借助幾何直觀提高學生問題解決的能力

數學家克萊因認為：數學的直觀就是對概念、證明的直接把握。2011年版的《數學課程標準》將《數學課程標準（實驗稿）》中“空間觀念”的具體表現“能運用圖形形象地描述問題，能利用直觀來進行思考”單列出來，作為幾何直觀加以闡述。可見，幾何直觀是利用圖形洞察問題本質的一種方式，它既有形象思維的特點，又有抽象思維的特點，在整個數學學習過程中發揮著非同尋常的作用。

一、借助幾何直觀，客觀描述數學問題

幾何直觀是揭示數學對象的性質和關系的有力工具，借助幾何直觀描述和分析數學問題的過程也是發展學生空間概念的重要途徑。數學家波利亞曾這樣說過：圖形不僅是幾何題目的對象，而且對與幾何一開始沒什么關系的題目，圖形也是一種重要的幫手。從一定程度上來看，直觀的背景資料和幾何形象能為學生創造自主思考的機會，借助幾何圖形，能客觀描述數學問題，幫助學生更好地理解題意，分析問題，獲得對數學的深刻理解。

如：教學蘇教版小學數學第十冊《解決問題的策略——倒推》中，教師出示例1：兩杯果汁共400毫升；甲杯倒入乙杯40毫升，現在兩杯果汁同樣多。求原來兩杯果汁各有多少毫升？教學時，不妨借助幾何直觀，通過畫圖幫助學生描述數學問題，理解兩杯果汁容量間的變化關系（如下圖）：

兩杯果汁，原來的容量未知，從甲杯倒入乙杯后，果汁數量上發生了變化，通過直觀形象的圖示，讓學生清晰地看到乙杯此時的數量。再通過列表摘錄相關信息，學生對于求甲乙兩杯果汁原來的容量就能迎刃而解。同時，問題解決后，讓學生再次借助上面的圖示，回顧整理解題過程，明晰解題思路，想想，怎樣來驗證自己的解答是否正確？為什么要倒推？倒推時要注意什么？

一般地，數學教學活動要求學生有目的有計劃地去感知確定的對象，感知目的越明確，感官指向越集中，感知越鮮明，建立的表象越清晰。上述環節，學生借助示意圖，能充分表征問題情境，深刻理解題意，把握事件里的數學信息的內在聯系，圖形為學生的問題解決提供了有力的支撐。對為什么要倒過去想、如何倒推這兩個關鍵問題有了充分的體驗。

二、運用幾何直觀，探索問題解決策略

從小學生的思維特點看，他們以形象思維為主，逐步向抽象思維過渡。因此，在進行問題解決時，教師要善于運用幾何直觀，形象地反映和揭示思考、討論問題的思路，幫助學生更好地探索問題解決的策略。

如：教學蘇教版小學數學第七冊《解決問題的策略——列表》

首先，教師出示教材情境圖，指導學生觀察：這幅圖直接告訴我們哪些已知條件？學生不難發現有三個已知條件。

接著，圍繞問題思考：要求小華用去多少元？選擇合適的條件摘錄下來，也可以用畫圖或列表的方法。具體要求是：幫助我們一下子看清楚、看明白。

學生經過獨立思考，動手操作，嘗試練習后，展示自學成果：

生1：（摘錄條件） 小明： 買3本 18元

小華： 買5本 ？元

生2：（畫方框圖）

生3：（畫線段圖）

在三位學生進行交流后，教師肯定學生摘錄條件和畫圖非常清楚，可以看到題目中已知的條件與所求的問題。

生4：（列表）

生4展示后，教師要求學生觀察：這張表列得怎么樣？是否摘錄了相關的已知條件和所求問題，有什么需要改進的地方嗎？

經過師生討論，上圖修改為：

學生根據修改后的表格，似乎不難分析出數量關系，要求小華用去多少元，必須知道單價。但是單價怎么求呢？可以根據小明買的本數和總價這兩個條件就能找到。因此，很快列式計算：18÷3×5=30（元）。

