概率統計趣味性教學案例

【摘""要】概率論與數理統計是眾多大學專業的專業基礎課之一，其教學難點主要在于概念的抽象性造成學生難以理解。本文給出大量概率論教學中相關難點的趣味性教學實例，對豐富概率論課堂內容、提高教學效果有著十分重要的意義。

【關鍵詞】教學方法""概率論""教學案例

【中圖分類號】G432.07"""""""""""【文獻標識碼】A"""""""""""【文章編號】1674-4810（2014）33-0005-02

概率統計是現代大學理工、經濟、社科、農林、體育等專業必修課程。課程的學習對于培養和提高學生的創新能力與綜合素質起著極為重要的作用。其不但為學生學習一些后續課程奠定必要的數學基礎，而且對學生在數學知識的抽象性、邏輯性與嚴密性方面進行一定的訓練和熏陶，使他們具有理解和運用邏輯關系、研究和領會抽象事物、認識和利用數形規律的初步能力。與其他數學研究對象和分析方法都不一樣，概率統計的難點和關鍵是對概念的理解，學生普遍反映很難聽懂。如何把抽象概念形象化、具體化、簡明化，值得我們思考。

本文給出筆者在長期從事概率統計的教學過程中針對概率統計和高數各章疑難點，收集和構想的一批趣味性教學實例，與諸位同行交流，希望能夠豐富概率統計課堂教學的內容，提高學生學習興趣，改善教學效果。以下面幾個例子介紹概率統計問題：

一"賭徒分莊問題

上概率統計第一堂課，先簡單介紹該課程的起源。概率論最初是研究賭博中的概率問題，其中之一是著名的賭徒分莊問題。三百多年前（17世紀中葉）法國有一個非常有名的賭徒名叫Mere，有一次他與Mitton賭博，兩人約定：各擲一次骰子出現點數六者為勝一局，五局三勝制，賭金各一萬法郎。賭博進行了三局，Mere兩勝一負，此時因為特殊原因賭博中止。問如何根據現有結果來分割賭金。提供三種分莊方案（比例）：

Mere

1/2

1

2/3

Mitton

1/2

0

1/3

問學生選哪種方案，或有另外的分配方案？學生回答各種方案的都有，其中選第三種方案的居多。事實上，當時兩賭徒選的就是第三種方案。但事后Mere覺得自己吃虧了，

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就請教數學家Pascal。Pascal經過分析得出結論，并把此問題轉給另一位數學家Fermat，Fermat也得出同樣的結論。其

結論是Mere應得，為什么？原分配方案對，只考慮

了已經發生的結果（2∶1），沒有考慮到如果賭博繼續進行可能發生的結果。設賭博進行完五局，后面有四種可能的結果：（+、+）、（+、-）、（-、+）、（-、-），其中“+”表示Mere勝，“-”表示Mere負。上述四種結果是等可能

的，且前三種是Mere贏，故Mere應得。

據說，就是從此問題討論開始，法國數學家Pascal和Fermat與他們的好友荷蘭數學家Higens對賭博的概率問題展開了系統的研究，并由Higens寫成《論賭博中的概率》一書。它是一部最早的概率論著作，那個時期也被定為概率論萌芽時期。

二"三張卡片的故事

有些古典概率結果是很直觀的，如擲硬幣出現正面和反

面的概率各一半;擲一顆骰子，出現1～6點的概率都是

等等。但是有些直觀是錯誤的，看下面三張卡片的故事：

有三張卡片大小、形狀和顏色都一樣，其中一張中間兩面都畫有一個圓圈，另一張兩面中間畫有一個黑點，第三張一面中間是圓圈，另一面是黑點，如圖1所示。

從三張卡片中隨機地取一張，讓你看見其中一面，猜另一面的圖形。

分析1：假設你看到一面中間是圓圈，那么排除上述第二張，而第一、第三張反面一張是圓圈、一張是黑點，故猜

另一面中間是圓圈或黑點的概率都是。

分析2：同樣假設你看到圓圈，排除第二張，把第一、第三張卡片中的圖案編號如圖2。

""""""

