高一數學中定義域的展現

摘 要：作為高一學生，第一接觸的難點及高中的難點為函數。而函數又是在其定義域背景中才存在相關問題研究的可行性。定義域是函數的首要素。

關鍵詞：數學； 定義域

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2014）11-028-001

函數是高考中的重點，也是難點，對于高一的新同學而言往往對函數是半知不解。而函數又是在其定義域背景中才存在相關問題研究的可行性。由此可見函數定義域的地位及功能。學生應該先從了解、掌握好定義域入手。下面談談幾點初淺的看法：

首先要讓學生清楚什么是定義域：最嚴謹的為書本函數定義中的說明。但往往定義比較難于理解，而具體讓學生接觸到的定義域，其實是以函數表達形態為載體來表達（傳達信息），那么我們來看看函數實際題面中有哪些形態呢？

高一課本中函數的表達形態有：

①具體的x與y的等量關系式y=f（x）即解析式；

②列表展現x與y的對應即表格；

③圖形中點（x，y）展現x與y的關系即圖像。

（1）我們在已知解析式形式中定義域為使函數式子有意義的x的取值集合。

中體現出意義為：分式要分母不為零，偶次根式為被開數大于等于零，對數為真數大于零，正切為角的限制，0次冪為底不等于零。主要讓學生注重從運算符號中不等量的提取及運算能力的培養。

值得注意的是分段函數它也是已知解析式形式，而它的定義域應該怎樣求呢？因為它不止一個解析式，且每個解析式都有適用范圍，但是它仍然為一個函數，所以它的定義域為各個解析式的適用范圍的并集。

例如y=lg（x-1） x≥23x+1 x<2 的定義域為R。

當然對于由解析式來求解定義域的最難的還是在抽象函數中，體現為使輸入量之能被法則f計算的自變量x的取值集合：

抽象函數是高中階段一般學生最為頭痛的一個點，很多學生無從下手去理解函數的定義域，其實作為同學一定要先從定義中把握住定義域——解析式中x的取值范圍（單指x而言），其次再從f（x）結構上理解對應，f為對應法則，而（）的整個內部為法則的計算部分，稱為計算量，計算量中的x稱為自變量，當學生把這三個量關系理清了，問題也就解決了。

例如：1.已知f（x）的定義域為[2，3]，則f（x2+1）的定義域。

2.已知f（2x-1）的定義域為[2，3]，求f（2x+1）的定義域。

在第一題中f（x2+1）與f（x）的聯系為相同的法則f，所以兩個輸入量x2+1和x的范圍一致，所以1≤x2+1≤2，從而解出自變量x的定義域為[-1，1]，第二題中的紐帶仍為相同的法則、相同的輸入量計算范圍，所以2x-1與2x+1的范圍相同，又因為f（2x-1）的定義域為[2，3]，所以自變量x滿足2≤x≤3，可得3≤2x-1≤5，即3≤2x+1≤5，可得f（2x+1）的定義域為[1，2]。那我們可以看到在解決好抽象函數定義域時，同學們要把握好2點：一是抓住前后抽象函數輸入量范圍一致的紐帶，二是抓住定義域——解析式中x的取值范圍（單指x而言）。

（2）在列表中，展現為自變量x的取值的集合，直觀性比較強。

它通過表格中的x與y的對應關系來展現函數關系，其中所有的自變量x的取值的集合。

例如：

主要培養學生對于量與量的對應關系的展現。

（3）函數圖像中，主要體現為所有點的橫坐標的取值集合。

例如：1、圖像對應函數定義域為[-2，3]

數形結合是高中的一個重要的數學思想，也始終是一部分同學的弱點，在于他對于函數的三要素在圖像中的對應沒有理解，那么如何對應呢？首先整個圖像的整體對應于函數y=f（x），其次所有點的橫坐標的取值集合為定義域，實際可通過把每個點向橫坐標引垂線，所以垂足的分布為定義域，值域類似，它主要培養學生的數形結合能力及自變量在圖像中的表示形態。

其次怎樣讓學生認識定義域的作用？在整個函數領域中所有的研究從表象看并沒有明顯的定義域問題形態展現，其實不然。在函數性質研究中，處處可見定義域的身影，如函數值域，單調性，奇偶性等問題中。

（1）值域的求解中如果你的定義域沒有考慮，那么值域將出錯，所以求值域必先研究定義域

對于這題單調區間的求解，學生容易犯的錯誤就是忘記函數定義域的存在，題目一拿到手就冒冒然利用復合函數的單條性去求解單調區間，很容易會得到錯誤的結論：函數在區間（-∞，-1]為減函數，在區間[1，+∞）為增函數。沒有考慮到定義域對單調區間的限制，正確解法如下：（x）的單調增區間為[-3，-1]，單調減區間為[-1，1]。

由此可見，對于函數單調區間的問題定義域是先決條件，如果不對定義域加以重視，則很容易做無用功。只有對定義域深刻了解了才能事半功倍。

評注：①判斷單調性，千萬不要忘記復合函數的定義域；

②正確應用復合函數單調性法則；

③利用數形結合思想。

（3）奇偶性的研究中必先研究定義域是否關于定義域對稱，否則就沒有奇偶性。

例如：已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數，且其定義域為[a-1，2a]，

則a=__， b=____。

這道題目主要考察的就是定義域的理解與對稱，體現了定義域對函數奇偶性的重要性。很多同學一上來會對這道題不知道該如何下手，找不到突破方向。或者很容易進入偶函數定義式的思路。利用f（x）=f（-x）只會得到ax2+bx+3a+b=ax2-bx+3a+b恒成立，但這樣只可得到b=0，但對于a的求解卻無從得知。

然而要是注意了定義域對奇偶性性的影響，這道題目卻是很輕松的。因為是偶函數，所以定義域必關于原點對稱，所以就有a-1=2a可馬 應該說函數的定義域對稱是奇偶性存在的一個要素，沒有定義域的思考就不會有奇偶性的存在。

總而言之，定義域是函數問題的生存空間，是解決任何函數問題時我們第一要考慮的要素，沒有在此條件下解得的題目很多是無效的。我們只有培養好的解題和思維習慣，才能在函數問題上立于不敗之地。

參考文獻：

葛曉光.學生掌握和應用函數概念情況的調查，《中學數學教學參考》，2007年7月上