見 “木” 更 見 “林”

摘要：數(shù)學(xué)概念的正確建立，對掌握基礎(chǔ)知識、提高運(yùn)算能力和解題技巧很有幫助。這就要求教師要重視概念教學(xué)，關(guān)注概念形成的每一個步驟，讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，幫助學(xué)生形成良好的概念網(wǎng)絡(luò)。然而，由于許多教師常以解題訓(xùn)練為重點(diǎn)，忽視了概念理解的深刻性對解題效率的直接影響，導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生了一個又一個學(xué)習(xí)障礙。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)例，以概念教學(xué)的“原點(diǎn)”“節(jié)點(diǎn)”“漏點(diǎn)”“接點(diǎn)”為切入口，結(jié)合概念學(xué)習(xí)的“引入”“建立”“鞏固”“發(fā)展”四個環(huán)節(jié)，開展對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究，切實(shí)促進(jìn)知識間的融合互通，使學(xué)生深刻理解知識本質(zhì)，學(xué)懂、學(xué)透概念。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；四點(diǎn)推進(jìn) ；概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，也是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。學(xué)生建立了正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念，對掌握基礎(chǔ)知識、提高運(yùn)算能力和解題技巧很有幫助。數(shù)學(xué)概念也是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，沒有對概念的正確理解，就無法做出正確的判斷和推理，邏輯思維能力的培養(yǎng)更無從談起。反觀目前的概念教學(xué)，有著眾多不盡人意的地方。

三年級上冊在學(xué)習(xí)了《平行四邊形》一課后，練習(xí)冊中有這樣一道題：

【題一】：在下面點(diǎn)子圖中畫出2個不同形狀的平行四邊形。

從統(tǒng)計數(shù)據(jù)看，有將近50%學(xué)生不能準(zhǔn)確地畫出平行四邊形，出現(xiàn)的錯誤有以下一些情況：

筆者前幾天在班級中教了《面積和面積單位》一課后，為了檢測學(xué)生對面積概念的理解，出了一道選擇題：

【題二】：下列對面積的說法，哪一個是不正確的。（ ）

A.物體表面或封閉圖形的大小叫作它們的面積。 B. 沒有面積。

C.老師的臉有面積。 D.黑板的面積比電視機(jī)屏幕的面積大。

結(jié)果顯示，90%左右的學(xué)生認(rèn)為C是不正確的，只有10%左右學(xué)生認(rèn)為D是不正確的。

題一中，可以看出學(xué)生對平行四邊形的認(rèn)知僅僅停留在“有點(diǎn)斜”的直觀感知，及“都是向右傾斜”的片面認(rèn)識上。這種錯誤的產(chǎn)生是因為本課是平行四邊形的初步認(rèn)識，老師糾結(jié)于對特點(diǎn)教學(xué)的“度”的把握，課堂上往往是淺嘗輒止、含糊其辭，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷動手測量等手段去發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，沒有對概念進(jìn)行深挖細(xì)琢。題二出現(xiàn)90%左右的學(xué)生認(rèn)為選項C是錯誤的，反映出在學(xué)生的認(rèn)知里，只有平平的面才具有面積， “老師的臉”是彎曲的，他們覺得“老師的臉”甚至連“面”都算不上，更不用說面積。

上述兩個案例不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)前概念教學(xué)的現(xiàn)狀令人擔(dān)憂，有些課堂從上課開始到認(rèn)識完概念，總共花了不到10分鐘的時間，接著進(jìn)行的就是運(yùn)用概念進(jìn)行解題訓(xùn)練。學(xué)生沒有基本把握概念內(nèi)涵的時候就要求學(xué)生用概念解決問題，結(jié)果只能是機(jī)械模仿。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)例，以概念教學(xué)的“原點(diǎn)”“節(jié)點(diǎn)”“漏點(diǎn)”“接點(diǎn)”為切入口，結(jié)合兒童概念形成過程的七個步驟：刺激、辨析、分化、類化、抽象、驗證和概括，展開對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究。

一、引入——經(jīng)歷概念發(fā)生的“原點(diǎn)”

