如何學好絕對值

摘 要：絕對值是七年級數學中一個很重要的概念，如何讓學生學好絕對值是探討的話題。

關鍵詞：初中數學；絕對值；教學方法

絕對值①是七年級數學中一個很重要的概念，對今后學習方程、不等式、函數等內容都有非常重要的作用。我們必須從幾何和代數兩個角度正確理解絕對值的意義，并會對一些常見問題進行處理。本文主要是嘗試把思考的空間和時間留給學生，向學生提供一個探究活動的機會，幫助學生自主探究和合作交流。

一、絕對值的概念

在數軸上表示a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|，如圖1

特別注意：表示0的點與原點的距離是0。所以|0|=0，由絕對值的幾何意義可得：

對于上面的這個式子要認真理解它的意義：并不是有三種結果，而是由于a有三種不同取值，相對應有三種不同的情況，a=1>0，對應值是第一種情況，即|1|=1；而a=-1<0，對應值是第三種情況即|-1|=1。因此，無論是絕對值的幾何意義，還是絕對值的代數意義，都揭示了絕對值的一個重要性質——非負性。也就是說，任何一個有理數的絕對值都是非負數，即a取任意有理數，都有|a|≥0。

二、絕對值的求法

要求一個數的絕對值，應先判斷這個數是正數、負數，還是0，再由絕對值的意義確定去掉絕對值符號的結果。

由絕對值的意義可知，任何一個有理數的絕對值不可能是負數，即|a|≥0。其中零是絕對值中最小的有理數；絕對值等于同一個正數的有理數有兩個，它們互為相反數。

例1.求下列各數的絕對值。

三、絕對值的求值

依據給定的條件，求出滿足條件的絕對值中未知的值。這類問題比較多地出現在不同的試卷中。

例3.在下列條件下x可取哪些整數？

（1）|x|=3 （2）|x|<3 （3）-3<|x|<3。

解：（1）絕對值等于3的整數有兩個，它們是+3和-3，

∴|x|=3，有x=3或x=-3；

（2）|x|<3的整數有-2，-1，0，1，2；

（3）絕對值在-3和+3之間的整數有-2，-1，0，1，2。

例4.已知|a|=5，|b|=3，|a-b|=b-a，求a+b的值。

分析：在理解絕對值和數軸的關系的基礎上，可以得出：由于|a|=5，所以a=5或a=-5；|b|=3，得b=3或b=-3；|a-b|=b-a可知b>a；進而可以確定a和b的值分別為a=-5，b=±3，從而a+b=-8或a+b=-2。

四、絕對值的化簡

例5.有理數a，b在數軸上的位置如圖2所示，請化簡|5-a|+|a+b|+|b-6|。

分析：首先，確定每個絕對值符號內代數式所表示的數是正數還是負數。

由圖象觀察可知5-a>0，a+b>0，b-6<0；

解：∵5-a>0，a+b>0，b-6<0；

∴|5-a|+|a+b|+|b-6|=5-a+a+b+6-b=11。

例6.有理數a、b、c在數軸上的位置如圖3所示。

若m=|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|，則-1001m= 。

解：由圖象可知：a+b<0，b-1<0，a-c<0，1-c>0。

則m=-（a+b）-[-（b-1）]-[-（a-c）]-（1-c）=-a-b+b-1+a-c-1+c=-2，∴-1001m=-1001×（-2）=2002。

五、絕對值方程

例7.解方程|x+1|+|x-3|=5

分析：|x+1|+|x-3|=5表示數x的點C到表示數-1的點A、表示數3的點B的距離之和是5，如圖4。

由數軸可知，AB=4，那么點C只能出現在點A的左邊或點B的右邊。即x<-1或x>3。

注意：此類方程較多的是使用分段討論的方法求解，此例是為了加深學生對絕對值意義的理解。

例8.（1）若|x|=2，求x。（2）|3x-1|=5，求x。

解：（1）∵|x|=2，∴x=±2。

（2）∵|3x-1|=5，∴3x-1=±5。

注意：解絕對值方程問題時一般有兩個解，不要漏解。

六、創新與應用

例9.化簡|x-1|+|x-2|

分析：對含有兩個或更多絕對值的代數式化簡時，往往把它們分成不同的區域分別化簡。

解：當x>2時，x-1>0，x-2>0，∴|x-1|+|x-2|=x-1+x-2=2x-3。當1≤x≤2時，x-1≥0，x-2≤0。∴|x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1。∴x<1時，x-1<0，x-2<0。∴|x-1|+|x-2|=1-x+2-x=3-2x。

例10.已知a<0，b>0，|a|>|b|，使用“<”將a、b、-a、-b連結起來。

分析：解決涉及有理數的絕對值、大小等問題時，利用數軸將已知條件中的a、b所對應的點標在數軸上，再根據相反數的概念找出相應的對應的點，這里，數軸是一個十分有效的工具。

解：畫如圖5所示的數軸，先由已知條件確定出a、b所對應的點A、B，a<0，A在原點的左邊，b>0，B在原點的右邊，|a|>|b|，表示A到原點的距離大于B到原點的距離，再依據相反數的概念，找出 -a、-b所對應的點，如圖5所示。

顯然有a<-b

本文分別從幾何意義和代數意義兩方面研究了絕對值的概念，通過學習，應明確：有理數是由符號和絕對值兩方面來確定的，另外，對互為相反數的概念，應進一步理解為：符號相反，絕對值相等的兩個數是互為相反數。學了絕對值，比較有理數大小的方法也提高了一步，利用絕對值，就可不必利用數軸來比較有理數的大小了。絕對值的概念非常重要，在有理數運算及今后學習根式等內容時，都以絕對值的知識為基礎，所以，一定要學好本節內容。

對于絕對值的計算，有以下規律：

（1）互為相反數的兩個數的絕對值相等。

（2）若|a|=|b|，則a=b或a=-b。

（3）|a|+|b|=0，則a=0，b=0。

關于絕對值混淆的問題：

（1）若|a|=a，則a為非負數，易誤認為正數。

（2）若|a|=-a，則a為非正數，易誤認為負數。

（3）以上說明在學習中要特別注意。

作者簡介：張永紅，男，1977年6月出生，本科，就職學校：甘肅省隴南市武都區石門九年制學校，研究方向：學校管理及數學教育。