淺談初中數學三個“非負數”模型及其應用

【摘 要】在數學領域，非負數是隨著初一代數中負數引入而相應出現的一個概念性知識。所謂非負數，指零和一切正數（用字母a表示，即a≥0），它是建立在數軸、絕對值、二次根式和方程等數學范疇中的知識，在理論研究和實際運用中不僅頗起作用而且具有十分重要的意義。常見的非負數著重包括實數的偶次冪、實數的絕對值和算術根等三種模型。理論和實踐同時表明，非負數知識的應用范圍十分廣泛，在數學教學中，凡是滲透到負數的地盤，就會觸摸到非負數的神經。數學老師應當高度重視，而且必須要求學生們認真應對之，否則對未來的教與學必將帶來很大障礙。本文試對此作出簡要性闡述。

【關鍵詞】初中數學 知識教學應用 非負數模型 探討與思考

長期以來，非負數和方程是初中數學教學中不可或缺的重要組成部分，而且在歷屆中考命題中既屬重點方向又是難點內容。從個體思維發展規律來分析，初中生尤其是初一學生，正處于形象性思維向抽象性思維逐步過渡的階段，而諸如非負數之類的抽象性數學知識之于他們，可謂難以繞道的“攔路虎”和“火焰山”。筆者從教學實踐中總結認為，在初中數學教學過程中，無論對于日常生活的教與學來說，還是針對以后的中考而言，非負數知識都應當且必須引起師生雙方的高度重視與認真應對。那么，如何才能積極有效地開展非負數知識的教學活動呢？本文試從以下幾個方面，對此作出一些拋磚引玉之論。

一、初中數學非負數知識的形式及其性質

我們該怎樣下這個數學定義呢？顧名思義，“非負數”即為不是負數的實數，就是包括零和正實數（如3.4、9/10、π……）兩大類別。在初中數學中，常見的“非負數”形式主要有以下三種類型：（1）實數的偶次冪一定為“非負數”：如a2≥0，一般的a^2n≥0（n為整數）。（2）實數的絕對值一定為“非負數”：如|a|≥0（當a>0時，絕對值即為a；當a=0時，絕對值即為0；而當a<0時，絕對值則為-a）。（3）算術根一定為“非負數”：如√a≥0，一般的x√a≥0。

非負數的性質在解題中既非常重要也頗為實用，它不僅有類型性質——實數的偶次冪是非負數，實數的絕對值是非負數，一個正實數的算式根是非負數，還包含：（1）任何一個非負數乘以-1，都會得到一個非正數；（2）非負數大于或等于0；（3）非負數中含有理數和無理數；（4）非負數的和或積仍是非負數；（5）非負數的和為零，則每個非負數一定等于零；（6）非負數的積為零，則至少有一個非負數為零；（7）非負數的絕對值等于本身；（8）最小的非負數是0，沒有最大的非負數；（9）非負數的商（除數不能為0）仍然是一個非負數。

此外，非負數還有其幾何意義——在數軸上，原點和原點右邊的點所表示的數以及數軸上表示數的點到原點的距離都是“非負數”。

二、關于對“非負數”知識的見解與應用

如前文所述，三個非負數知識的性質比較豐富，應用范圍也很廣，我們只有理解透徹才能輕松靈活地應用。有鑒于此，本文結合自己的教學實踐與點滴思考，試對其進行粗略式解析，以供同行商榷與參考。

1、在一元二次方程中的實際應用。眾所周知，在初中數學教學過程中，關于對“一元二次方程”的學習和應用，既是初中數學知識的重要基礎和必要前提，又是學習其他更多數學知識的良好支撐。而我們把它一般地表現為ax2+bx+c=0（其中a≠0）形式，那么對于它的有實數根的重要條件和必要條件就是（△b2-4ac≥0為非負數）。

2、關于對非負數概念的實際應用。以零和正數為表現類別的“非負數”知識，它是在初中教材的數軸、絕對值、二次根式和方程等概念的數學中建立起來的。對此，我們完全可以通過如下三種途徑來加以應用與理解：一是通過對“實數的絕對值是非負數”概念性知識的理解。比如，“在一根標有a、b、c字樣的數軸上，其中a定點在0左側的3厘米位置上，而b和c分別定點在0右側的3厘米與1厘米位置上（可畫圖表示），且，那么。”借助于對這類題目的實踐教學，能夠幫助學生增強對它的理解、把握和記憶。二是通過對“非負數的算術平方根仍是非負數”概念性知識的理解。我們可以借助于對“化簡”來予以滲透消化和列舉說明。三是通過對“被開方數必須是非負數”概念性知識的理解。對此，我們可以借助于對“函數中自變量x的取值范圍是多少？”的數學題目，來解決非負數中的此類概念性知識。值得一提的是，數學概念知識比較精煉和縝密，在實際教學中，我們要首先通過引導學生來認真閱讀解析，然后再通過對具有典型性的實例題目進行消化和反芻，只有如此相得益彰地滲透與通融，才能贏得事半功倍的效果。

3、關于對非負數性質的實際應用。從上文所闡述的眾多非負數性質中，可以衍生出如下一條重要性質，具體可表述為——“如果有限個非負數的和為零，那么其中的每個加數都必須為零，就是說：x1≥0、x2≥0……xn≥0，且x1 +x2……xn=0，那么x1=x2=……xn=0。”實踐證明，這一條非負數性質具有非常廣泛的應用范圍，是我們在教與學實踐中必須予以特別關注的內容。本文就以如何對它進行實際應用來說明問題。首先，我們可以對它進行直接地加以應用。比如“已知方程，求x和y的值”，或者在“已知方程”中就是如此。其次，可以先把問題轉化成兩個或者有限個非負數的和，然后再來應用這一條性質。如對于“已知方程，求x、y、z的值”，我們常是如此。

綜上所述，以上是筆者在初中數學教學中的簡要實踐與應用體會。“運用之妙，存乎一心。”本文拋出關于初中數學中三個“非負數”模型的教學應用，期望以此能夠獲得更多同行的商榷和探討之言。