數列求和問題的探究

【摘""要】數列求和是高中數學教學中的重要課題，也是學生學習的重點內容，如何借助有效的方法解答求和問題，需要每個數學教師認真研究分析，切實提高教學效率和學習效果，使學生掌握好這一重要知識。本文對數列求和問題的方法進行了探討，為當前的高中數學教學提供有益的借鑒。

【關鍵詞】高中數學""數列求和""等差""等比

【中圖分類號】G632"""""""""""【文獻標識碼】A"""""""""""【文章編號】1674-4810（2014）33-0149-02

數學是高中階段的主要學科，對學生的高考有直接的影響，而數列問題又是數學課程的重要組成部分，因此，在高中階段的數學學習中，教師和學生必須對數列求和問題要有足夠的重視。數列求和問題的解決，既可以采用基本的公式法，也可以采用技巧性更強的其他方法，如裂項相消法、分組相加法、倒數相加法等，要根據具體問題具體分析和應用不同解題方法。筆者從事高中數學教學工作多年，現結合自身教學經驗，對高中數學數列求和問題進行淺顯的探討。

一"牢固掌握數學基礎知識

數列求和問題是高中數學重要的組成部分，要掌握好這部分知識，應當要求學生牢固掌握最基本的數列知識。如數列的定義、性質和基本公式等。等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，則這個數列叫作等差數列;等比數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列叫作等比數列。一些重要的數列性質也要認真掌握，如{an}為等差數列，則有：（1）從第二項起，每項

是前一項與后一項的等差中項，（n>1）。（2）

an=am+（n-m）d"（m，n∈N*）。（3）若m+n=p+q，則：am+an=ap+aq，特殊的：若m+n=2r，則有：am+an=2ar。（4）若am=n，an=m則有：am+n=0。（5）若Sm=n，Sn"=m則有：Sm+n=-（m+n）。

{an}為等比數列，則有：（1）只有同號的兩數才存在等比中項。（2）an=amqn-m（m，n∈N*）。（3）若m+n=p+q，則：am·an=ap·aq，特殊的：若m+n=2r，則有：am·an=ar2。

（4）{an}，{bn}為等比數列，則{an·bn}，，{can}為等

比數列（c≠0）。（5）等比數列中連續n項之積構成的新數列仍是等比數列，當q≠1時，連續項之和仍為等比數列。（6）an=cqn（c≠0，q≠0），Sn=kqn-k（q≠0，q≠1）等較多的數列性質。最重要的數列公式更要牢固掌握，這也是解決數列求和問題的基礎。例如{an}為等差數列：an=a1+

（n-1）d，。{bn}為等比數列：

bn=b1qn-1（q≠1）;（q≠1）。

此外，還要注重培養學生敏銳的觀察力，讓學生能夠洞察問題的本質，能夠建立起相應的數學模型，將簡單個例普遍化。

二"利用數列基本公式進行求和

在牢固掌握數列知識的基礎上，遇到數列求和問題時，可首先分析是否可以套用公式進行解答，是數列求和問題中較為容易的一類。在利用數列基本公式進行數列求和時，要注意公式的準確性，如果公式不正確，答案自然也南轅北轍。因此，學生一定要認真記憶公式。例如，下面的問題就可以采用公式進行求和。

求和：（1）;（2）Sn=（x+）2+

;（3）求數列1，3+4，5+6+7，

7+8+9+10，…前n項和Sn。

思路分析：通過分組，直接用公式求和。

解：（1）

（2）

當x≠±1時，

當x=±1時，Sn=4n

（3）ak=（2k-1）+2k+（2k+1）+…+[（2k-1）+

（k-1）]

Sn="a1+a2+…+an=

在解答這個問題時，要注意對公比q=1或q≠1討論，從而運用等比數列前n項和公式對問題正確解答。

利用公式法求和是數列求和問題中較為簡單的一種，一般來說，這類題型可以直接套用公式，或只需要簡單的分類合并，再套用公式進行解答。在教學過程中，教師應要求學生牢固掌握這類解題方法，在考試中，這類問題是很容易得分的題型。