在概念引入的過程中，重心要放在使學(xué)生建立起清晰的表象。心理學(xué)上有一種“首因效應(yīng)”，它是指當(dāng)人們第一次與某物獲某人接觸時會留下深刻印象，所以在引入環(huán)節(jié)給學(xué)生建立清晰、典型的表象是形成概念的重要基礎(chǔ)。課堂中無論以何種方式引入概念，都應(yīng)從如何使學(xué)生建立起清晰的表象入手。

1.以生活原型為“引”

小學(xué)生正處于具體形象思維向抽象思維的過渡階段，對具體、直觀的感性材料更容易理解和接受。因此，在引入概念時，我們可以從學(xué)生日常生活中比較熟悉的事物引入，適當(dāng)合理地選用直觀教具，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)起來更容易接受，思考問題和分析問題的積極性也會相應(yīng)提高。

如認(rèn)識長方體時，可以事先布置學(xué)生尋找生活中一些長方體和正方體的實(shí)物，通過觀察、觸摸等方法感知長方體和正方體面、棱、頂點(diǎn)，從實(shí)物中直觀認(rèn)識長方體、正方體的特征。當(dāng)學(xué)生建立起長方體正方體的正確表象，就能為后續(xù)的表面積和體積學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力。教師在學(xué)生對圖形有了直觀認(rèn)知的基礎(chǔ)上再對概念進(jìn)行科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x，能加深學(xué)生對概念的理解。

2.以問題情境為“引”

以“問題”的形式引入新概念，是概念教學(xué)中常用的方法。一般來說，用問題引入概念的途徑有兩個：①從現(xiàn)實(shí)生活中的問題引入數(shù)學(xué)概念；②從數(shù)學(xué)問題或理論本身的發(fā)展需要引入概念。學(xué)習(xí)從“問題”開始，富有現(xiàn)實(shí)意義的問題情境使概念的學(xué)習(xí)富有生命力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念發(fā)展需要的“問題”能為學(xué)生的學(xué)習(xí)指明方向，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)。

如在學(xué)習(xí)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》時，創(chuàng)設(shè)分月餅的問題情境導(dǎo)入：

把4個月餅平均分給兩個小朋友，每人分到幾個？

把2個月餅平均分給兩個小朋友，每人分到幾個？

把1個月餅平均分給兩個小朋友，每人分到幾個？

半個月餅可以用哪個數(shù)來表示呢？

當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們所學(xué)過的數(shù)都無法表示半個時，教師適時地引入“分?jǐn)?shù)”這個概念，讓學(xué)生明白了分?jǐn)?shù)是因為當(dāng)整數(shù)無法表示結(jié)果時產(chǎn)生的，揭示了分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生。

3.以最近概念為“引”

概念與概念之間，經(jīng)常會存在著一定的聯(lián)系。如果新、舊概念之間存在某種關(guān)系，如相容關(guān)系、不相容關(guān)系等，那么新概念的引入就可以充分地利用這種關(guān)系去進(jìn)行。利用學(xué)生已有的概念引入新概念，可以引起學(xué)生的好奇心和認(rèn)知沖突，激發(fā)求知欲。

如三年級上冊《平行四邊形》一課，因為在認(rèn)識平行四邊形之前，學(xué)生剛認(rèn)識了四邊形，所以我們可以這樣引入：今天我們還是來認(rèn)識四邊形，但是它是比較特殊的一種四邊形，叫平行四邊形，想知道它特殊在哪里嗎？一起走進(jìn)今天的數(shù)學(xué)課堂……

概念的引入還有很多方法，在實(shí)際的教學(xué)中，我們應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，選擇最恰當(dāng)?shù)姆绞剑部梢允嵌喾N方法協(xié)調(diào)運(yùn)用，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索的欲望，才能為概念的形成、理解和運(yùn)用奠定基礎(chǔ)。

二、建立——關(guān)注概念學(xué)習(xí)的“節(jié)點(diǎn)”

