淺議在微積分教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)建模思想

摘 要：當(dāng)前的微積分教學(xué)偏重理論體系的完整，缺少實(shí)例.將數(shù)學(xué)建模思想融入微積分教學(xué)過程，不僅豐富課堂教學(xué)，還可提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

關(guān)鍵詞：微積分；數(shù)學(xué)建模思想；教學(xué)案例

一、微積分教學(xué)中存在的問題

眾所周知，微積分起源于實(shí)際問題，從創(chuàng)立之初到后期發(fā)展無不與實(shí)際問題緊密相連.但是，在當(dāng)前的微積分教學(xué)過程中卻偏重理論體系的完整性和推導(dǎo)過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，一味灌輸理論知識(shí)，不僅缺少實(shí)際案例，更沒有與微積分緊密相關(guān)的大型案例，使得微積分與現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)例相脫節(jié)，既沒能顯示微積分的應(yīng)用價(jià)值，也沒能讓學(xué)生感受到微積分的魅力，反而讓學(xué)生感到枯燥、難懂，甚至厭學(xué).很多學(xué)生學(xué)完微積分后，只記得有很多定義、定理和計(jì)算公式，根本搞不清楚為什么要學(xué)習(xí)微積分，也不知道微積分究竟有沒有用.

二、數(shù)學(xué)建模思想

在知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代，數(shù)學(xué)科學(xué)的地位正發(fā)生巨變，它正在從國(guó)家經(jīng)濟(jì)和科技的后備走到了前沿.數(shù)學(xué)建模思想就是把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的一種思想方法.數(shù)學(xué)模型是一種模擬，是用數(shù)學(xué)語言對(duì)實(shí)際問題的內(nèi)在規(guī)律的抽象刻畫，它的建立需要對(duì)實(shí)際問題做深入細(xì)致的研究，并且要結(jié)合相關(guān)專業(yè)知識(shí)（工程、生物、經(jīng)濟(jì)等）、數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)工具.它不僅能解釋某些客觀現(xiàn)象，還能預(yù)測(cè)其發(fā)展規(guī)律，或者提供某種意義下的最優(yōu)策略.

通過體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過程，不僅能激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，還能培養(yǎng)團(tuán)結(jié)協(xié)作精神，提高發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力.我們需要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的環(huán)境，注重將數(shù)學(xué)建模的思想和方法引入到相關(guān)課程中去，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，使學(xué)生在問題解決的過程中得到學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的實(shí)際體驗(yàn)，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解.

三、數(shù)學(xué)建模思想在微積分中的應(yīng)用

如果能在微積分的教學(xué)中充分融入數(shù)學(xué)建模的思想，在講授有關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)與相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型結(jié)合起來，這樣就架起了看似枯燥的數(shù)學(xué)理論與豐富多彩的現(xiàn)實(shí)實(shí)例之間的橋梁，既不增加額外學(xué)時(shí)，還豐富了課堂教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).那如何將微積分與數(shù)學(xué)建模思想結(jié)合在一起呢？下面通過幾個(gè)實(shí)例說明.

1.一元微積分教學(xué)案例

（1）簡(jiǎn)單的蛛網(wǎng)模型

問題引入：市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的循環(huán)現(xiàn)象.若去年的豬肉生產(chǎn)量供過于求，豬肉的價(jià)格就會(huì)降低；價(jià)格降低會(huì)使今年養(yǎng)豬者減少，使今年豬肉生產(chǎn)量供不應(yīng)求，于是肉價(jià)上揚(yáng)；價(jià)格上揚(yáng)又使明年豬肉產(chǎn)量增加，造成新的供過于求…….據(jù)統(tǒng)計(jì)，某城市2010年的豬肉產(chǎn)量為30萬噸，肉價(jià)為18元/公斤，2011年生產(chǎn)豬肉25萬噸，肉價(jià)為20元/公斤.已知2013年的豬肉產(chǎn)量為28萬噸.若維持目前的消費(fèi)水平與生產(chǎn)模式，并假定豬肉產(chǎn)量與價(jià)格之間是線性關(guān)系，問若干年以后豬肉的生產(chǎn)量與價(jià)格是否會(huì)趨于穩(wěn)定？若能夠穩(wěn)定，請(qǐng)求出穩(wěn)定的生產(chǎn)量和價(jià)格.

模型解答：設(shè)第n年的豬肉生產(chǎn)量為xn，豬肉價(jià)格為yn，由于當(dāng)年產(chǎn)量確定當(dāng)年價(jià)格，故yn=f（xn），而當(dāng)年價(jià)格又決定第二年的生產(chǎn)量，故xn+1=g（yn）.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，yn=f（xn）稱為需求函數(shù)，xn+1=g（yn）稱為供應(yīng)函數(shù)，產(chǎn)銷關(guān)系呈現(xiàn)出如下過程：

x1→y1→x2→y2→x3→y3→x4→y4→…

令p1坐標(biāo)為p1（x1，y1），p2坐標(biāo)為p2（x2，y1），p3坐標(biāo)為（x2，y2）， p4坐標(biāo)為（x3，y2），…，P2k-1坐標(biāo)為（xk，yk），P2K坐標(biāo)為（xk+1，yk），k=1，2，…將點(diǎn)p1，p2，p3，…描在平面直角坐標(biāo)系中，會(huì)發(fā)現(xiàn)p2k都滿足 x=g（y），p2k-1都滿足y=f（x），畫出圖形，這種關(guān)系很像一個(gè)蛛網(wǎng)，故被稱為蛛網(wǎng)模型.

