淺談函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系

摘 要：隨著必修1數(shù)學的函數(shù)知識的學習，對函數(shù)的理解更加透徹，通過使用函數(shù)的一些性質(zhì)，比如定義域、單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性基本上了解和掌握了函數(shù)的特征和草圖。

關鍵詞：奇偶性；周期性；對稱性

下面我們就來探索一下函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性之間的內(nèi)在聯(lián)系。

探索一：函數(shù)具有奇偶性和周期性，是否具有對稱性

1.已知f（x）是R上奇函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x）

分析：（1）由于f（x）是R上奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），又因為滿足f（x+2）=-f（x）。

所以有f（x+2）=-f（x），得f（x）為軸對稱圖形，且對稱軸為x=1。

（2）由于f（x+2）=-f（x），得f（x+4）-f（x）=0，又因為f（x）是R上奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），得f（x+4）=f（x）？圯f（x+4）-f（x）=0？圯f（x+4）+f（-x）=0，所以得f（x）為中心對稱圖形，對稱中心為（2，0）點。

2.已知f（x）是R上偶函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x）

分析：（1）由于f（x）是R上偶函數(shù)，所以f（-x=f（x）），又因為滿足f（x+2）=-f（x）。所以有f（x+2）+f（x）=0？圯f（x+2）+f（-x=0）。所以得f（x）為中心對稱圖形，對稱中心為（1，0）點。

（2）由于f（x+2）=-f（x），得f（x+4）-f（x）=0，又因為f（x）是R上偶函數(shù)，得f（x+4）=f（x）？圯f（x+4）=f（-x），得f（x）為軸對稱圖形，且對稱軸為x=2。

所以一個函數(shù)具有奇偶性和周期性，那么這個函數(shù)就有對稱性。

探索二：函數(shù)具有奇偶性和對稱性，是否具有周期性

1.已知f（x）是R上奇函數(shù)，且滿足f（1+x）=f（1-x）

分析：由于滿足f（1+x）=f（1-x）？圯f（x+2）=-f（x），又因為f（x）是R上奇函數(shù)，得f（-x）=-f（x），所以有f（x+2）=-f（x）？圯f（x+4）=f（x）？圯T=4。

2.已知f（x）是R上偶函數(shù)，且滿足f（1+x）=f（1-x）

分析：由于f（x）是R上偶函數(shù)，且滿足f（1+x）=f（1-x）？圯f（x+1）=f（x-1）？圯f（x+2）=f（x）？圯T=2。

3.已知f（x）是R上奇函數(shù)，且滿足f（1+x）+f（1-x）=0

分析：由于f（x）是R上奇函數(shù)？圯f（1+x）+f（1-x）=0？圯f（1+x）-

f（x-1）=0？圯f（x+1）=f（x-1）？圯f（x+2）f（x）？圯T=2。

4.已知f（x）是R上偶函數(shù)，且滿足f（1+x）+f（1-x）=0

分析：由于f（x）是R上偶函數(shù)？圯f（x+1）+f（x-1）=0？圯f（x+1）=

-f（x-1）？圯f（x+2）=-f（x）？圯f（x+4）=f（x）？圯T=4。

所以一個函數(shù)具有奇偶性和對稱性，那么這個函數(shù)就有周期性。

探索三：函數(shù)具有周期性和對稱性，是否具有奇偶性

1.已知f（x）滿足f（x+4）=f（x），且f（1+x）=f（1-x）

分析：

f（x+4）=f（x）f（1+x）=f（1-x）？圯f（x+2）=-f（x）f（x+2）=f（-x）？圯-f（x）=f（-x）所以f（x）為奇函數(shù)。

2.已知f（x）滿足f（x+4）=f（x），且f（1+x）+f（1-x）=0

分析：

f（x+4）=f（x）f（1+x）+f（1-x）=0？圯f（x+2）=-f（x）f（x+2）=f（-x）？圯f（x）=f（-x）所以f（x）為偶函數(shù)。

通過以上的探索，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性之間具有內(nèi)在聯(lián)系，即一個函數(shù)具備了三者中的兩個，則另一個性質(zhì)也肯定具備。

下面附一道習題，有興趣的讀者可以試試。

定義在R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，且f（x+2）=-f（x），則下列結論正確的有 。

（1）f（x）是周期為4的周期函數(shù)

（2）f（-5）=0

（3）f（x）圖像關于x=1對稱

（4）f（x）在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞減

答案：（1）（2）

？誗編輯 王亞青