三角形“四心”內(nèi)容的探討

三角形的“四心”即內(nèi)心、外心、重心和垂心，是中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的知識點(diǎn)，每年全國各地高考試卷中都會(huì)涉及與“四心”有關(guān)的問題。以往的文獻(xiàn)是從三角形各心心距、表達(dá)形式、同心簇等方面著手研究，對三角形各心已有了較高層次的探索，但對學(xué)生解決實(shí)際高考和競賽中遇到的題目幫助不大。

本文著眼于“四心”的常規(guī)知識，對三角形的“四心”進(jìn)行了綜合闡述。

一"三角形“四心”的定義及常用性質(zhì)

眾所周知，與三角形相關(guān)的直線中，有些直線有著三線共點(diǎn)的特性，所謂三線共點(diǎn)是三條直線交于一點(diǎn)，有且只有一個(gè)交點(diǎn)。由此給出了三角形各心的定義：三角形的三條中線、三條高、三條角平分線、三條垂直平分線都交于一點(diǎn)，交點(diǎn)分別稱為三角形的重心、垂心、內(nèi)心和外心。關(guān)于“四心”定義的證明有多種方法，其中最著名的是塞瓦定理。

塞瓦定理：過ΔABC三頂點(diǎn)A、B、C，向?qū)呉本€，分別交對邊于D、E、F，那么AD、BE、CF三條直線交于

一點(diǎn)的充要條件是：。以重心為例，用塞瓦

定理證明三角形三條中線交于一點(diǎn)。

證明：D、E、F分別是三邊的中點(diǎn)則=1，=1，

=1，塞瓦定理顯然成立，則三角形三條中線交于同一點(diǎn)，

該點(diǎn)為重心。同理可以證明其余各心定義，在此不再一一闡述，下面就來看各心的常用性質(zhì)，部分老師已對其進(jìn)行了研究，通過學(xué)習(xí)，我歸納如下：

1.重心——三角形三邊中線的交點(diǎn)

設(shè)G是ΔABC的重心，AG的延長線交BC于D，則：（1）三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和重心的連線必過對邊中點(diǎn);三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的連線必過重心。（2）重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)距離之比為2∶1，即AG∶AD=2∶3。（3）G是ΔABC的重心，則有=0。（4）G是ΔABC的重心，A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），

則重心G的坐標(biāo)為G（，）。（5）G是ΔABC

的重心，則有SΔGAB=SΔGAC=SΔGBC=SΔABC。

2.內(nèi)心——三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)

設(shè)I是ΔABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓切邊AB于P，則：（1）內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，內(nèi)心到三角形三邊的距離相

等，等于內(nèi)切圓的半徑r。（2）I是ΔABC的內(nèi)心，∠BIC=

90°+∠A。（3）AP=，SΔABC=。

3.外心——三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)

（1）三角形的任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)就是三角形的外心。（2）外心是三角形外接圓的圓心，外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，且等于外接圓的半徑，即OA=OB=OC=r。（3）若O是ΔABC的外心，則2∠A=∠BOC，2∠B=∠AOC，2∠C=∠AOB。

4.垂心——三角形三條高的交點(diǎn)

（1）三角形的一頂點(diǎn)和垂心的連線必與對邊垂直。（2）若O是ΔABC的垂心，則A、B、C、O四點(diǎn)中，任意兩點(diǎn)的連線必垂直于其余兩點(diǎn)的連線。（3）若O是ΔABC的垂心，則有==。（4）銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上，鈍角三角形的垂心在三角形外。

三角形上作三高，三高必于垂心交，高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對整，直角三角形有十二，構(gòu)成六對相似形，四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清。

二"三角形“四心”在高考中的地位

分析近幾年的高考題會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形的“四心”問題常出現(xiàn)在選擇、填空或最后的壓軸題中，所占分值是5～14分。它雖然沒有數(shù)列、三角函數(shù)、圓錐曲線出現(xiàn)的頻率高，但這部分內(nèi)容涉及的知識面廣，靈活性強(qiáng)，學(xué)生比較容易混淆，比較容易失分。要解決三角形的“四心”問題，首先是尋找突破點(diǎn)，將已知的條件轉(zhuǎn)化到“四心”的概念性質(zhì)中，其中會(huì)涉及向量、坐標(biāo)、幾何等方面的綜合知識，這類題目有多種解題方法，有待進(jìn)一步探討。

三角形的“四心”內(nèi)容是三角形的重要知識點(diǎn)，也是解析幾何的難點(diǎn)，這類問題涉及的知識面廣，富有挑戰(zhàn)性，是考查學(xué)生能力的好題，本文對三角形“四心”進(jìn)行了粗淺的探討，旨在總結(jié)規(guī)律，幫助解題。

〔責(zé)任編輯：林勁〕

??? 4 a gt; ??～ ?? le=\"mso-spacerun：'yes'; color：rgb（0，0，0）; font-style：italic; font-size：9.5000pt; font-family：'方正書宋簡體'; \" gt;q≠0），Sn=kqn-k（q≠0，q≠1）等較多的數(shù)列性質(zhì)。最重要的數(shù)列公式更要牢固掌握，這也是解決數(shù)列求和問題的基礎(chǔ)。例如{an}為等差數(shù)列：an=a1+

（n-1）d，。{bn}為等比數(shù)列：

bn=b1qn-1（q≠1）;（q≠1）。

此外，還要注重培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力，讓學(xué)生能夠洞察問題的本質(zhì)，能夠建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將簡單個(gè)例普遍化。

二"利用數(shù)列基本公式進(jìn)行求和

在牢固掌握數(shù)列知識的基礎(chǔ)上，遇到數(shù)列求和問題時(shí)，可首先分析是否可以套用公式進(jìn)行解答，是數(shù)列求和問題中較為容易的一類。在利用數(shù)列基本公式進(jìn)行數(shù)列求和時(shí)，要注意公式的準(zhǔn)確性，如果公式不正確，答案自然也南轅北轍。因此，學(xué)生一定要認(rèn)真記憶公式。例如，下面的問題就可以采用公式進(jìn)行求和。

求和：（1）;（2）Sn=（x+）2+

;（3）求數(shù)列1，3+4，5+6+7，

7+8+9+10，…前n項(xiàng)和Sn。

思路分析：通過分組，直接用公式求和。

解：（1）