與兩條異面直線成等角的直線條數問題的探究及推廣

摘 要：立體幾何是高中階段的重難點，而且對學生的空間想象能力要求也越來越高。對與兩條異面直線成等角的直線條數問題進行探究，并進一步推廣到與兩相交平面成等角的直線條數問題。

關鍵詞：異面直線；夾角；推廣

例.已知異面直線a，b所成角為40°，在過空間一定點P（P點在兩條直線外）的直線中與a，b所成角均為60°、70°或80°的直線分別有幾條？

分析：對異面直線所成角的問題，我們一般采取“平移法”將空間角轉化為平面角。本題將異面直線a，b都平移到過點P，問題就變得容易多了。

解：過P分別作異面直線a，b的平行線a′與b′，則a′與b′可確定平面α。設l1與l2分別是∠1與∠2的角平分線，其中∠1=40°，∠2為∠1的補角，且l3⊥l1，l3⊥l2。由圖可得在l1與l3確定的平面內與a′，b′夾角均為60°的直線有2條，并都與l1的夾角相等，那么與a，b所成角均為60°的直線也有2條。在l1與l3確定的平面內，有2條與a′，b′夾角均為70°的直線，又因為∠2=140°，所以直線l2也與a′，b′的夾角為70°，那么與a，b所成角均為70°的直線就有3條。同理，在l1與l3確定的平面內，有2條與a′，b′所成角均為80°的直線，但在l2與l3確定的平面內，也有兩條與a′，b′成角均為80°的直線，并都與l2的夾角相等，那么與a，b所成角均為80°的直線就有4條。

經過對上述具體問題的分析，我們探究出與兩條異面直線成等角的直線條數問題一般結論：

已知異面直線a，b所成角為θ0，其中0°<θ0<90°，過空間一定點P的直線中與a，b所成角均為θ的直線有幾條？

別有2條直線滿足條件。當θ=90°時，滿足條件的直線有且只有1條，即異面直線a，b的公垂線。

我們進一步推廣到兩個相交平面中：

已知兩平面α和β成角為θ0，其中0°<θ0<90°，過空間任意一點P的直線中與α和β成等角θ的直線有幾條？

分析：因為平行直線與同一平面所成的角相等，所以直線的條數與點P的位置無關，故把點P移到平面α和β的交線上研究。

作者簡介：全水聰，男，出生于1983年9月10，碩士，內蒙古包頭市第九中學數學老師。

閆溯，男，出生于1997年2月28，學生，內蒙古包頭市第九中學高三（9）班。