關于泰勒公式及其應用的思考與討論

【摘""要】在高等數學教學中，泰勒公式是重要的內容，在對一些數學問題的分析和研究中，泰勒公式的應用非常廣泛，本文主要針對泰勒公式在方程根的唯一性和存在性、近似計算、求極限及不等式問題中的應用技巧和方法進行思考和討論。

【關鍵詞】泰勒公式""應用""討論

【中圖分類號】G642"""""""""""【文獻標識碼】A"""""""""""【文章編號】1674-4810（2014）33-0063-01

一"泰勒公式的定理及用泰勒公式展開函數的方法

定理1，假設函數y=f（x）在x0點的臨近區域內n+1階可微，那么在該臨近區域內：

。

其中，，ξ為x0和x間的某一個值。

如果x0=0，則

，

0<θ<1。

定理2，假設函數y=f（x）在x0點n階可微，那么在x0近旁則有：

。

如果x0=0，則

應用上述原理，可在x0=0近旁展開一些常用函數，利用這些常用函數可以間接泰勒展開一些復合函數。

例1，求函數y=lncosx在x=0附近帶有佩亞諾型余項的泰勒展開式，到x4項。

解：利用和

復合兩式，得：

o

。

二"泰勒公式在極限函數中的應用

極限問題中，針對待定型極限問題，通常采用洛必達法則解決，但是對于一些相對煩瑣的求導極限問題，尤其需要多次使用洛必達法則時，問題就變得非常復雜。此時，應用泰勒公式對這一問題進行解決就相對比較簡單了。

例2，。

分析：該函數可利用洛必達法則求極限，但是需要通過六次應用洛必達法則才能完成，并且一次比一次的導數復雜，那么應用泰勒公式計算就比較簡單了，當然是在x=0處展開，選擇佩亞諾型余項。而對于展開的階數最終是多少不進行考慮，通?？紤]逐階展開，展開一項，消去一項，直到不能消去。首先，展開分子上的函數，寫出與sinx的泰勒展開式，的第一項為1，sinx的第一項為x，則就可以寫成6x，和后面的6x正好可以消去，然后再展開下一項，得到的前兩項為6x-7x3，所以，還要將其再展開一項，同理，分母也按此方法進行。

解：

因此，原式=

三"利用泰勒公式證明等式或不等式

例3，證明不等式

分析：在不等式的左邊，為二次三項式，右邊為無理函數，兩者從表面上來看并沒有明顯的大小關系，那么需要進行泰勒展開，將在x0=0處展開，然后和左邊的二次三項式進行對比，判斷二者的關系。

證明：設，則有，，

;，;，

。

因此，（0lt;θlt;1），

當x>0時，余項>0，則。

泰勒公式在數學中的應用，當然不止本文上述的幾個方面，還有更多問題的解決采用泰勒公式，如求行列式的值、判斷級數的斂散性等。本文著重對泰勒公式的幾個常用方面的應用技巧進行分析，對利用泰勒公式解決數學問題有了更深的認識。在遇到不同的問題類型時，要多加分析，對題設的條件及特點進行研究，把握處理問題的原則，就能很好地利用泰勒公式對問題進行處理。

參考文獻

[1]齊成輝.泰勒公式的應用[J].陜西師范大學學報（自然科學版），2003（Z1）

[2]譚康.泰勒公式及泰勒級數之妙用[J].高等數學研究，2010（3）

〔責任編輯：龐遠燕