高考中導數單調性應用易錯點剖析

在新課標教材的指導下，導數及導數的應用成為高考的熱點，尤其是用導數的性質研究函數的單調性成為必考內容，利用它可以證明不等式問題、在恒成立問題中求參數的范圍、研究函數的極值與最值。這就要求學生既要對導數知識極其熟悉，還需要有豐富的應試技巧，從而獲得高分。

問題的易錯點

在新課程背景下，高考圍繞導數“核心”知識點單調性進行考查，單調性應用是學生的易錯點，通過對易錯題的錯解進行糾正，引導學生思考，鍛煉學生獨立解決問題的能力，形成自己的解題方法，進而能觸發學生積極思考、勤奮探索的動力，開發學生的智慧源泉，實現了舉一反三的效果。下面通過一道應用問題體現導數的性質單調性的誤用。

例：已知函數f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x。（1）當時，求f（x）的極值；（2）若f（x）在（-1，1）上是增函數，求a的范圍。

解第一問為常規解法故略去，只解第二問。學生解：因為f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x在（-1，1）上是增函數，所以f’（x）=12ax3-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上成立，所以f’（1）=12a-4（3a+1）+4=0≥0，所以a∈R。表面上看學生的解法是對的，而且理由也很充分，他們認為：如果連續函數在某一區間上單調，則這一函數在這個區間上的導函數大于或等于零，所以這個區間上每一點處的導函數值大于或等于零，但他們犯了一個嚴重的錯誤，用特殊代替了一般，從而導致范圍擴大。這類題目是考查函數的單調性的應用，近兩年很多地區高考題的導數大題就是這么考查的。考查的重點在于對參數進行分類討論。這時候往往先考慮現有條件對參數有沒有限制，如有限制，一定要在限制范圍內分類討論。

幾種正確的解法

下面筆者提供幾種正確的解法：

分離參數法 因為 f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x在（-1，1）上是增函數，所以f’（x）=12ax3-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上成立，即4（x-1）（3ax2+3ax-1）≥0在（-1，1）上成立。因為x∈（-1，1）所以x-1<0，即3ax2+3ax-1≤0在（-1，1）上成立。當x=0時，3ax2+3ax-1=-1≤0成立。當x∈（-1，0）時，≥令 t（x）=x2+x在x∈（-1，0）上時，所以≥。當x∈（0，1）時，≤，t（x）=x2+x在x∈（-1，0）上是增函數，t（x）

二次函數法 二次函數的是初中的重點內容，也是高考中的很多問題的解題工具，尤其利用二次函數求在某區間上的最值（或值域）的求法要掌握熟練，特別是含參數的兩類“定軸動區間”“定區間動軸”，其解法是抓住“三點一軸”數形結合。三點指的是區間的兩個端點和區間中點，一軸指的是對稱軸。解法如下：因為f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x在（-1，1）上是增函數；所以f’（x）=12ax3-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上成立，即4（x-1）（3ax2+3ax-1）≥0在（-1，1）上成立，因為x∈（-1，1）所以x-1<0，即3ax2+3ax-1≤0在（-1，1）上成立，令g（x）=3ax2+3ax-1，x∈（-1，1）。當a=0時，則g（x）=-1≤0在（-1，1）成立。當a>0時，則二次函數開口向上，對稱軸，則x=1離對稱軸更遠，所以x=1時g（1）最大，則此時要3ax2+3ax-1≤0，所以3a+3a-1≤0，即0

二次求導法 函數在某點的一階導數表示函數圖象在該點的切線的斜率，表達了函數值在該點附近的變化快慢；相應地，對函數二次求導，相當于對原來函數的一階導函數再進行一次求導，所得二階導數即表示切線的斜率的變化快慢。因為f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x在（-1，1）上是增函數，所以f’（x）=12ax3-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上成立，即4（x-1）（3ax2+3ax-1）≥0在（-1，1）上成立，因為x∈（-1，1），所以x-1<0，即3ax2+3ax-1≤0在（-1，1）上成立。當a=0時，3ax2+3ax-1=-1≤0在（-1，1）上成立令g（x）=3ax2+3ax-1x∈（-1，1）g’（x）=6ax+3a，令g’（x）=0，則。當a>0時，g（x）在為減函數，g（x）在為增函數，且g（1）=3a+3a-1=6a-1及g（-1）=3a-3a-1=-1，如果要使3ax2+3ax-1≤0在（-1，1）上成立，只需g（1）=6a-1≤0，即0

從以上問題解答中可透過現象看本質，要從根本上掌握函數單調性的意義，從而在解題中更好地利用這一性質。這部分知識本身比較抽象，但題目的結構和形式往往與學生日常練習中所熟悉的題型是有聯系的。因此，把常見的易錯點進行梳理和分析，考試時做到心中有數，就能讓自己的成績有所突破。

（作者單位：內蒙古自治區阿拉善盟第一中學）