數(shù)學(xué)課堂例題教學(xué)的有效設(shè)計(jì)

摘要：例題是教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念、掌握技能的主要載體，是學(xué)生掌握知識(shí)的重要環(huán)節(jié)。例題教學(xué)的目的不僅是解題，而且要在解題的過程中培養(yǎng)和提高學(xué)生獨(dú)立思考、探索新知、解決問題的能力。本文緊緊圍繞“數(shù)學(xué)課堂例題教學(xué)的有效設(shè)計(jì)”這一主題，借助豐富的教學(xué)案例，結(jié)合筆者自身的教學(xué)實(shí)踐，重點(diǎn)從引例的設(shè)計(jì)——在精彩中開始；類化例題的設(shè)計(jì)——在對(duì)比中前行；變式例題的設(shè)計(jì)——在拓展中飛躍；多解例題的設(shè)計(jì)——在主動(dòng)探索中提效；合作性學(xué)習(xí)例題的設(shè)計(jì)——在交流中升華五個(gè)方面闡述了數(shù)學(xué)課堂例題教學(xué)有效設(shè)計(jì)的具體做法。分析了設(shè)計(jì)的合理性和有效性，探討了如何進(jìn)行適時(shí)、適地、適情的情境創(chuàng)設(shè)，例題的設(shè)計(jì)應(yīng)遵循怎樣的“變之道”，以期起到拋磚引玉、提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)效的作用。

關(guān)鍵詞：例題教學(xué)；例題教學(xué)；變式

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）05-0021

《新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》指出：有效數(shù)學(xué)例題教學(xué)，是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展思維能力的重要途徑，能夠促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方式的改變。學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高，主要是通過例題在解決數(shù)學(xué)問題的思維實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)的。

例題教學(xué)是課堂的一個(gè)主要組成部分，是培養(yǎng)學(xué)生能力的重要手段，能促使學(xué)生更加牢固地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，將知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能。對(duì)例題進(jìn)行精心設(shè)計(jì)、創(chuàng)設(shè)情境，采用新穎的形式，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，讓學(xué)生從不同的角度探索解決問題的途徑，鞏固所學(xué)的知識(shí)，培養(yǎng)其良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維品質(zhì)。

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。從某種意義上說，數(shù)學(xué)教學(xué)就是問題的設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的中心任務(wù)就是要設(shè)計(jì)出一個(gè)（或一組）問題，從而把教學(xué)過程組織成為提出問題和解決問題的過程，讓學(xué)生在解決問題的過程中做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、增長(zhǎng)知識(shí)、發(fā)展能力。筆者在觀摩海寧市學(xué)科帶頭人的展示課中發(fā)現(xiàn)：精心設(shè)計(jì)的例題正是課堂教學(xué)中問題設(shè)計(jì)的起點(diǎn)，解決問題的載體，歸納應(yīng)用的升華。因此，在課堂教學(xué)中，筆者認(rèn)為教師應(yīng)該根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)好例題這個(gè)“點(diǎn)”，以它為載體，帶動(dòng)整堂課，為課堂提優(yōu)增效。因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)依據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，設(shè)計(jì)出有效的例題，激發(fā)學(xué)生的思維，提高課堂教學(xué)的有效性。

一、數(shù)學(xué)課堂例題設(shè)計(jì)的原則

1. 例題設(shè)計(jì)要有明確的目標(biāo)指向

例題教學(xué)是希望通過訓(xùn)練幫助學(xué)生理解，溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高總結(jié)歸納能力。例題設(shè)計(jì)除了要考慮變式的全面性、新穎性，最重要的是要明確例題教學(xué)的目的。一般來說，新授課中的例題教學(xué)應(yīng)以基礎(chǔ)為重，設(shè)計(jì)時(shí)可著重于某一點(diǎn)的變式，而復(fù)習(xí)課中的例題教學(xué)則要求一題多變、“以少勝多”，這樣的例題教學(xué)才能真實(shí)、簡(jiǎn)潔、高效，擺脫“題?！睉?zhàn)術(shù)。