三"采用錯位相減法求和

錯位相減法是一種常用的數列求和方法，應用于等比數列與等差數列相乘的形式。如An=BnCn，其中Bn為等差數列，Cn為等比數列;分別列出Sn，再把所有式子同時乘以等比數列的公比，即kSn;然后錯一位，兩式相減即可。當有待定系數時，要進行分類討論。乘以公比，錯位相減，數準項數，計算細心，確保結論正確。錯位相減法求和是數列求和的重要方法，是高考的常考重點。

錯位相減法比公式法的難度有較大提高，是學生得分較低的一類題型，在解題過程中，要注意對問題分析并尋找規律，避免漏項或書寫錯誤，從而得到問題的正確答案。教師在講解這個方法時，可以結合學生常犯的錯誤，并按照一定的流程進行講解，讓更多的學生掌握這種求和方法。

四"借助裂項相消法求和

利用解析式變形，將一個數列分成若干個可以直接求和的數列，進行拆項重組，或將通項分裂成幾項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后剩下有限項的和。在學習過程中，應當教育學生掌握“裂項相消求和法”的幾個特征：（1）通項的分母是因式相乘的形式;（2）每項裂成兩個式子的差;（3）相鄰兩項裂開后，前一項的后式與后一項的前式互為相反數;（4）裂項的關鍵是緊抓相鄰兩項的相同項。裂項相消法求和是一種非常常見的題型，也是高考中的熱點考題。相對于其他題型來說，這種題目的難度大，有一定的思維能力，對于培養學生的思維能力有很大幫助。

在解答此類問題時，應當多寫一些項，然后進行觀察，才可能看出抵消的規律，從而使用該方法解決求和問題。

五"借助倒序相加法求和

在數列求和中，如果和式到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，那么可考慮選用倒序相加法。

例題：設數列{an}是公差為d，且首項為a0=d的等差數列，求和：

解：因為"""""""""""（1）

"""""""""""""""（2）

（1）+（2）得：

利用倒序相加法解決數列求和問題，大都是利用等差數列、等比數列以及函數的重要性質，從而順利地解答問題。在使用倒序相加法時要注意不斷變形，然后用知識具備的特有性質作為條件把和求出。

六"結束語

綜上所述，作為高中數學重點內容的數列求和問題，其解答方法有很多種，如公式法、錯位相減法、裂項相消法以及倒序相加法，此外，還可以利用其他求和法，如歸納猜想法、奇偶法等。在面對較為復雜的數列求和問題時，應當認真分析，將復雜的問題轉化為我們熟悉的等比、等差數列，然后根據題型采取不同的解答方法。解題過程中，應當掌握每個方法的本質，而不能生搬硬套，否則問題答案南轅北轍。要想達到良好的學習效果，教師與學生需要互相配合，才能不斷提高教學效率和教學質量。

參考文獻

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[3]趙翠娥.探討高中數學教學如何培養學生的解題能力[J].成功（教育），2012（24）

[4]張海芳.新課改下高中數學“高效課堂”的構建[J].中國科教創新導刊，2011（21）

[5]王錦章.一道高中數學課本例題的解法探究與變式訓練[J].考試周刊，2012（92）

〔責任編輯：林勁〕

ontT ? e 9 ??～ ?? font-family：'Times New Roman'; vertical-align：sub; \" gt;n=cqn（c≠0，q≠0），Sn=kqn-k（q≠0，q≠1）等較多的數列性質。最重要的數列公式更要牢固掌握，這也是解決數列求和問題的基礎。例如{an}為等差數列：an=a1+

（n-1）d，。{bn}為等比數列：

bn=b1qn-1（q≠1）;（q≠1）。

此外，還要注重培養學生敏銳的觀察力，讓學生能夠洞察問題的本質，能夠建立起相應的數學模型，將簡單個例普遍化。

二"利用數列基本公式進行求和

在牢固掌握數列知識的基礎上，遇到數列求和問題時，可首先分析是否可以套用公式進行解答，是數列求和問題中較為容易的一類。在利用數列基本公式進行數列求和時，要注意公式的準確性，如果公式不正確，答案自然也南轅北轍。因此，學生一定要認真記憶公式。例如，下面的問題就可以采用公式進行求和。

求和：（1）;（2）Sn=（x+）2+

;（3）求數列1，3+4，5+6+7，

7+8+9+10，…前n項和Sn。

思路分析：通過分組，直接用公式求和。

解：（1）