淺談加權(quán)平均數(shù)的形式及作用

摘要：在日常生活中，我們經(jīng)常會碰到平均數(shù)的計算，一般來說，平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，利用平均數(shù)，可以從橫向和縱向兩個方面對事物進行分析比較，從而得出結(jié)論。但是在有一些實際問題中，光考慮普通的平均數(shù)不是很科學，還要考慮每部分所占的比重，比重越大，起的作用就越大，這時我們可以考慮一組數(shù)的加權(quán)平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況（它特殊在各項的權(quán)相等）當實際問題中，各項權(quán)不相等時，計算平均數(shù)時就要采用加權(quán)平均數(shù)，當各項權(quán)相等時，計算平均數(shù)就要采用算術(shù)平均數(shù)，兩者不可混淆。

關(guān)鍵詞：加權(quán)平均數(shù)平均數(shù)

平均數(shù)是一個非常重要而又被廣泛運用的概念，在日常生活中，我們經(jīng)常會碰到這樣一些詞：平均產(chǎn)量、平均氣溫、平均降雨量、人均年收入等等，而平均年齡、平均分、平均身高等詞更為同學們所熟悉。一般來說，平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，利用平均數(shù)，可以從橫向和縱向兩個方面對事物進行分析比較，從而得出結(jié)論。但是在有一些實際問題中，光考慮普通的平均數(shù)不是很科學，例如：在評估某個學生的學期成績時，一般不會只看他的期末成績，而是將平時成績、期中成績和期末成績綜合起來考慮，如果簡單地計算這三個成績的平均數(shù)，即將平時成績、期中成績和期末成績同等看待，就忽視了期末考試的重要性。鑒于這種考慮，我們往往將這三個成績分配以不同的權(quán)重。

“權(quán)”的古代含義為秤砣，就是秤上可以滑動以觀察重量的那個鐵疙瘩。《孟子·梁惠王上》曰：“權(quán)，然后知輕重。”在一組數(shù)據(jù)里，一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為權(quán)。例如下列數(shù)串“3、4、3、3、3、2、4、4、3、3”， 其中3出現(xiàn)6次，4出現(xiàn)3次，2出現(xiàn)1次，6、3、1就叫權(quán)數(shù)。統(tǒng)計學認為，數(shù)據(jù)的頻數(shù)越大，表明它對整組數(shù)據(jù)的平均數(shù)影響越大，頻數(shù)起著權(quán)衡數(shù)據(jù)的作用，在統(tǒng)計中計算平均數(shù)等指標時，對各個變量值具有權(quán)衡輕重作用的數(shù)值就稱為權(quán)數(shù)或權(quán)重，“加權(quán)”就是考慮到不同變量在總體中的比例份額。

加權(quán)平均數(shù)的一般形式如下：加權(quán)平均數(shù)=（k1p1+k2p2+k3p3+……kmpm）/n ，其中k1、k2、k3……km表示相同的數(shù)，p1、p2、p3……pm分別為相同的數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)即權(quán)數(shù)，各權(quán)數(shù)之和為n。普通的算術(shù)平均數(shù)是特殊的加權(quán)平均數(shù)，在普通的算術(shù)平均數(shù)里，每個數(shù)的權(quán)重相同。

算數(shù)平均 = （10 + 15） / 2 = 12.5； 下面簡單談一下加權(quán)平均數(shù)的實際運用：

1、一開始講到的學生學期成績的評定，如果平時成績、期中成績、期末成績在學期成績評定中所占的比例分別為30%、30%、40%，某學生平時成績、期中成績、期末成績分別為90、92、85，那么這個學生的學期成績?yōu)椋?/p>

90×30%+92×30%+85×40%=88.6，這里的權(quán)重之和為1。

2、某人射擊十次，其中2次射中10環(huán)，3次射中8環(huán)，4次射中7環(huán)，1次射中9環(huán)，那么他平均射中的環(huán)數(shù)為：（10 ×2+8×3+7×4+9×1）/10 = 8.1