概念建立是概念教學(xué)的中心環(huán)節(jié)，學(xué)生獲得概念必須準(zhǔn)確地理解概念，明確概念的內(nèi)涵與外延，正確表述概念的本質(zhì)屬性。學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念有兩種基本形式：一是概念的形成，二是概念的同化。由于他們的思維特點(diǎn)處于由形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，以致學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念大多以“概念形成”的形式為主。數(shù)學(xué)概念的形成，一般要經(jīng)過直觀感知—建立表象—解釋本質(zhì)屬性三個過程。

1.提供材料，清晰感知

感知是人們認(rèn)識事物的開始，沒有感知就不可能認(rèn)識事物的本質(zhì)和規(guī)律。因此在概念教學(xué)中，首先根據(jù)教學(xué)內(nèi)容有目的、有計劃地向?qū)W生提供豐富的感性材料，引導(dǎo)學(xué)生觀察，并結(jié)合學(xué)生自己的動手操作，豐富感性認(rèn)識，為概念形成做好準(zhǔn)備。在組織學(xué)生進(jìn)行感知活動時，要有意識地把感知的對象從背景中凸現(xiàn)出來，以便學(xué)生清晰地感知。同時，變靜止的為活動的，給學(xué)生留下清晰而深刻的印象。

2.脫離直觀，建立表象

表象是人腦對客觀事物感知后留下的形象，是多層次感知的結(jié)果。表象接近感知，具有一定的具體性，同時又接近于概念，具有一定的抽象性，它起著從感知到概念的橋梁作用。建立表象，可以使學(xué)生逐步擺脫對直觀材料的依賴，克服感知中的局限性，為揭示概念的本質(zhì)屬性奠定基礎(chǔ)。教師在演示或操作結(jié)束后，不應(yīng)該急于進(jìn)行概括，應(yīng)讓學(xué)生脫離直觀事例，回想一下，喚起頭腦中的表象，再通過引導(dǎo)，使表象由模糊到清晰，由分散到集中，進(jìn)而過渡到抽象概括。

3.分析比較，揭示本質(zhì)

理解概念的本質(zhì)是檢測學(xué)生有沒有真正理解概念的標(biāo)尺，在學(xué)生充分感知并形成表象后，教師要不失時機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、比較、綜合，概括出事物的本質(zhì)屬性，并把這些本質(zhì)屬性推廣到同類事物的全體，從而形成概念。

4.深化概念，由內(nèi)及外

當(dāng)用定義把概念的本質(zhì)屬性揭示出來時，學(xué)生對概念的理解還是膚淺的。因此，教師要采取一切手段幫助學(xué)生逐步理解概念的內(nèi)涵和外延，以便學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握概念，可采取分析關(guān)鍵詞、舉出正反例、訓(xùn)練變式題等方法來深化對概念的理解。

如在教學(xué)四年級下冊《三角形的認(rèn)識》時，先讓學(xué)生舉例生活中有哪些東西是三角形的？當(dāng)學(xué)生舉出例子后，教師展示三角形實(shí)物，并讓學(xué)生在腦海里想象三角形的樣子。當(dāng)學(xué)生有了對三角形的表象，再出示各種圖形，如四邊形、一條邊彎曲的三邊的圖形、不封閉的圖形、三角形，讓學(xué)生判斷是不是三角形。判斷之后問學(xué)生：“現(xiàn)在你覺得什么是三角形？”學(xué)生可能會說：“有3條邊、3個角的圖形是三角形”、“有3條邊、3個角、3個頂點(diǎn)的封閉圖形是三角形”等等。此時說明學(xué)生還沒有對三角形的本質(zhì)屬性理解透徹，我們可以不失時機(jī)地讓學(xué)生去閱讀書本上對于三角形的描述，并讓學(xué)生思考，在這句話里哪些詞語是最關(guān)鍵的？再讓學(xué)生通過理解“三條”、“線段”、“圍成”這些字眼明白三角形其實(shí)是三條邊首尾相接的封閉圖形。

在數(shù)學(xué)概念建立的四個步驟中，揭示本質(zhì)和深化概念兩個環(huán)節(jié)顯得尤為重要，直接影響著概念的掌握與否。這要求我們在數(shù)學(xué)概念建立后，要幫助學(xué)生對本質(zhì)屬性進(jìn)行剖析，既將本質(zhì)屬性再次從定義中分離出來，加以明確，真正內(nèi)化為學(xué)生的知識。