2. 例題設(shè)計(jì)要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

由于學(xué)生思維并非“一步到位”，而是“螺旋式上升”的漸進(jìn)過程，明確學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，理解學(xué)生的思維障礙，設(shè)計(jì)的問題要有一定的梯度，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)緊扣。根據(jù)例題的特點(diǎn)，選擇重點(diǎn)，如一些綜合性的例題，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該注重前期的過度鋪墊，對(duì)一些基礎(chǔ)性的例題，可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由旌屯卣?，開闊學(xué)生的思維，這樣的設(shè)計(jì)，才能讓學(xué)生處于順理成章的狀態(tài)。

3. 例題設(shè)計(jì)要有利于激發(fā)學(xué)生的探索欲望

有效的例題設(shè)計(jì)要善于抓住學(xué)生的“眼球”，喚醒學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。把一些看似平淡的例題配上引“生”入勝的情景，把封閉題改為探索、開放題，把靜態(tài)的問題動(dòng)態(tài)化，為學(xué)生提供一些富有挑戰(zhàn)性的素材，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和創(chuàng)造性，提高學(xué)生的參與度，讓學(xué)生在“想想、猜猜、辯辯”中體會(huì)到數(shù)學(xué)的無窮魅力！

二、數(shù)學(xué)課堂例題教學(xué)的有效設(shè)計(jì)

1. 引例的設(shè)計(jì)——在精彩中開始

“良好的開端是成功的一半”，一堂成功的數(shù)學(xué)課，往往需要精彩的課堂導(dǎo)入，筆者認(rèn)為如果設(shè)計(jì)一問題引例既可以迅速吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，又有一定的內(nèi)涵，牽一發(fā)而動(dòng)全身，使學(xué)生產(chǎn)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，使引例產(chǎn)生事半功倍的效果。

例1. 筆者在“雙高課”《5.1不等式》中設(shè)計(jì)了引例：我來到你們學(xué)校開課非常高興，認(rèn)識(shí)你們也非常開心。初次見面我準(zhǔn)備了兩個(gè)蘋果（一大、一?。┧徒o大家，但是數(shù)目有限，筆者只能把它送給手舉得最高的前兩名同學(xué)。

設(shè)計(jì)一：由全班同學(xué)做評(píng)委，選出手舉得最高的前兩名學(xué)生。

設(shè)計(jì)二：第一名同學(xué)選擇蘋果？并且說出選擇的理由。

師問：你想選擇哪個(gè)蘋果？

生答：我選擇大的蘋果。

師問：生活中處處存在著像“舉得更高，大的蘋果”的不等量關(guān)系。

若第一名、第二名同學(xué)舉手的高度分別為a，b，拿到的蘋果質(zhì)量分別為x、y，你能用數(shù)學(xué)式子來表示出它們的關(guān)系嗎？

生答：a>b，x>y

師問：給上面的式子取個(gè)名字，什么名字好？

生答：不等式

師問：你能類似的舉出生活中的不等量關(guān)系式嗎？

整節(jié)課給人的感覺是“水到渠成”，一切都是那么的自然，學(xué)生學(xué)得輕松、愉快，聽課教師也是坐車觀景，心情愉悅。課后通過各位教師的點(diǎn)評(píng)，筆者又更深刻地領(lǐng)悟到這樣設(shè)計(jì)的恰到好處，因?yàn)椴粌H創(chuàng)設(shè)了師生交流的生活化背景，而且非常自然地引入到本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，為突破教學(xué)難點(diǎn)做了思維鋪墊。

2. 類化例題的設(shè)計(jì)——在對(duì)比中前行

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，存在著很多混淆不清的問題。精心設(shè)計(jì)例題，將此類例題分類歸納，并集中力量解決同類題中的本質(zhì)問題，總結(jié)出這類題的解題方法和規(guī)律，從而達(dá)到觸類旁通的目的。

例2. （浙教版七年級(jí)下數(shù)學(xué)教材）冪的運(yùn)算、乘法公式的教學(xué)學(xué)生容易混淆。在講完同底數(shù)冪的乘法法則后，筆者改編例題1為題組例題A、B組及拓展。

