運用辯證思想方法 拓展學生解題思路

摘 要：問題是數學的核心，沒有問題就沒有數學的研究。運用辯證觀點來分析問題、解決問題是搞好數學學習的重要一環，應引起大家的重視。根據教學實踐體會，列舉了八個方面數學內容及數學學習方法間對立統一的辯證思維。教學者在教學中如何深入揭示這些知識的實質，讓學生用辯證唯物主義觀點去認識對立統一的概念、性質，才能深刻領會許多知識的實質，從而更好地學習數學。

關鍵詞：對立統一；辯證思維；問題研究

問題是數學的核心，沒有問題就沒有數學的研究，數學的矛盾和統一，數學內容變化間的相互聯系、相互轉化，是培養學生辯證唯物主義觀點、辯證唯物主義世界觀的重要內容，在教學中深入揭示這些知識的實質，用辯證唯物主義的觀點去認識對立統一的概念性質，才能深刻領會許多知識的實質，更好地學習數學。

一、“原”與“逆”

這里的“原”與“逆”是指原命題與逆命題相互應用及利用有關逆公式解題，有些公式教材中沒有介紹其逆公式，但其逆公式確實成立。

（4）冪的乘方公式（ab）n=anbn（n為整數），其逆公式anbn=（ab）n（n為整數）仍成立。如比較770與5035的大小。由于770=（72）35=4935，因此可很快得出結論。

二、“變”與“不變”

我們常用的去（或添）括號法則：在括號前面去掉負號，或在括號前面添上負號，那么括號內的各項符號都要改變，但原式的“值”是始終不變的。這就體現著“變”與“不變”這對矛盾的統一。

在數學的各種變換中，常常有這種“形式”改變了但其實質卻沒有改變的問題。

例如在列方程解濃度配比的應用題中稀釋（或加濃）前與稀釋（或加濃）后的質量、濃度都要改變，但其溶質卻沒有改變；鍛壓問題中，鍛壓前與鍛壓后的形狀改變了，但其質量、體積卻沒有改變等等。這些不變量常常是列方程找等量關系的依據。因此在解許多數學問題時，常抓住這種形變而質不變的實質，往往會使問題迎刃而解。

例2.今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩七，問物幾何？

本問題應抓住這堆物無論怎樣去數其總量沒有改變這一事實。

三、“等”與“不等”

“等”與“不等”是數學矛盾的兩個方面，它們在一定條件下可以相互轉化，即有些“相等”的問題，也可以用“不等”的知識加以解決。如關于“大邊對大角”“大角對大邊”兩定理的證明就是一個很好的例證。

例3.如圖1，在△ABC中，AD、BE分別是∠CAB和∠CBA的平分線，O是它們的交點，且AD=BE，求證：AC=BC.

這是著名的斯坦納定理，不妨設∠CAB≥∠CBA （1）

由（1）（2）得∠CBA=∠CAB，于是有AC=BC.

四、“正”與“反”

當我們正面解決問題很復雜或很困難時，不妨從反面去思考、去嘗試。

例5.若三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-

2a=0，至少有一個方程有實數根，求實數a的取值范圍。

分析：三個方程中至少有一個方程有實數根，共有七種情況，如果逐一去討論，那是相當麻煩的，若考慮問題的反面，而去研究三個方程均無實數 五、“進”與“退”

解決問題往往是逐步推進的，隨著問題的不斷解決，逐步接近目標，最后解決問題，但對于有些問題直接推進有困難時，或感到無法可“進”時，此時不妨采取“退”的方法，在“退”中求“進”，往往能化難為易，出奇制勝。

例6.求證：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和是一個定值。

直接證明PD+PE這個定值較困難，首先要找到這個定值等于什么。為此將P點“退”到B點這個特殊位置，再設法證明PD+PE=BF（為定值），定值找到，“目標”由隱轉明，“進”也就有方向了。由全等三角形和矩形的性質易證此題。

六、“分”與“合”

如果整個問題無法解決，可以把原來的問題分為幾個支問題，把各個支問題都解決了，那么整個問題也就解決了。

合與分相輔的主要表現形式是：綜合與單一間的合分，整體與部分間的合分，有限與無限間的合分，數學問題中的枚舉法、拆項添項法、割補法等都是合、分思想的具體應用。

例7.作出函數y=|x+1|+|x+1|的圖象。

整個地解決這個問題是不容易的，但注意到x的取值范圍，則“分”的思考有：

①當x≤-1時，原函數式為：y=2x；

②當-1≤x≤1時，原函數式為：y=2；

③當x>-1時，原函數式為：y=2x。

上述三部分的圖象均可作出，而合起來剛好是原函數的圖象。

七、“升”與“降”

代數中涉及“多元”“高次”等方程，都是通過“降”的思想來解決的，然后有些問題從“升”的角度來考慮，反而能使問題解決更簡便。

分析：此題若采用“升”的思想，從三次推到四次，將變得相對容易。

八、“分析”與“綜合”

“分析”與“綜合”是兩種對立統一的基本推理方法。綜合法從已知條件出發，應用定義、公理和定理，通過一系列正確的邏輯推理得出所需結論的方法。而分析法是把問題倒過來從結論入手考慮。即假定結論成立，然后由結論推演出一系列推論，一直到某個已知命題或達到一個容易證明的命題，最后把上述過程逐步逆轉推演，直到結論。

上述列舉的八個方面的對立統一的辯證思維是從各個不同角度進行考查的。事實上這些辯證思想、方法之間相互滲透交融，但是它們在總體上反映了數學解題過程中的辯證法思想的一些規律和特點。

作者簡介：陳莉莉，女，出生年月：1983.10，本科，就職于浙江省紹興市柯橋區平水鎮中學，研究方向：初二數學。