三、鞏固——掃清概念形成的“漏點(diǎn)”

學(xué)生對概念的掌握不是一蹴而就的，要由具體到抽象，再由抽象到具體多次反復(fù)。當(dāng)學(xué)生初步建立概念后還需要運(yùn)用多種方法，促進(jìn)概念在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的保持，并通過不斷運(yùn)用加深對概念的理解和記憶，使新建立的概念得以鞏固。

1.強(qiáng)化應(yīng)用，加深理解

在概念教學(xué)中，既要引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象，形成概念，又要讓學(xué)生由抽象到具體，運(yùn)用概念，學(xué)生是否牢固地掌握了某個概念，不僅在于能否說出這個概念的名稱和背誦概念的定義，而且還在于能否正確靈活地應(yīng)用，通過應(yīng)用可以加深理解，增強(qiáng)記憶，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。

學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律時，先提供一組算式讓學(xué)生計算。

6×（3+10）= 6×3+6×10=

43×（2+5）= 43×2+43×5=

125×（11+8）= 125×11+125×8=

⑴你發(fā)現(xiàn)了什么？還能舉出這樣的例子嗎？

⑵有沒有一個式子可以把所有這種類型的式子都概括進(jìn)去？

⑶△×（☆+○）= △×☆+△×○，你覺得它可能代表什么式子？

通過三個問題，讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷“具體——抽象——具體”的過程，可以檢測學(xué)生對概念表象的建立是否準(zhǔn)確，讓學(xué)生深刻地理解概念，提高應(yīng)用概念解題的能力。

2.注重辨析，精確分化

隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生掌握的概念不斷增多，有些概念的文字表述相同，有些概念內(nèi)涵相近，使得學(xué)生容易產(chǎn)生混淆，如質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)，整除與除盡，體積與容積等等。因此在概念的鞏固階段，要注意組織學(xué)生運(yùn)用對比的方法，弄清易混淆概念的區(qū)別和聯(lián)系，以促使概念的精確分化。

如學(xué)生總是很容易將周長和面積混淆，我們可以增強(qiáng)這方面的辨析訓(xùn)練：

判斷下列說法是否正確。

⑴邊長為4厘米的正方形，周長和面積相等。（ ）

⑵周長越長的長方形，面積也越大。 （ ）

⑶ 乙的面積和周長都大于甲。（ ）

辨析訓(xùn)練是清晰建立概念、避免混淆的重要手段，讓學(xué)生在辨析比較中不斷出錯，不斷反思，不斷強(qiáng)化，理清相近概念間的聯(lián)系與區(qū)別，最終達(dá)到熟練掌握概念的目標(biāo)。

3.溝通梳理，系統(tǒng)構(gòu)建

概念的鞏固是在對概念的理解和應(yīng)用中去完成和實(shí)現(xiàn)的，同時還必須及時復(fù)習(xí)，鞏固離不開必要的復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)的方式可以是對個別概念進(jìn)行復(fù)述，也可以通過解決問題去復(fù)習(xí)概念，而更多地則是在概念體系中去復(fù)習(xí)概念。當(dāng)概念教學(xué)到一定階段時，特別是在單元復(fù)習(xí)、期末復(fù)習(xí)和畢業(yè)總復(fù)習(xí)時，要重視對所學(xué)概念的整理和系統(tǒng)化，從縱向和橫向找出各概念之間的關(guān)系，形成概念體系。

教完四邊形這一單元后，筆者設(shè)計了這樣一組練習(xí)：

括號里加上什么條件就能從前一個圖形變成下一個圖形呢？

（ ） （ ） （ ）

概念的鞏固在于“練”，在教學(xué)中，我們應(yīng)該根據(jù)學(xué)生概念形成中所存在的漏點(diǎn)查漏補(bǔ)缺，有的放矢地設(shè)計針對性的練習(xí)，達(dá)到靈活運(yùn)用概念知識解決問題的目的。

四、發(fā)展——孕伏概念挺進(jìn)的“接點(diǎn)”

