淺談集合思想與摩根定理的若干應用

摘要：深入對集合基本概念的認識，很容易能夠發(fā)現集合思想與摩根定理在實踐中能解決相當多的難題。本文在結合大量實例的基礎上，運用集合思想與摩根定理思想，探究了其在集合、簡易邏輯及概率中的應用。

關鍵詞：集合思想；摩根定理；集合；簡易邏輯；概率

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）05-0159

集合是高中數學的基本知識，若深入對集合基本概念的認識和理解，可發(fā)現集合思想與摩根定理作為工具在實踐中對一些棘手的問題能很好地解決，并易于理解。本文主要介紹了運用集合思想與摩根定理思想在集合、簡易邏輯及概率中的應用。

一、在集合中的應用

在集合中，摩根定理C1（M∪N）=C1M∩C1N，C1M∪C1N=C1（M∩N），是一個不可或缺的工具，在集合中巧妙利用它能達到事半功倍的效果。

例1. 設集合I={（x，y） x∈R，y∈R}，集合M={（x，y） ■=1}，N={（x，y） y≠x+1}，那么C1（M∪N）=（ ）

A. B. {（2，3）} C. （2，3） D. {（x，y） y=x+1}

分析：本題若從正面入手有一定難度，若利用摩根定理能很快解決并易于理解，由摩根定理得：C1（M∪N）=C1M∩C1N，即只要求出M集合與N集合的補集后取交集即可。

由題設得：C1 N={（x，y） y=x+1} ，故C1（M∪N）=C1M∩C1N={（2，3）}選B。

二、在簡易邏輯中的應用

從集合的觀點看，建立命題p，q相應集合。p：A={x p（x）}，q：B={x q（x）}，那么，若A B，則p是q的充分條件；若A B且A≠B，則p是q的充分非必要條件；若B A，則p是q的必要條件；若B A且A≠B，則p是q的必要非充分條件；若B=A，則p是q的充要條件；若B A且A B，則p是q的非充分非必要條件；

示意圖如下：

1. 尋求兩個命題間的邏輯條件

例1. 命題甲：x+y≤1；命題乙：x2+y2≤1，則（ ）

A. 甲是乙的充分非必要條件；

B. 甲是乙的必要非充分條件；

C. 甲是乙的充要條件；

D. 甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

分析：此題從正面入手較為困難。利用集合關系可以迎刃而解，構造圖形可知，甲為如圖示陰影部分，乙為單位圓部分：故從集合角度甲 乙且甲≠乙，故選A。

例2. 命題甲：x≠2或y≠3；命題乙：x+y≠5，則（ ）

A. 甲是乙的充分非必要條件；

B. 甲是乙的必要非充分條件；

C. 甲是乙的充要條件；

D. 甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件.

分析：這兩個命題都是否定性的命題，正面入手較為困難。利用集合思想可迎刃而解。為了進行判斷，首先需要構造兩個集合：甲、乙；判斷甲、乙的集合關系即可。顯然集合甲 集合乙，故選擇B。

2. 判斷命題的真假性

例3. 已知p，q為兩個簡單命題，且命題“p或q”的否命題是真命題，則必有（ ）。

A. p真q真 B. p假 q假 C. p真q假 D. p假q真

由摩根定理積極和思想可知“p或q”的否命題可轉化為C1（p∪q）=C1p∩C1q：即 （p∪q）= p∩q為真。故必是 p與 q都真，從而p假且q假，故選B。

從以上兩類題型可知利用集合思想處理簡易邏輯方便快捷、易于理解、可行性強。

三、在概率中的應用

從集合的觀點看：若A B，A發(fā)生則B發(fā)生；若B A，B發(fā)生則A發(fā)生；若B=A，則A，B同時發(fā)生；若A∩B= ，則事件A與事件B為互斥事件；若A∩B= 且則事件A與事件B為對立事件；（I為全集）；A+B可以理解為發(fā)生或發(fā)生（A∪B），可以理解為發(fā)生且發(fā)生（A∩B）；且摩根定理思想的應用不可忽視。

例4. 從3個男生和4個女生中選出3個人參加會議，那么互斥而不對立的兩個事件是（ ）

A. 至少有一個男生和全是男生

B. 至少有一個男生和至少有一個女生

C. 恰有一個男生和恰有一個女生

D. 至少有一個男生和全是女生

分析：利用集合思想解決這類題型方便快捷，在A中{至少有一個男生}∩{全是男生}={全是男生}≠ ；排除A；在B中{至少有一個男生}∩{至少有一個女生}={一男兩女或兩男一女}≠ ，排除B；在D中{至少有一個男生}∩{全是女生}= 并且{至少有一個男生}∪{全是女生}= 全集，故D中兩事件對立；可驗證C中{恰有一個男生}∩{恰有一個女生}= ，但其并集不是全集，故C符合條件。

例5. 如圖在電路上A、B、C表示開關，如果用事件A、B、C分別表示相應的開關閉合，A、B、C獨立且A、B、C閉合的概率均為0.6，則通路的概率為多少？

分析：此題易入手，但也易出錯，利用集合思想與摩根定理則易于破解，由圖可知A，B所在為串聯，則該線路通必是A，B兩個都通，該線路通記為D通。而線路通則為C或D通（C+D）的概率，故可由摩根定理思想先求出線路不通的概率，即先求發(fā)生的概率，用1減去不通的概率即可。由摩根定理得■=■+■，故有：P（D）=P（AB）=P（A）P（B）=0.36；P（■ ■）=P（■）P（■）=0.4×0.4=0.16，故通路的概率為：1-0.16=0.84。可見，集合思想在概率中的應用是不可或缺的。

（作者單位：山西省晉中榆社縣第一中學 031800）