A組：計(jì)算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示

（1）65×63 （2）（-3）5×（-3）4 （3）（-6）6×63 （4）66×（-6）3

設(shè)計(jì)意圖：前兩個(gè)是同底，后兩個(gè)是互為相反數(shù)的冪的運(yùn)算，在學(xué)生對(duì)比區(qū)分的基礎(chǔ)上更好地掌握法則運(yùn)用的注意點(diǎn)。

反饋練習(xí)1：

（1）22×25 （2）（-2）2×（-2）5 （3）（-2）2×25 （4）-22×（-2）5

B組：計(jì)算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示

（1）x4·x3 （2）（x-y）2·（x-y） （3）-x4·x5 （4）（y-x）2·（x-y）

設(shè)計(jì)意圖：1. 同底數(shù)冪相乘時(shí)，不能疏忽指數(shù)為1的情況；2. 公式中的a可以代表一個(gè)數(shù)字或一個(gè)字母，也可以是一個(gè)式子。

反饋練習(xí)2：

（1）x·x4 （2）（x-y）5·（x-y） （3）x·（-x）4 （4）（y-x）5·（x-y）

拓展題：計(jì)算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示

（1）58×53×52 （2）a2·a5·a （3）（-5）8×53×（-5）2 （4）-a2·a5·a

設(shè)計(jì)意圖：掌握am·an·ap=am+n+p（m，n，p都是正整數(shù)）

反饋練習(xí)3：

（1）33×34×35 （2）z3·z2·z4·z （3）（-4）2×（-4）3×44

通過對(duì)易混淆例題的精心設(shè)計(jì)，把知識(shí)從一個(gè)問題遷移到另一個(gè)問題，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果。

3. 變式例題的設(shè)計(jì)——在拓展中飛躍

所謂“變式”，就是指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化。即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征，變換問題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式，配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好對(duì)象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性。通常采用的方法有以下幾方面：

（1）遞進(jìn)式例題的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)的例題要有層次性，即由易到難，循序漸進(jìn)，逐步提高，使不同層次的學(xué)生都能達(dá)到練習(xí)的目的，避免“吃不了”和“吃不飽”的現(xiàn)象發(fā)生；同一內(nèi)容由淺入深的遞進(jìn)，一步步引導(dǎo)學(xué)生將問題深化，揭示解題規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

例3. 在復(fù)習(xí)時(shí)，為了加深學(xué)生對(duì)等腰三角形性質(zhì)的理解，筆者設(shè)計(jì)了有梯度、循序漸進(jìn)的變式訓(xùn)練組：

（原例題）已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是4，底長(zhǎng)為6；求周長(zhǎng)。

變式1：已知等腰三角形一腰長(zhǎng)為4，周長(zhǎng)為14，求底邊長(zhǎng)。（這是考查逆向思維能力）

變式2：已等腰三角形一邊長(zhǎng)為4；另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。（前兩題相比，需要改變思維策略，進(jìn)行分類討論）

變式3：已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。（顯然“3只能為底”否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性）

變式4：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，求底邊長(zhǎng)y的取值范圍。

通過以上各題的層層推進(jìn)，不斷變化，使學(xué)生對(duì)這類問題不再有畏懼心里，再遇到類似的問題也能順利解決。

（2）引申式例題的設(shè)計(jì)

對(duì)于一道例題不能就題論題，而應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊旰妥兓?，逐步延緩伸?在培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性的同時(shí)，讓學(xué)生思維變得深刻、流暢。

①變換題目結(jié)論（或條件），使題目深化發(fā)展

例4. 原題：已知，如圖1，在△BCA中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)D、E、F。求證：CE·CA=CF·CB。

變式1：求證：△FCE∽△ACB

變式2：求證：CD3=AB·AE·BF

兩個(gè)變式把原題結(jié)論逐步深化，原題的難度較小，到了變式2就成了難度較大的問題。通過變式無疑可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高其解綜合題的能力。

②增加條件，變換結(jié)論

任何復(fù)雜題都是簡(jiǎn)單題的發(fā)展，通過對(duì)原題條件的增加、結(jié)論的引申，使題目不斷變化，但其實(shí)質(zhì)并沒有變化。

例5. 原題：已知，如圖2，經(jīng)過⊙O上一點(diǎn)T的切線和弦AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C。求證：∠ATC=∠TBC

