同課異構(gòu)，各顯風(fēng)采

編者按：2013年12月21日，全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)高效課堂交流展示活動(dòng)暨首屆中學(xué)數(shù)學(xué)教師高效課堂主題說(shuō)課大賽在北京召開(kāi)。此次大賽為全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教師搭建了一個(gè)相互交流和展示的平臺(tái)，參賽者的教學(xué)實(shí)踐及在研究領(lǐng)域中所取得的寶貴經(jīng)驗(yàn)和豐碩成果得以推廣。本刊特開(kāi)辟“中數(shù)專(zhuān)題”欄目，以展示本次會(huì)議中與會(huì)教師的部分教學(xué)科研成果，為廣大教師提供再學(xué)習(xí)、再分享的橋梁。

同課異構(gòu)，形式不新，但每次聽(tīng)課都是耳目一新，眼前一亮。在全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)高效課堂交流展示活動(dòng)暨首屆中學(xué)數(shù)學(xué)教師高效課堂主題說(shuō)課大賽中，參加同課異構(gòu)展示的3名教師分別是來(lái)自北京市大興三中的師春紅老師、山東諸城的徐首軍老師和山東聊城的洪蘭雨老師。他們這次講的題目是九年級(jí)《切線(xiàn)的判定》，內(nèi)容不難，但這3位老師著實(shí)下了一番功夫，無(wú)論是挖掘教材，還是教學(xué)環(huán)節(jié)的掌控，還有調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與，都讓聽(tīng)課者收獲頗多。

師春紅：一題多變，多題歸一

在定理應(yīng)用環(huán)節(jié)，為加深學(xué)生對(duì)定理的理解，老師給出了例1。

例1.已知：如圖，OA是⊙ 的半徑， OA=1，AB=，OB=2。

求證：直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)。

學(xué)生面對(duì)此題很從容，一名學(xué)生在回答時(shí)甚至說(shuō)出了“從結(jié)論入手，即若證直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)，根據(jù)定理，只需證明OA⊥AB即可”的精彩想法。題目不難，學(xué)生體會(huì)了定理的初步應(yīng)用，同時(shí)，對(duì)演繹推理又有了進(jìn)一步的理解。 老師又和學(xué)生一道總結(jié)出“已知半徑，證出垂直，可得切線(xiàn)”的策略。好一個(gè)“已知半徑”，那“不知半徑”又該怎么辦？這時(shí)老師又給出例2。

例2.已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，D是⊙O上一點(diǎn)，若∠A=20°，∠C=50°，求證：直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)。

“不知半徑”，怎么辦呢？聰明的學(xué)生又說(shuō)出令人振奮的想法：“證明切線(xiàn)，還是要從定理入手，那就必須知道半徑且證明此半徑與直線(xiàn)CD垂直。”多么好的想法，是劃歸思想的具體體現(xiàn)，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把無(wú)半徑轉(zhuǎn)化為有半徑，精彩！連接OD后，學(xué)生很快利用圓的性質(zhì)和角的條件，得到了∠ODC=90°.這時(shí)一名女生提出了自己的想法。

生：過(guò)點(diǎn)B做BF∥OD，交直線(xiàn)CD于點(diǎn)F，只需證明BF⊥CD就可以了。

師：怎么證明？

生：連接BD，……∠ODB=70°……

（經(jīng)過(guò)充分討論）

師：想法不錯(cuò)，但有些麻煩。

很遺憾，這名同學(xué)的想法被否掉了。其實(shí)，這是個(gè)很好的閃光點(diǎn)，是一種問(wèn)題轉(zhuǎn)化的意識(shí)。如證明切線(xiàn)，我們把它轉(zhuǎn)化為證明垂直問(wèn)題，或是求角問(wèn)題，該同學(xué)把證明OD⊥CD的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為BF⊥CD的問(wèn)題，這種意識(shí)很重要。如證明哥德巴赫猜想時(shí)，數(shù)學(xué)家們?cè)谧C明“1+1”問(wèn)題達(dá)不到的情況下，就是轉(zhuǎn)化為證明“1+2”問(wèn)題的。因此，這名同學(xué)的思維過(guò)程應(yīng)該給予肯定，事實(shí)上，該同學(xué)只是走一點(diǎn)彎路而已，不連接BD，而是證明∠DOC=∠FBC=40°，又因?yàn)椤螩=50°，可得∠BFC=90°，進(jìn)而，又因?yàn)锽F∥OD，所以∠ODC=90°。

