“解方程”應如何教

摘要：天等縣于2004年開始使用《義務教育課程標準》實驗教科書，到今年已有十個年頭。數學科在新教材的編寫上增加了一些板塊，可多數內容都是以情境圖為新知內容。這些主題圖看似簡單，但是如果不能很好地解讀，就無法教給學生解題的思路與方法，也達不到教材編寫的意圖。因此，教師在備課時一定要學習好大綱要求和各個知識板塊的學習目標。

關鍵詞：數學教學；解方程；教法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）05-0149

筆者在使用新教材之前習慣用舊教材做比較，從總體上去分析有哪些異同。五年級數學上冊新教材內容與舊教材沒有太大的區別，只是增加了觀察物體、統計與可能性和數學廣角三個新內容，在相同的內容上，筆者發現“解方程”與以往的舊教材在解方程的過程方法上有不同，看起來好像挺復雜，可是細細研究，從數學多個角度分析發現其實是對數學思維的培養是簡化了。對于這個問題，筆者幾次與同行探討：舊教材的解方程是利用算術思維根據四則運算的六個數量關系，根據已知條件，套用公式，求未知數。因此，熟記四則運算的六個數量關系和分清未知數的位置，根據數量關系就能求出方程的解。現在新教材里并沒有利用數量關系來解方程，而是根據天平保持平衡的規律來解，是不是新教材把解方程又復雜化了呢？而在教學過程中使用哪種方法更能讓學生容易理解呢？怎樣進行教學呢？對這樣的問題每個教師都有自己的看法，有的認為舊教材的方法好，有的認為可以用新舊方法結合，而筆者對“解方程”的方法是這樣理解的：

首先，本單元在內容的安排順序是先理解方程的意義，然后再利用天平去探索天平變化的幾種情況，這樣為學生怎樣理解等式性質打下基礎，新教材解方程是根據等式性質（即天平保持平衡的規律）來解的。而舊教材解方程，其基本依據是加與減、乘與除之間的逆運算關系，學生只要死記數量關系即可，只是為解題而解，沒有真正理解等式的性質。新教材先利用“天平”為處理方程提供了一個強有力的智力圖像：方程類似于一組天平，方程中的符號表示處于平衡狀態，用天平平衡的道理，形象直觀的幫助學生深化對“相等關系”的理解，讓學生明白：在等式的兩邊同時進行相同的運算，那么平衡就得到了維持——這一等式的基本性質，然后利用等式的基本性質解方程。例如，用新舊方法來解下面的方程：

舊方法解方程： 新方法解方程：

8x÷3=2.4 8x÷3=2.4

解：8x=2.4×3 解：8x÷3×3=2.4×3

8x=7.2 8x=7.2

x=7.2÷8 8x÷8=7.2÷8

x=0.9 x=0.9

新舊兩種解方程的方法到底要用哪種進行教學呢？一些教師覺得新方法麻煩，不好用，于是還是用舊方法“解方程”。有些教師卻認為用新方法進行教學，舊方法只做介紹。有的則認為兩種方法都可以，只要能達到解方程的目的就行了，但是總體感覺用舊方法的教師更多些。而筆者還是用新方法進行教學，在學生熟練了舊方法再進行介紹，然后讓學生自己比較選擇你喜歡的方法，但是在發現答題時，舊的方法更多地需要提示，特別是分不清未知數代表什么數或記不了數量關系式時解題相對錯比較多。而新的方法理解比較簡單，加幾就減幾，乘幾就除幾，學生容易理解。

我們先來看看《數學課程標準》在小學階段關于這一方面的唯一要求：理解等式的性質，會用等式的性質解簡單的方程（如3x+2=5，2x-x=3）。這句話是否可以這樣理解：如果不會用等式的性質解簡單的方程，是否說明你沒完成這階段的教學目標呢？ 而且，新教材對這一教學內容做如此改動的原因是：在中學學習解方程用的是代數的方法，而以前根據四則運算的互逆關系解方程，屬于算術領域的思考方法，而用等式性質解方程，屬于代數領域的解方程。兩者有聯系，但后者是前者的發展與提高。這樣，在解方程的教學中，學生將逐步接受并運用代數的方法思考、解決問題，使思維水平得到提高。所以，《數學課程標準》中明確規定：在小學里學習解方程也是利用等式的性質，這樣中學學習不再是另起爐灶，加強了與中學數學的銜接。所以，教學“解方程”的著眼點不僅僅是去求方程的解的過程，不能演繹為操作、訓練解方程技巧的過程；而是在求方程的解的過程中，進行數學模型的變換，進一步體會等式的基本性質。

但也有這樣的問題：當未知數作為減數或除數時，例如用“等式的基本性質”解80-x=67和80÷x=2這類型的方程，難度較大，如果是用舊方法來解就顯得更容易，可是這樣的方程在新教材里是少見到的，這是屬于特殊情況，未知數處于減數、除數位置，得用特殊的解決辦法：把未知數移動到另一邊，變成容易去掉已知數的形式。

