費，超過10噸而不超過20噸的部分按0.80元/噸收費；超過20噸的部分按1.5元/噸收費。現已知李老師家某月繳水費14元，則李老師家這個月用水多少噸？

本題情況復雜，對學困生來說摸不著頭腦，理不清思路。因此通過審題，擬訂解題步驟：設李老師家這個月用水x噸。分三個部分解決：用水在0-10噸的情況，單價：0.45元/噸，水量：10噸；用水在10-20噸的情況，單價：0.80元/噸，水量：10噸；用水在20噸以上的情況，單價：1.5元/噸，水量：x-20噸。

然后用線段圖的形式幫助學生理解，使復雜問題分解成三個比較簡單的問題。這樣，學困生就找到了解決問題的方向和線索，一個一個的先解決簡單問題，最終獲得方程：

0.45×10+0.80×（20-10）+1.5（x-20）=14，解得：x=21

線路分析圖

單價：0.45元/噸 單價：0.80元/噸 單價：1.5元/噸

通過具體的例題采用“分解難度，逐級向上，解決問題”的方法進行訓練，學困生眼中的難題就變得比較簡單，困難容易克服，思維不再雜亂無章，解題習慣和思路逐漸清晰。

三、靈活變化問題的形式，培養學困生的數學興趣

在“怎樣解題”表中，波利亞啟示我們不斷轉換問題：把問題轉化為一個等價的問題，把原問題化歸為一個已解決的問題，去考慮一個可能相關的問題，先解決一個更特殊的問題、或更一般的問題、或類似的問題……波利亞認為：“如果我們不用題目變更，幾乎是不能有什么進展的。”靈活轉變問題方式對學困生學習興趣的激發有重要作用。例如在等腰三角形的教學中，關于等腰三角形的三個角之間的關系可以變化問題方式，激發學困生的學習興趣。

1.等腰三角形的一個底角為40，則其余的兩個角為多少度？

2.等腰三角形的一個角為40，則其余的兩個角為多少度？

3.等腰三角形的一個角為140，則其余的兩個角為多少度？

通過這樣一組變例練習，學生發現已知等腰三角形的一個角，求其他兩個角有時只有一組答案，有時有兩組答案，在此基礎上引導學生發現其中的規律。

學生總結如下：當已知的角是銳角時有兩種情況，得到兩組答案；當已知的角是鈍角時有一種情況，得到一組答案。后來一位平時學習比較困難的學生補充了這樣一種特殊情況：當已知的角是一些特殊角時也只有一組答案。例如三個角度數分別為45度、45度、90度；三個角度數分別為60度、60度、60度。他的回答得到了老師的表揚，同學的認可，該學生對自己也非常興奮。

四、教學生學會猜想，開展合情推理，大膽探索問題解決方法

波利亞認為，數學教育應“教會年輕人去思考”，培養學生的“獨立性、能動性和創新精神”，教師要“教學生證明問題”，也要“教他們猜想問題”，在數學學習中學會合情推理。

數學猜想與合情推理能力在學生中普遍缺乏，學困生更是嚴重缺失這種能力，沒有猜想和合情推理意識，導致在解題中屢屢受挫。

五、重視回顧與反思，幫助學困生建構知識體

在“怎樣解題”表中，波利亞非常重視回顧與反思。引導學生對知識的進一步梳理、及時回顧反思，構建、完善知識體系對學困生的轉化有很大幫助。

例如蘇科版七年級第二章有理數學習過程中，學生對0的認識不斷擴充和深化，通過引導學困生開展“我對0的多種認識”這樣的小課題研究，促進學生對0的知識的掌握，從而從側面鞏固有理數的知識。學生最后歸納了以下幾種認識：0是整數；0是有理數；0是自然數；0既不是正數也不是負數；0是非正數；0是非負數；0是最小的非負數；0是最小的非負整數；0是最大的非正數；0是最大的非正整數；0沒有倒數；互為相反數的兩數之和為0。通過這樣的小課題研究，學生學會了總結反思的學習方法，對今后的學習有很大幫助。

總之，波利亞的解題思想就像一個數學寶藏，開發利用這個寶藏，應用于數學學困生的轉化，對教師的教學和學生的學習都有豁然開朗的指導作用。