洛必達法則的內容及運用注意事項

【摘 要】本文從教學方法的角度對高等數學中洛必達法則的教學提出了一些看法，剖析了洛必達法則的實質，并探討了各種形式下的洛必達法則使用要注意的問題。

【關鍵詞】教學改革 高等數學 洛必達法則

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）14-0035-01

求極限是高等數學中最重要的內容之一，也是高等數學的基礎部分，因此熟練掌握求極限的方法對學好高等數學具有重要的意義。洛比達法則用于求分子分母同趨于零的分式極限，即用于求未定型的極限，以下七種類型的未定型可以

用洛必達法則來求：。

一 洛必達法則的內容

定理1：型未定型，如果：（1）

（2）a（x）·b（x）在U0（x0）內可導，且b'（x）≠0；（3）

（A為實數或±∞，∞）；則有：。

定理1對極限過程的情形，只要稍微修改一下條件（2），也有同樣的結論成立。

定理2：型未定型，如果：（1）

（2）a（x）·b（x）在U0（x0）內可導，且b'（x）≠0；（3）

（A為實數或±∞，∞）；則有：。

定理2對極限過程

的情形，只要稍微修改一下條件（2），也有同樣的結論成立。

定理3：0·∞型未定型，如果：

化為：

則為型未定型，化為：

則為型未定型。

可以用上述方法分別確定極限。

定理4：∞-∞型未定型，如果：

化為：

則為型未定型，實際運算時，一般均可通過通分實現。

定理5：00型未定型。

定理6：1∞型未定型。

定理7：∞0型未定型。

對于定理5、定理6、定理7未定型，一般為冪指數函數形式，即a（x）b（x）形式，通過取對數則可化為b（x）·

lna（x）的形式，即為0·∞型未定型，再根據0·∞型未定

型情形化為型未定型或型未定型，即可使用洛必達法則

來確定所要求的極限值。

二 使用洛必達法則要注意的問題

用洛必達法則確定未定型的極限時，要注意的一些問題

如下：（1）用洛必達法則計算極限之前，要先確定是否型

未定型或者型未定型，或者是否可化為0·∞，∞-∞，00，

1∞，∞0型，如果不能轉化為以上形式，則不能使用洛必達法則；若能轉化為以上形式，待轉化后再使用洛必達法則。一般情況下，定理的第（3）條不進行驗證，通過計算可以確

定是否存在。（2）即使不存在，但仍然是未

定型時，可以繼續使用洛必達法則。允許在滿足條件時多次

使用洛必達法則。如果不存在，且不是未定型時，

并不說明極限不存在，還有可能可用其他方法求出極限。（3）在使用洛必達法則之前和之中，要不斷對函數進行化簡，并配合其他求極限的方法，使計算過程更為簡潔，洛必達法則只是計算未定型極限的一種較為普遍的方法，但它不是唯一的方法，也不一定是最簡潔的方法，所以在使用中要認真考慮。

參考文獻

[1]平艷茹、張漢林.工科高等數學中洛必達法則的教學思考[J].高等數學研究，2007（5）：55～57

[2]袁建軍、歐增奇.高等數學中用洛必達法則求極限需注意的問題[J].西南師范大學學報（自然科學版），2012（6）

〔責任編輯：龐遠燕〕

——————————————————————————

* 基金項目：貴州省科技廳自然科學基金（〔2013〕2144）、貴州民族大學2013校級重點基金