80-x=67 80÷x=2

解：80-x+x=67+x 解：80÷x×x=2×x

67+x=80 2x=80

67+x-67=80 -67 2x÷2=80 ÷2

x=13 x=40

舊方法：減數=被減數-差 除數=被除數÷商

新方法解題的目標是：解（還原）未知數（x）。方法是：把未知數一邊的已知數去掉。逆運算（加什么，減什么；乘什么，除什么……）是根據了等式的性質的原理：等式兩邊同時進行相同的運算，等式的性質不變。這樣，學生運用起來比較靈活，隨機應變，不過咋看起來寫得還是挺長的。試想，用舊方法來解8x÷3=2.4這個方程，傳統做法就是，首先把8x看作一個整體，在這里8x就是含有未知數的被除數，于是，“已知除數是3，商是2.4，要求被除數，那就是‘被除數=除數×商’”。

經過數量關系轉化之后，得出第一步解：

8x（被除數）=2.4（商）×3（除數）

結果就是8x=7.2

在8x=7.2，未知數x其實就是一個因數（乘數），已知一個因數（8）和積（7.2），要求另一個因數（x），那根據乘法逆運算就要用積除以乘數（已知因數）了。

于是，得出——

（上接第149頁）

x（因數）=7.2（積）÷8（因數）

最終x=0.9

不難發現，在這樣的思維中，每解一步，學生的頭腦中都必須理清相應的算理，充滿了數量關系（這里用到了兩個數量關系）。其實，這種傳統算法對于強化學生對數量關系的理解是有益處的，但是，卻使學生的頭腦對數的感覺變得復雜。如果到了稍復雜的方程，有的題目還是用到三個數量關系，而之前學習中并沒有讓學生去死記這些數量關系，一下子要熟記，對一些學生來說還是有一定的難度。這樣，他們要學好方程，就必須有個前提，對各種四則運算的數量關系背得滾瓜爛熟，或者經常練習，熟能生巧。學生首先必須弄清未知數在方程中屬于哪個量，然后根據公式來解方程。思維過程比較復雜，教師每每都得引導學生弄清“已知什么和什么，要求什么，要怎么辦？”

數學新課程理念下的解方程，則“要求學生在解方程的過程中，探索、理解等式的基本性質，再運用等式的基本性質解方程。”為什么呢？因為它的思維指向更直接而簡單，用一句話來概括就是——以等式解方程的思維實質，就是在不改變等式平衡的前提下，通過加減乘除等方法，把未知數一邊的已知數全部想辦法去掉，最終留下的就是“未知數等于多少”的解。再用剛才的例子來說明：

8x÷3=2.4——新思維：在未知數x所在的等式左邊中，有3和8兩個已知數，那么要解這個方程，就要想辦法把未知數一邊的已知數全部去掉，使經過復雜運算的未知數還原為本身，但又不能破壞等式的平衡。怎么辦呢？要使一個數還原為自己原來的面目，那就要“加什么，減什么；乘什么，除什么”，而且根據等式的性質等式兩邊要同時進行才不會破壞等式的平衡。

于是，第一步仍然把要8x當作一個整體，8x除以3，要把它還原回來，就必須再乘以3。那就是8x÷3×3=2.4×3，得到8x=7.2。

以次類推，下一步就是要還原x等于多少，那就要想辦法把8去掉，怎么呢？“乘什么就除什么”，于是8x÷8=7.2÷8，最后，x=0.9。

總之，在借助等式性質來解方程的思維下，方程類似于一組天平，在等式的兩邊同時進行相同的運算，那么平衡就得到了維持。這就是等式的性質。而根據這個性質解方程，它的思維很簡單，核心就是——在不改變等式平衡的前提下，把未知數所在一邊等式的已知數想辦法全部去掉，（做法無非就是加了什么就減去什么，乘了什么就除去什么，兩邊同時進行）。使經過復雜運算的未知數還原為本身，最后得出未知數等于多少的方程解。

而新舊兩種解方程的方法到底要用哪種進行教學呢？很顯然，第二種思維無需弄清那么多的數量關系，無需熟記諸如“被減數=差+減數，減數=被減數-差，被除數=商×除數，除數=被除數÷商”等等運算公式。只要它認定一個目標，“把未知數一邊的已知數全部想辦法去掉”就行了。

但是，一些教師覺得新方法麻煩，不好用，看到一個長長的等式，擔心學生不會算，于是還是用舊方法解方程。其實，說新方法麻煩此言差矣，新方法比起傳統方法來說，也許步驟多了些，但思維更加簡單，更容易為學生理解。問題就是有的教師沒有抓住“等式思維解方程”的核心：去已知數。所以，本來更加簡單的思維方法、解題思維，卻被莫名其妙地復雜化了。

那么，為什么新課程要用這種方式來替代舊式解法呢？ 從教學上來說是為了中小學銜接；從培養目標來說，是為了新數學思維的培養。因此，我們在教學之前必須真正了解教材編排的意義所在，真正去挖掘教材，才能更好地使用教材。

（作者單位：廣西崇左市天等縣民族小學 532800）