這里，7，8，9，10這四個數(shù)是射擊者射中的幾個不同環(huán)數(shù)，但它們出現(xiàn)的頻數(shù)不同，分別為4，3，l，2，不難看出，各個數(shù)據(jù)的權(quán)重之和恰為10。

3、下面的例子是未知權(quán)重的情況：

股票A，1000股，每股價格10； 股票B，2000股，每股價格15

加權(quán)平均= （10 x 1000 + 15 x 2000） / （1000 + 2000） = 13.33 ，在每一個數(shù)的權(quán)數(shù)相同的情況下，加權(quán)平均值就等于算數(shù)平均值。

4、投資方案

某人用10萬元進行為期一年的投資，有兩種不同的投資方案：一是購買股票；二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經(jīng)濟形勢，若經(jīng)濟形勢好可獲利3萬元，形勢中等可獲利1萬元，形勢不好要損失4萬元。如果存入銀行，假設利率為4%，可得利息4000元，如果經(jīng)濟形勢好、中、差的概率分別為30%、50%、20%，那么應該選擇哪一種投資方案可以獲得最大收益呢？

這個問題我們可以比較兩種投資方案獲利的期望大小，這也是加權(quán)平均數(shù)的一種運用。購買股票的獲利期望是E（A1）=3×0.3+1×0.5+（-4）×0.2=0.6（萬元），存入銀行的獲利期望是E（A2）=0.4（萬元），顯然E（A1）>E（A2），所以購買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應該采用購買股票的方案。

5、招聘和求職

學校小記者團打算招聘一名小記者，對小明、小麗和小剛3名應試者進行了期末考試成績、現(xiàn)場作文比賽及口頭表達能力測試，其中小明的期末考試成績、現(xiàn)場作文比賽、口頭表達能力測試成績分別為88、96、90；小麗的期末考試成績、現(xiàn)場作文比賽、口頭表達能力測試成績分別為91、90、95；小剛的期末考試成績、現(xiàn)場作文比賽、口頭表達能力測試成績分別為82、82、83

如果期末考試成績、現(xiàn)場作文比賽、口頭表達能力測試按照4：4：2的比例，應該錄取誰呢？

分析：按照4：4：2的比確定， 計算三名應試者的個人總分，他們的成績分別為：

88×4+96×4+90×214+4+2=91.6

91×+90×4+95×214+4+2=91.4

82×4+82×4+93×214+4+2=84.2

顯然小明的成績最高，所以從綜合成績看，應該錄取小明。

小李在求職過程中收到兩個公司的面試通知，假定每個公司有三種不同的職位：極好的，工資4萬；好的，工資3萬；一般的，工資2.5萬。能得到這些職位的概率分別為0.2、0.3、0.4，得不到任何職位的可能為0.1。由于每家公司都要求在面試時表態(tài)接受或拒絕所提供的職位，那么應該遵循怎樣的應聘策略呢？

排除極端的情況：提供極好的職位或沒工作，這種情況不用做決定，對于其他情況，我們的方案是，采取期望受益最大的原則。

工資的期望值為：E（A1）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+0×0.1=2.7萬。

那么在進行第一次面試時，我們可以認為，如果接受一般的職位，期望工資為2.5萬，如果放棄一般職位，可以去下一家公司應聘，期望工資為2.7萬，因此在第一家公司應聘時可選擇只接受極好的和好的職位。

此外在一些體育比賽項目中，也要用到權(quán)重的思想，比如在跳水比賽中，每個運動員除了完成規(guī)定動的作外，還要完成一定數(shù)量的自選動作，而自選動作的難度是不同的，兩位選手由于所選動作的難度系數(shù)不同，盡管完成各自動作的質(zhì)量相同，但得分也是不相同的，難度系數(shù)大的運動員得分應該高些，難度系數(shù)實際上起著權(quán)重的作用。

參考文獻：

[1]高鴻業(yè)：西方經(jīng)濟學[M]. 中國人民大學出版社，2006 .

[2]趙秀恒等：概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M]. 河北教育出版社，2006.

[3]盛驟等：概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M]. 高等教育出版社，2003 .