概念學(xué)習(xí)具有階段性和連續(xù)性，一方面概念之間有著縱橫交錯的內(nèi)在聯(lián)系，另一方面，小學(xué)生在一定階段認(rèn)識水平是一定的，抽象程度也不相同，教學(xué)時不應(yīng)超越學(xué)生的承受能力。教學(xué)概念，既要重視概念的階段性，又要注意到概念發(fā)展的連續(xù)性，不要在一個知識段中把概念講“死”，以免影響概念的發(fā)展和提高，也不要過早地抽象而超越學(xué)生的認(rèn)識能力。要有計劃地發(fā)展概念的含義，按階段發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力，要使前一階段的教學(xué)為后一階段的概念發(fā)展做好孕伏。

1.建知識之場，體會概念間的聯(lián)系

每一個概念都不是孤立存在的，它都有其所屬的領(lǐng)域，有其各自所處的地位。反觀我們現(xiàn)在的課堂教學(xué)，許多本來是有聯(lián)系的概念，卻如同一粒粒散落的珠子，分散、孤立地存在于學(xué)生的腦海里，概念無法形成一張知識的網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生無法用聯(lián)系的觀點(diǎn)去看待各個概念知識，從而無法擁有良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師應(yīng)樹立大數(shù)學(xué)觀意識，充分挖掘并提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教學(xué)概念時，站在更高的高度上看待。課堂中應(yīng)善于創(chuàng)設(shè)情境，建立知識場，從整個知識塊的角度來引出概念教學(xué)。這樣，學(xué)生自然意識會用聯(lián)系的眼光去看待所學(xué)概念，無形中以聯(lián)系的思維方式去思考問題。

如《三角形的認(rèn)識》中，三角形的概念是放在整個多邊形的知識場中感知地位作用的。

逐個出示多邊形，邊播放邊提問：你發(fā)現(xiàn)了什么？

逐個將多邊形分割成若干個三角形，提問：你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你想說什么？

這樣的概念教學(xué)能讓學(xué)生體會到三角形在整個多邊形領(lǐng)域的地位和作用，它是所有多邊形的基本單位，任何一個多邊形都可以分割成若干個三角形。學(xué)了三角形能為將來學(xué)習(xí)多邊形奠定基礎(chǔ)，以后學(xué)到其它圖形，學(xué)生自然而然地會將兩者建立聯(lián)系，進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的遷移。

2.留懸念之惑，感受概念間的延續(xù)

概念學(xué)習(xí)的一大特點(diǎn)就是連續(xù)性，這要求我們在教學(xué)概念時要努力創(chuàng)建一種“言有盡而意無窮”的課堂，不能因為一節(jié)課教學(xué)任務(wù)的完成而戛然停止對概念的教學(xué)。有效的課堂，應(yīng)該通過提問，或者給已有概念補(bǔ)充一個條件等手段，在課的結(jié)尾帶給學(xué)生思考，為學(xué)生制造懸念，讓學(xué)生體會原來概念之間都是連續(xù)的，就像九重門，一道又一道。如認(rèn)識了質(zhì)數(shù)后，問學(xué)生：“對于今天所學(xué)知識你們還有什么疑問？”引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑，如：“如果除了1和它本身，還有其它約數(shù)呢？這樣的數(shù)又該叫什么？”

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，我們常常看到這樣一種獨(dú)特的現(xiàn)象：教師把課講得很細(xì)致，步驟交待得很清楚，學(xué)生也都聽明白了，但他們卻仍感到似懂非懂，不得要領(lǐng)，問不出問題，也無落地感。這就是教學(xué)中的“只見樹木不見森林”的講授所形成的后果，學(xué)生是在無目標(biāo)意識的情況下，進(jìn)行盲目追隨式的學(xué)習(xí)。教師要有刨根問底的精神，要知道每個概念的由來、淵源。不僅要洞悉概念的內(nèi)涵、外延，還要對為何要以此為名，為何要用這樣的符號作考究。所謂以其昏昏，使其昭昭，難也。教師應(yīng)以更廣的視野看待、實(shí)施概念的教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)概念的路上見樹木更見森林。

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（作者單位：浙江省臺州市溫嶺市橫峰小學(xué)）