圖1"""""""""""""""""""""""""""圖2

你看到的圓圈是1、2、3中之一，且是等可能的。當你看到1號或3號時，猜另一面為圓圈正確，當你看見2號時，猜反面是圓圈錯，所以當你看見一面是圓圈時猜另一面是圓

圈猜中的概率為。

分析3：當你看見圖案是什么，就猜出另一面也是什么，

成功的概率是（抽中第一、第三張卡片猜對，第二張猜錯）。

顯然，上述分析2、3是對的，而分析1直觀對，實際錯了。

三"薄豐投針問題

圓周率π是一個無理數。中國古代數學家祖沖之是世界上第一個將π值計算到小數點后面7位數的人，即3.1415926，這一紀錄保持了一千多年。法國數學家薄豐通過一個游戲得到π的近似值，精確到小數點后面5位，讓人嘆為觀止。在講幾何概型時，我補充了這個例子。

薄豐是法國數學家，據說他非常富有，每個周末都邀請親朋好友到家里度假。有一個周末，他邀請到20多位親朋好友到家，晚上酒足飯飽后，他對朋友說：今天我們來做一個游戲，大家每人拿一盒針（100枚），一根一根地往下丟，統計地上的針與地面平行線（地面磚交線）相交的數量，把統計結果告訴我。

一個小時過去了，游戲結束，大家把統計數據交給薄豐。薄豐統計出結果，并把它代入一個預先設定好的計算公式，計算結果讓大家大吃一驚，其結果是3.14136，太奇妙了。

讓我們看看奇跡是如何發生的。設地面平行線的距離為2d，針的長度為2L，針的中點至最近平行線的距離為x，針與平行線的夾角為θ，如圖3。

這是幾何概率問題：

樣本空間

針與線相交的充要條件是

圖3""""""""""""""""""""""圖4

故針與直線相交的概率為

設投針總量為N，針與線相交的數量為n，則其頻率為。

由頻率與概率的關系得：。

已知N=2000，n=382，d=20cm，L=6cm，一并代入

上式得：。

通過這個實驗，求出π的近似值，確實讓人驚奇。學生們可以自己設計一個薄豐投針的程序用電腦模擬實驗，可以得到更精準的π值。

四"概率為0與不可能事件

我們知道，不可能事件的概率為0，即P（φ）=0。但是，概率為0的事件一定是不可能事件嗎？答案是否定的。

例如，向[0，1]區間內隨機投點，問點恰好落在上的概率

P（）=？，設P（）=p，若pgt;0，則P（）=P（）=

pgt;0，n=1，2，…

由可列可加性，矛盾。故p=0，而“點恰

好落在上”是可能發生的事件。

注：此例也表明，概率為1的事件不一定是必然事件。

五"可列無窮與不可列無窮

細心的同學可能會問，在上例中，對，有

P（χ）=0。于是，矛盾。是呀！問題出在哪里呢？

概率公理化定義中第三條可列可加性是指：設有可列多個不相容事件A1，A2，…，An

有

而是不可列無窮多之和，下式是不成立的。

概率公理化定義中第三條可列可加性之所以強調“可列可加”而不是任意無窮可加，上述例子正是好的注解。

六"最大似然的估計

最大似然的估計是參數點估計的一種重要方法，一般教材中是這樣闡述的：設總體X～f（x，θ），其中θ是要估計的參數，抽取一個樣本（X1，X2，…，Xn）其聯合概率函數為

∠（θ），其中（x1x2…xn）為樣本值稱∠（θ）為

似然函數。選取θ的估計值，使∠（θ）取到最大值，這個估計值就稱為最大似然估計。為什么要選θ的估計值，使∠（θ）取到最大值？學生很難理解這種思維方法。在長期的教學過程中，我構想了下面這個例子：

1個盒子中有10個球，分黑白兩種顏色，兩種球比例為9∶1，但不知哪種球多，現從中任取一個球，發現是白球，問盒中黑白球各多少？

學生回答：白球9個，黑球1個。為什么呢？學生回答，白球多，取到的概率大。如此簡單的一個例子可以讓學生對這一抽象概念有直接的認識。

七"結束語

本文是筆者在概率統計教學改革與實踐中獲得的一點粗淺的認識和體會，愿與各位同仁交流。

參考文獻

[1]宋桂榮.概率論與數理統計課程教學改革研究[J].時代教育，2012（19）：9～11

[2]魏巍.本科概率論與數理統計課程教學模式改革的探索[J]數學學習與研究，2012（23）：119～121

〔責任編輯：龐遠燕〕

*"廣東省高等教育教學改革重點項目（編號：2013-5-220）、廣東海洋大學教學改革課題（XJG201259）