盡管如此，一題多解，也讓學(xué)生們思維達(dá)到碰撞。原以為此題結(jié)束了，但老師又拋出一問(wèn)：“若∠A=25°，∠C為多少度時(shí)，可得直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)？”接著又問(wèn)：“當(dāng)∠A、∠C滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)？”這一問(wèn)引起學(xué)生熱議、爭(zhēng)論，最后一致得出2∠A+∠C=90°。這個(gè)問(wèn)題很有水平，引導(dǎo)學(xué)生從特殊走向一般，而幾何中，除了研究常規(guī)的大小和位置關(guān)系之外，就是要研究運(yùn)動(dòng)中的不變量，而此題中當(dāng)點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，都會(huì)有不變量2∠A+∠C=90°，但同時(shí)我們也發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問(wèn)題中還有一個(gè)不變?cè)兀础癆B是⊙O的直徑”。

又出現(xiàn)了新?tīng)顩r。一學(xué)生說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)∠BAD=∠BDC。（恰好是弦切角定理）”老師：“我們用幾何畫(huà)板演示一下，看看能發(fā)現(xiàn)什么。”學(xué)生又看到在CD為切線(xiàn)的前提下，隨點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)角依然相等。這時(shí)，老師又拋出一個(gè)新的問(wèn)題。

例3.已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，D是⊙O上一點(diǎn)，當(dāng)∠BAD=∠BDC時(shí)，直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)嗎？

問(wèn)題很快解決了，但這時(shí)老師又提出新的問(wèn)題：“上述問(wèn)題都涉及到‘AB是⊙O的直徑’，那么，如果AB不是⊙O的直徑，又會(huì)怎樣呢？”條件一點(diǎn)一點(diǎn)減弱。

例4.已知：如圖，A、B、D是⊙O上的點(diǎn)，C是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)∠BAD=

∠BDC時(shí)，直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)嗎？

由直徑到非直徑，由特殊到一般，相當(dāng)精彩，但一名女生的解答更精彩。她說(shuō)：“連接BO交圓于點(diǎn)L，連接DL，DB再連接OD，則出現(xiàn)與上一題一樣的圖形，即直徑的模型，而同弧BD所對(duì)的圓周角∠BAD=∠L=∠BDC，因此，仿照前面的證法，可以證明直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)。”回答得太精彩了，把非直徑的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的直徑問(wèn)題，是化歸思想的體現(xiàn)。等大家安靜下來(lái)后，這時(shí)老師又有新問(wèn)題了：“這么多圖形，有沒(méi)有相同之處呢？”問(wèn)得很好。是的，題做了很多，該提煉總結(jié)了，這個(gè)環(huán)節(jié)也培養(yǎng)了學(xué)生的歸納、抽象、概括能力。最后，大家一起把視線(xiàn)定在一個(gè)圖形上，不難發(fā)現(xiàn)是圓的切線(xiàn)判定定理的圖形。

從定理出發(fā)，一題多解，一題多變，而又眾圖歸一，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，又由復(fù)雜回歸簡(jiǎn)單，這節(jié)課很精彩。

變式教學(xué)以現(xiàn)代教育理論為指導(dǎo)，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)探索發(fā)現(xiàn)，展現(xiàn)形成過(guò)程，以注意知識(shí)建構(gòu)、摒棄題海戰(zhàn)術(shù)、提高應(yīng)變能力、優(yōu)化思想品質(zhì)、培養(yǎng)創(chuàng)新精神為基本要求，以知識(shí)變式、題目變式、思維變式、方法變式為基本途徑，遵循目標(biāo)導(dǎo)向、啟迪思維、暴露過(guò)程、主體參與、探索創(chuàng)新等教學(xué)原則深入挖掘教材中蘊(yùn)涵的變式創(chuàng)新因素，努力培養(yǎng)學(xué)生的求異思維、創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力。一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力的大小和他的發(fā)散思維能力成正比。因此，加強(qiáng)發(fā)散思維能力的訓(xùn)練，對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)新型人才具有深刻的意義。