（2）海鮮店的訂貨問題

問題引入：某海鮮店離海港較遠(yuǎn)，其全部海鮮采購(gòu)均需通過空運(yùn)實(shí)現(xiàn).采購(gòu)部經(jīng)理每次都為訂貨發(fā)愁，因?yàn)槿粢淮斡嗀浱啵少?gòu)的海鮮賣不出去，而賣不出去的海鮮死亡率高且保鮮費(fèi)用也高；若一次訂貨太少，一個(gè)月內(nèi)訂貨批次比較多，這樣造成訂貨采購(gòu)運(yùn)輸費(fèi)用高，另一方面還有可能會(huì)喪失商機(jī).如果你是李老板的助手，請(qǐng)問你打算怎樣幫助他選擇訂貨批量，才能使每月的庫存費(fèi)與采購(gòu)訂貨運(yùn)輸費(fèi)用的總和最小.

模型解答：現(xiàn)假設(shè)該海鮮店每月消耗海鮮a（kg），一個(gè)月分若干批進(jìn)貨，每批采購(gòu)訂貨運(yùn)輸費(fèi)為b元，并設(shè)該海鮮店客源穩(wěn)定，均勻消費(fèi)，且上批海鮮消費(fèi)完后，下一批海鮮能立即運(yùn)到，即平均庫存量為批量的一半，設(shè)每月每千克海鮮保鮮庫存費(fèi)為c元.問如何選擇批量，才能使每月的庫存費(fèi)與采購(gòu)訂貨運(yùn)輸費(fèi)用的總和最小.設(shè)批量為x，采購(gòu)訂貨運(yùn)輸費(fèi)與海鮮保鮮庫存費(fèi)的總和為p（x）.首先，求出函數(shù)p（x）， 2.多元微積分教學(xué)案例

（1）射擊命中概率問題

問題引入：炮彈射擊的目標(biāo)為一正橢圓形區(qū)域，當(dāng)瞄準(zhǔn)目標(biāo)的中心發(fā)射時(shí)，在縱多因素的影響下，彈著點(diǎn)與目標(biāo)中心有隨機(jī)偏差.可以合理地假設(shè)彈著點(diǎn)圍繞中心呈二維正態(tài)分布，且偏差在x方向和y方向相互獨(dú)立.若橢圓區(qū)域在x方向半軸長(zhǎng)120 m，y方向半軸長(zhǎng)80m，設(shè)彈著點(diǎn)偏差的均方差在x方向和y方向均為100 m，試求炮彈落在橢圓形區(qū)域內(nèi)的概率.

模型解答：由于彈著點(diǎn)與目標(biāo)中心的偏差服從二維正態(tài)分布，且在x方向和y方向相互獨(dú)立，設(shè)目標(biāo)中心為（0，0），則彈著點(diǎn)（x，y）的 （2）消費(fèi)者均衡問題

問題引入：當(dāng)一個(gè)消費(fèi)者用一定數(shù)額的錢去購(gòu)買兩種商品時(shí)，分別用多少錢買甲和乙能得到最大的滿意度.經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱這種最優(yōu)狀態(tài)為消費(fèi)者均衡.

模型解答：記p1為甲商品的單價(jià)，q1為購(gòu)買甲商品的數(shù)量，p2為乙商品的單價(jià)，q2為購(gòu)買乙商品的數(shù)量，當(dāng)消費(fèi)者占有甲、乙兩種商品的數(shù)量分別是q1、q2時(shí)的滿意程度，或者說它們給消費(fèi)者帶來的效用，是q1、q2的函數(shù)，記作u（q1，q2），稱為效用函數(shù)，顯然u（q1，q2）=c的圖形是無差別曲線族.

上面的實(shí)例說明將數(shù)學(xué)建模思想融入微積分教學(xué)是十分必要的.但是，這種數(shù)學(xué)建模思想的融入不是一朝一夕就能完成的，需要貫穿于微積分教學(xué)的全過程.在教學(xué)過程中應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)理論循序漸進(jìn)的特點(diǎn)，輔以由易到難的數(shù)學(xué)模型，二者有機(jī)結(jié)合，于潛移默化之中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

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基金資助：山東省高等學(xué)校教學(xué)改革項(xiàng)目（2012484），山東省教育科學(xué)規(guī)劃2010年重點(diǎn)課題（2010GZ021）。

作者簡(jiǎn)介：馬曉燕，女，教授，就職于山東省泰安市泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)、決策科學(xué)理論研究。

胡中永，男，副教授，就職于山東省泰安市泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)值算法研究。