構造幾何圖形求無窮級數的和

【摘要】通過構造幾何圖形來求一類特殊幾何級數的和，肯定了這類級數的收斂性，展現了幾何學中的線、面、體（指線段、面積、體積）與無窮級數之間的完美結合，并根據任意項級數與其絕對值級數斂散性之間的關系，判斷出當把上述幾何級數各項前面任意填上“+”號或“-”號，得到的級數仍然是收斂的結論，因此給出了一類級數收斂問題的一種判定方法。

【關鍵詞】無窮級數 幾何級數 級數 級數的和

【基金項目】編號SGH13170，高等數學教學中滲透數學人文教育的研究。

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）11-0177-02

無窮級數理論是高等數學的重要組成部分，求無窮級數的和（和函數）是比較重要的知識點，同時也是一個難點，方法有多種：定義法、拆項相消法[1]、

事實上，可以用10種方法證明調和級數是發散的[7]。

需要說明的一點是：調和級數的“和”是不存在的，因為它不能與一個確定的數相等。但是為了敘述上的統一起見，為了敘述上的方便起見，就說調和級數的和是+∞。這就如同極限理論中，當limf（x）=∞時，我們說f（x）的極限是∞（無窮大）一樣，實際上，f（x）的極限是不存在的。

利用構造幾何圖形求出三種幾何級數（或稱等比級數）的和，這種方法，隸屬構造法.所謂構造法就是：在解題時，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程（組）、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決的數學方法[8]。數學構造法屬于非常規思維，是一種重要的創造性思維方法，它適用于對某些常規方法不易解決的問題，既巧妙，又簡潔。

參考文獻：

[1]同濟大學數學教研室，高等數學（下冊）.北京：高等教育出版社，2008：186—258.

[2]潘鼎坤，考研數學成功之南.西安：世界圖書出版公司，2003： 226—236.

[3]馬醒花，張成虎，兩個級數求和問題的概率模型.高等數學研究，2014：17（1），45—46.

[4]李學坤，等，級數收斂性的幾何直觀方法探討.中國民航學院，2003：21（增刊），1

[5]張維榮，一類特殊級數的和函數.高等數學研究，2010：13（4），33—34.

[6]齊民友，從積分概念的發展看數學分析基本概念的發展.高等數學研究，2014：17（1），9.

[7]蔣傳章，等. 高等數學題解詞典，陜西科學技術出版社，1993.10，1588.

[8]新浪網2013—9—18