徐首軍：學(xué)案導(dǎo)學(xué)，順其自然

徐老師的課采用的是以導(dǎo)學(xué)案為載體的教學(xué)模式，相對(duì)于師春紅老師的課來(lái)講，顯得輕松一些，沒(méi)有了思維上的大起大落。學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)應(yīng)該是主動(dòng)思維和積極探究的過(guò)程，那么，就必須把知識(shí)問(wèn)題化、能力過(guò)程化、情感態(tài)度潛移化，而導(dǎo)學(xué)案恰恰能構(gòu)建教師和學(xué)生間的平臺(tái)，以學(xué)案為載體，創(chuàng)建積極的、有序的、和諧的課堂教學(xué)環(huán)境。尤其是數(shù)學(xué)教學(xué)，更能體現(xiàn)學(xué)案導(dǎo)學(xué)模式的優(yōu)越性，發(fā)揮最大的積極作用。

定理引出情景 按照導(dǎo)學(xué)案的要求，學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)和已知條件畫(huà)出圓的切線(xiàn)。此問(wèn)題設(shè)計(jì)的很好，本節(jié)內(nèi)容都是研究圓的切線(xiàn)，那么，切線(xiàn)到底怎么畫(huà)？把學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)吸引到過(guò)半徑的外端點(diǎn)畫(huà)半徑的垂線(xiàn)，為后續(xù)的判定公理的出場(chǎng)做好鋪墊。

定理證明與理解 切線(xiàn)的判定定理給出以后，導(dǎo)學(xué)案安排了一組概念辨析題，如過(guò)半徑的外端的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；過(guò)直徑一端且垂直與這條直徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；⊙O的半徑為2，直線(xiàn)過(guò)圓上一點(diǎn)P，且OP=2，則此直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)等。這些問(wèn)題都是全稱(chēng)命題，學(xué)生在爭(zhēng)論中，或利用判定定理證明其正確性，或找到反例說(shuō)明其錯(cuò)誤，這些辨析問(wèn)題可以讓學(xué)生了解若說(shuō)明全稱(chēng)命題假，只要說(shuō)明特稱(chēng)命題真即可，也就是舉反例。

定理應(yīng)用 這個(gè)環(huán)節(jié)基本是學(xué)生完成，教師引導(dǎo)大家向講題者提問(wèn)，如“為什么要連接OC，你是怎么想到的”等。這個(gè)環(huán)節(jié)老師給的時(shí)間很充分，讓學(xué)生充分發(fā)言。相對(duì)于解決問(wèn)題而言，提出問(wèn)題更難也更有價(jià)值，問(wèn)題提的恰到好處，則能使學(xué)生關(guān)注知識(shí)的本質(zhì)，對(duì)知識(shí)的本質(zhì)理解了，也就能對(duì)知識(shí)運(yùn)用自如了。因此，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、提問(wèn)、說(shuō)出自己的困惑、說(shuō)出自己的想法（哪怕是幼稚的想法），然后大家解釋、爭(zhēng)論，最終掌握知識(shí)。學(xué)會(huì)提問(wèn)、敢于質(zhì)疑，是提高學(xué)習(xí)能力的重要環(huán)節(jié)。

本節(jié)課，教師對(duì)于學(xué)生的表現(xiàn)絲毫不吝惜贊美之詞，學(xué)生的自信心和積極性也得到了充分的鼓勵(lì)和釋放。

洪蘭雨：循環(huán)課堂，學(xué)生為師

目前的課堂教學(xué)模式形式較多，山東省一直以來(lái)都在嘗試新的教學(xué)模式，如“循環(huán)大課堂模式”“自學(xué)·釋疑·達(dá)標(biāo)模式”“271模式”等，其本質(zhì)都是以學(xué)生為主體，突出學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，正所謂“兵教兵、兵強(qiáng)兵、兵練兵”，在研討、爭(zhēng)論中，碰撞思維火花，實(shí)現(xiàn)共贏。洪老師這節(jié)課為“循環(huán)大課堂模式”，是典型的先學(xué)后教。

