有關抽象函數(shù)的題型及解決方法

【摘 要】在江西省近幾年的高考試卷中，經常會出現(xiàn)有關抽象函數(shù)的試題.由于這類問題本身的抽象性和隱蔽性，很多學生在解題時經常會感到束手無策.下面通過幾個例題來探討一下這類題目的求解策略

【關鍵詞】抽象函數(shù) 賦值法 單調性 奇偶性 比較法 解析式

【正文】已知條件中沒有給出的解析式或通過已知條件無法求出解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。通過已知條件，給參變量取值又叫賦值的方法叫賦值法。例“”就是賦值法即等號為賦值號不是等號，用右邊的值賦左邊的量或說取代左邊變量。其實賦值法又叫換元法。現(xiàn)在我來通過例題介紹用賦值法研究抽象函數(shù)性質問題。

類型一：用賦值法求抽象函數(shù)的某個函數(shù)值。

例1，

思路一：對已知f（x+y）=f（x）+f（y）中的參變量賦值先求抽象函數(shù)的奇偶性，再用賦值法求函數(shù)值。

解：∵ f（x+y）=f（x）+f（y）∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）又f（0+0）=f（0）+f（0）f（0）=0f（x）為奇函數(shù)f（-2）=f（-2）=-4，又∵f（-2）=f（-1）+f（-1）

思路二：對已知f（x+y）=f（x）+f（y）中的參變量x，y反復賦值求函數(shù)值f（-1）

解：

類型二.用賦值法先討論自變量互為相反數(shù)或互為倒數(shù)時函數(shù)值的關系再求抽象函數(shù)的單調性

例2.已知定義在上的函數(shù)滿足對任意的x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且，求證：1、；2、

3、

解：1、

2、

3、方法一：因為，所以

∵

∴又∵

∴

∴，

類型三：抽象函數(shù)的單調性采用比較法（作差法或作商法）

例3：已知對任意

（1）：

解：（1） ∵f（x）f（y）=f（x+y） ∴f（0+1）=f（0）f（1），又因當x>0時f（x）>1成立即f（1）0

（2），現(xiàn)在討論當?shù)姆枴Ｔ谟懻摰姆柷跋惹蟮年P系∵

∴∴∴當x<0時-x>0，則f（-x）>1

∴，綜上可得：

（3）采用比較法即作商法討論函數(shù)的單調性。

∵ ∴。

方法一： ∴

方法二：

訓練題一

。

（1）求的值。（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由。

（3）討論函數(shù)的單調性，并說明理由。

訓練題二：定義域為R且滿足以下條件：

（1）任意的都有恒成立。（2）.

試討論函數(shù)在R上的單調性。