高職數(shù)學(xué)角度之函數(shù)概念的再理解

【摘 要】高職數(shù)學(xué)是高職教育的重要組成部分之一，高職的數(shù)學(xué)教學(xué)對學(xué)生的終身發(fā)展至關(guān)重要，函數(shù)的概念是很多高職學(xué)生從初中開始就難以逾越的“鴻溝”，針對高職學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱、抽象概念較難消化的特點(diǎn)，采用更生動形象的講授方式，可以有效提高高職學(xué)生的抽象思維能力，達(dá)到對函數(shù)概念的再理解。

【關(guān)鍵詞】高職數(shù)學(xué)教學(xué) 函數(shù)學(xué)習(xí) 抽象思維能力

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）26-0084-01

高職階段數(shù)學(xué)教學(xué)的意義不僅僅體現(xiàn)在繼續(xù)升學(xué)的方面，更重要的是能提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析與解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、抽象思維能力與空間想象能力，幫助學(xué)生學(xué)會理性思考、理性判斷，為專業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)有力的基礎(chǔ)。

高職數(shù)學(xué)知識點(diǎn)豐富，而函數(shù)概念是眾多數(shù)學(xué)概念中最重要的概念之一，是高職數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在課堂教學(xué)過程中，有不少學(xué)生反映函數(shù)的概念太抽象，從初中開始就是自己的“老大難”，以至于只要看到與函數(shù)有關(guān)的內(nèi)容就害怕，寧愿選擇回避。

函數(shù)的思想充分體現(xiàn)了集合、對應(yīng)、映射等基本數(shù)學(xué)思想，這與中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)、式、方程等有密切聯(lián)系。教師在函數(shù)教學(xué)中應(yīng)該從概念的本質(zhì)屬性、概念的內(nèi)涵和外延入手，加強(qiáng)概念形象理解，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。

一 函數(shù)概念的定義

傳統(tǒng)定義：設(shè)有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)。

近代定義：設(shè)A，B都是非空集合，f：x→y是從A到B的一個對應(yīng)法則，那么從A到B的映射f：A→B就叫作函數(shù)，記作y=f（x）。

對函數(shù)概念的理解，函數(shù)的兩個定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同。傳統(tǒng)定義是從對應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點(diǎn)出發(fā)。定義都是文字和符號的連接，學(xué)生在理解時缺乏直觀的認(rèn)識，往往一知半解，此時需要讓學(xué)生以自己獨(dú)特的角度對函數(shù)概念形成理解，也有助于加深記憶。

如將函數(shù)y=f（x）的三要素與實(shí)際生活相聯(lián)系，把“自變量x”看成是“待加工的貨物”，把“因變量y”看成是“加工完成的產(chǎn)品”，把“對應(yīng)法則f ”看成是“加工時的工序”，把“（）”看成是“工廠的大門”。如此學(xué)生以自己的理解，將理論與現(xiàn)實(shí)中的實(shí)物聯(lián)系起來。

二 函數(shù)的定義域和值域

在函數(shù)y=f（x），x∈D中，自變量x的取值范圍的集合D就是函數(shù)的定義域，而與x的值對應(yīng)的y值就是函數(shù)值，函數(shù)值y的集合就是值域。

函數(shù)的定義域和值域考查的形式有很多，無論是選擇題、填空題，還是解答題都會出現(xiàn)，是考試常考的內(nèi)容，在求定義域、值域時我們會碰到各種不同類型的函數(shù)表達(dá)式，有些是我們熟悉的，有些相對比較復(fù)雜。同學(xué)們在遇到不熟悉的函數(shù)表達(dá)式時往往不知道應(yīng)從何處下手。其實(shí)存在的問題都是心理緊張因素造成的，我們要理清思路，按部就班，掌握五大基本初等函數(shù)（反、對、冪、三、指）定義域、值域的特殊條件會有助于問題的解決。

第一，在求函數(shù)的定義域時，可以按照下面這幾種方法來快速有效地判斷和求解：（1）函數(shù)是整式時，自變量x可以取任意值，也就是定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)所組成的集合。（2）函數(shù)是分式函數(shù)時，一定要注意，分母不能為0，那么定義域就是除使分母為零以外的一切實(shí)數(shù)所組成的集合。（3）如果函數(shù)是偶次根式時，就要注意被開方數(shù)不能為負(fù)；是奇次根式時，被開方數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)。（4）當(dāng)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)時，應(yīng)盡量記住函數(shù)的大致圖像，關(guān)注其在平面直角坐標(biāo)系中的大體分布。（5）當(dāng)函數(shù)為三角函數(shù)時，更應(yīng)考慮其圖像，特別注意正切函數(shù)其定義域與直線斜率的關(guān)系。（6）若函數(shù)中包含了若干個基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算，那么該函數(shù)的定義域很可能就是各基本初等函數(shù)的定義域的交集。

第二，值域的求法較之定義域的求法要復(fù)雜得多，更沒有現(xiàn)成的結(jié)論，它必須通過不同的途徑分析、觀察、計(jì)算等才能求出不同函數(shù)的值域，通常有以下一些方法。（1）如果遇到的是熟悉的、學(xué)過的函數(shù)，可通過觀察其圖像直觀判斷出值域。（2）如果遇到不熟悉的、較復(fù)雜的函數(shù)，可通過“多點(diǎn)法”作出草圖客觀判斷其值域。（3）通過求出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性等性質(zhì)，輔助判斷其值域。（4）利用換元法把復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)來求值域。（5）部分函數(shù)可通過反函數(shù)法求定義域來求原函數(shù)的值域。

總之，學(xué)好函數(shù)首先需要弄清函數(shù)的概念，真正搞懂什么是函數(shù)，掌握基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖像，把概念性的知識點(diǎn)轉(zhuǎn)化為自己獨(dú)有的理解，不但不容易遺忘，而且可以充分發(fā)掘?qū)W生的想象力和思維能力。

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〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