第一環(huán)節(jié)，小組合作完成7個(gè)前置作業(yè)：①過(guò)⊙O上一點(diǎn)，如何畫(huà)出⊙O的切線(xiàn)？②為什么經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)就是圓的切線(xiàn)？判定定理的題設(shè)和結(jié)論是什么？利用其證明切線(xiàn)，需要什么條件寫(xiě)出其符號(hào)語(yǔ)言。③總結(jié)判斷切線(xiàn)三種方法。④判定方法2和判定定理分別在什么情況下使用？（題例）⑤切線(xiàn)的性質(zhì)定理題設(shè)和結(jié)論分別是什么？寫(xiě)出符號(hào)語(yǔ)言。⑥你會(huì)證明切線(xiàn)的性質(zhì)定理？⑦已知直線(xiàn)與圓相切，常作什么輔助線(xiàn)？（題例）在這一環(huán)節(jié)，老師在幾個(gè)組之間，不時(shí)地參與討論，但聽(tīng)到更多的是學(xué)生的爭(zhēng)論之聲。

第二環(huán)節(jié)是小組展示環(huán)節(jié)，每個(gè)小組的組長(zhǎng)到前面講解本小組的討論結(jié)果，老師等待其他同學(xué)的質(zhì)疑，并不失時(shí)機(jī)地挑起大家的爭(zhēng)論。小組展示很精彩，但更多的是展示結(jié)果，若能先展示本組的研究過(guò)程、研究挫折和如何調(diào)整研究方向改變研究方法等，再把正確的結(jié)果呈現(xiàn)出來(lái)會(huì)更好，因?yàn)槠渌瑢W(xué)也會(huì)有挫折，但缺乏的就是如何突破困境的方法，這樣做還是那樣做，一聽(tīng)就能明白，但真正的價(jià)值是你怎么想到的呢？本節(jié)課容量很大，兵教兵，老師可以說(shuō)是“惜字如金”，把更多的話(huà)語(yǔ)權(quán)交給學(xué)生，關(guān)鍵的幾句話(huà)、幾個(gè)問(wèn)題，一針見(jiàn)血，直接把學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)引到知識(shí)的本質(zhì)上。這樣的課堂，更需要老師站在更高的角度、系統(tǒng)的高度來(lái)面對(duì)知識(shí)，點(diǎn)評(píng)時(shí)更關(guān)注學(xué)生的糾結(jié)點(diǎn)。

這樣的課堂對(duì)老師要求更高，更需要老師深挖教材，關(guān)注學(xué)情。

課后筆記

以上3位老師的課十分精彩，但也存在不足，如對(duì)切線(xiàn)的本質(zhì)挖掘不到位。中學(xué)的課本給出了切線(xiàn)的3種判斷方法，當(dāng)直線(xiàn)與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；當(dāng)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑時(shí)，直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。第一種方法是利用直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)定義的，但這種定義給學(xué)生造成一個(gè)誤區(qū)：當(dāng)研究拋物線(xiàn)的切線(xiàn)時(shí)，學(xué)生會(huì)認(rèn)為直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)是就是切線(xiàn)。這顯然不對(duì)，因?yàn)橹本€(xiàn)與其對(duì)稱(chēng)軸平行時(shí)，也只有一個(gè)公共點(diǎn)，但不是切線(xiàn)。第二種方法是圓的切線(xiàn)所獨(dú)有的性質(zhì)，別的曲線(xiàn)沒(méi)有此性質(zhì)。第三種方法，即判定定理，其實(shí)就是從切線(xiàn)的幾何意義來(lái)定義的。如圖，當(dāng)點(diǎn)P有P1位置無(wú)限逼近點(diǎn)A時(shí)，割線(xiàn)（弦）AP就變成了圓的切線(xiàn)，此時(shí)，此極限位置的直線(xiàn)恰好過(guò)半徑OA的外端且與半徑垂直。教師可以把切線(xiàn)的定義從這個(gè)角度給學(xué)生分析、幾何畫(huà)板展示，在今后的學(xué)習(xí)中學(xué)生對(duì)切線(xiàn)的理解就會(huì)很自然。

綜上所述，筆者認(rèn)為，理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，是學(xué)好數(shù)學(xué)的觀念，理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，以不變的知識(shí)，應(yīng)百變的試題。跳出題海，從理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)入手。

（作者單位：北京市日壇中學(xué)）