問題初步解決了，教師啟發學生思考：剛才解決這個問題時，用了很多方法來整理已知條件。那么，列表對于解決這個問題有什么幫助？

學生經過比較、討論得出：列表后能看得非常清晰，一下子找到了數量、單價、總價之間的一一對應關系，解決問題似乎更簡單了。

該片段的教學，主要讓學生學會用多種方法整理信息，從而體驗列表作為策略的重要價值。畫圖的目的是把抽象的東西直觀地表示出來，把本質的東西顯示出來，如上面的方框圖和線段圖。而在此基礎上的列表整理信息，它是策略教學的有效載體。教師借助幾何直觀，通過與用文字摘錄條件、畫圖的比較，逐步引導學生體驗列表整理信息的優勢，讓學生自覺、靈活地形成整理信息的意識，掌握列表解決問題這一有效的策略。

三、依托幾何直觀，滲透數形結合思想

著名數學家華羅庚說過：形缺數時難入微，數缺形時少直觀。小學生在學習和生活中，借助于幾何直觀，通過觀察與操作活動獲得并儲備了各種表象，但在解決問題時，會因為有關的表象不能及時浮現而茫然不知所措。這時，教師可以引導學生根據表述問題的文字或語言，喚起學生頭腦中相應的表象，采用數形結合的方法幫助學生進行問題解決。

例如：蘇教版小學數學第十二冊《解決問題的策略——轉化》中，教材在例題1完成后，出示了一個問題：回顧一下：我們曾經運用轉化的策略解決過哪些問題？接著，出示例題2：試一試：計算■+■+■+■。

師：請看這道計算題，有規律嗎？什么規律？會做嗎？怎么做？

生1：先通分再計算。

師：通分也是一種轉化方法，把異分母分數轉化成同分母分數，是數的轉化。但是如果按照這樣的規律寫出15個、20個這樣的分數，你覺得通分計算會怎么樣？

生2：會很麻煩。

師：還有別的方法嗎？

有學生學過奧數，想到可以轉化。

師：有沒有更簡單的方法呢？我為大家提供一幅圖，仔細看，你有什么啟發？（出示一個正方形，說明，這個正方形可以用單位1表示，并提問空白部分是多少？■）

學生思考得出：求涂色部分的面積就是求1減去空白部分的面積。

■+■+■+■=1-■=■

事實上，學生在直觀圖形的啟發下，獨立進行轉化。全班交流學生講述思考過程時，都采用了數形結合來解釋圖意，圖中的正方形表示1，■+■+■+■的和就是正方形里涂色部分的大小。其實，算式轉化正是根據“涂色部分的大小等于1減去空白部分的差”進行的。

通過本題的練習，學生慢慢體會，為什么要把原題轉化為1-■，這樣能使計算簡便。因此，該題解決后，我要求學生帶著對轉化的良好體驗完成練習十四的第一題：有16支足球隊參加比賽，比賽以單場淘汰制（即每場比賽淘汰1支球隊）進行。一共要進行多少場比賽后才能產生冠軍？此題看起來與上面的計算題沒有什么聯系，實際上指導學生換個角度想一想，最終冠軍只有幾支球隊（1支），就要淘汰掉15支球隊，每淘汰一支球隊就要進行一場比賽，所以比賽的場數與淘汰的球隊數應該相等，一共要淘汰16-1=15（支）球隊，因此，比賽的場數也就是16-1=15（場）。它的解題思路與上題都是用相同的幾何模型來表達的。

轉化是解決問題時經常采用的方法，能把較復雜的問題變成較簡單的問題，把新穎的問題變成已經解決的問題。而借助正方形圖，采用數形結合的方法，可以使形象思維和抽象思維互助互補，直觀地呈現出題目中的等量關系。學生依托幾何直觀，直接感受到轉化的價值，明白了為什么轉化，如何轉化，體驗到轉化的策略帶來的好處，同時也能夠更好地幫助學生建模，從而掌握問題解決的策略。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”基于上面的思考，我們發現，幾何直觀是具體的，既有“數的特征”，也具有“形的特征”。只有正確把握幾何直觀的實質，掌握它的本質意義，才能在問題解決時靈活運用，幫助學生更好地分析問題，思考問題，解決問題，創生問題，激發他們的想像與創造，從而提升問題解決的水平，發展他們的數學理性精神。

（陳惠芳，張家港市教育局教學研究室，215600）

責任編輯：宣麗華