變式1（增加條件，深化結(jié)論）：在原題的條件，“將弦AB改為直徑AB”，如圖3，再增加條件“AB=BC=6”。結(jié)論變?yōu)椤扒驛T﹕TB的值”。

變式2（再增加條件，加強(qiáng)結(jié)論）：在原題的條件下，將“弦AB”改為“直徑AB”，如圖4，又增加條件“DA⊥AC與CT的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，且CT∶TD=2∶1，AT+BT=4+2■，結(jié)論變?yōu)椤扒骃△ABT的值”。

4. 多解例題的設(shè)計(jì)——在主動(dòng)探究中提效

在例題教學(xué)時(shí)，教師要有意識(shí)地用多種思路來完成，從不同的角度探究，使學(xué)生深刻體會(huì)并鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于常規(guī)方法，尋求變異，勇于創(chuàng)新。

浙教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“1.2平行線的判定（2）”中，教材中例題如下：

例6. 如圖5，∠C+∠A=∠AEC，判斷AB與CD是否平行，并說明理由。

解法1：如圖6，延長(zhǎng)CE，交AB于點(diǎn)F。由于三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩內(nèi)角之和，可得∠CFA+∠A=∠AEC。由已知∠C+∠A=∠AEC，可推出內(nèi)錯(cuò)角∠C=∠CFA。根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行的定理得到AB∥CD。

解法2：把圖6中的CF再延長(zhǎng)些，可用同位角相等證明直線平行。

解法3：如圖7，連接AC，在△AEC中，∠AEC+∠ECA+∠CAE=180°，已知∠ECD+∠EAB=∠AEC，所以∠DCA+∠BAC=180°。根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的定理得到AB∥CD。

教師通過分析，引導(dǎo)學(xué)生沿著不同的途徑去思考問題，通過比較，提煉出最佳解法，從而達(dá)到優(yōu)化解題思路的目的。

5. 合作性學(xué)習(xí)例題的設(shè)計(jì)——在交流中升華

以學(xué)生為中心，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，經(jīng)歷觀察、操作、想象、交流合作等探索過程，并在自主活動(dòng)中主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)意義”是新課標(biāo)提出的教學(xué)理念。在教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到一些教學(xué)主題內(nèi)容以外的探究活動(dòng)或課題學(xué)習(xí)，有些教師不予重視，選擇不講或略講，但筆者認(rèn)為根據(jù)新課標(biāo)提出的教學(xué)理念，我們可以精心的設(shè)計(jì)或者改編這塊內(nèi)容，讓此類例題成為現(xiàn)實(shí)展示自我、提升自我的載體及整堂課的歸納應(yīng)用的升華。

例7. 浙教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)4.6整式的加減（2） 中課本中設(shè)計(jì)題：向家人或查閱你家支付電費(fèi)，或水費(fèi)，或其他費(fèi)用的收據(jù)、賬單等。這些費(fèi)用是怎樣計(jì)算的？請(qǐng)用適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示，然后把你得到的結(jié)果在班級(jí)里交流。

本課時(shí)的重點(diǎn)是整式的加減運(yùn)算.課本上最后的設(shè)計(jì)題，對(duì)于學(xué)生來說，比較難，對(duì)教師來說，比較難以駕馭課堂中合作探究環(huán)節(jié)，而且處理起來比較麻煩，處理的過程中容易出錯(cuò)。所以大多數(shù)教師往往會(huì)選擇了放棄此題，而我經(jīng)過深入思考后，選擇不放棄，只做了小小的改動(dòng)，讓學(xué)生更好地交流合作解決實(shí)際問題。

合作學(xué)習(xí)：我們大家當(dāng)一回小小水費(fèi)監(jiān)督員，請(qǐng)我們完成以下工作吧。

（1）調(diào)查對(duì)象：自家水費(fèi)賬單。

（2）探究方向：用水的費(fèi)用是怎樣計(jì)算出來的。

（3）交流合作：請(qǐng)你簡(jiǎn)潔明了的向同學(xué)介紹你家水費(fèi)計(jì)算情況。

（4） 設(shè)計(jì)例題： 為節(jié)約用水，我市規(guī)定三口之家每月標(biāo)準(zhǔn)用水量為15立方米，超過部分加價(jià)收費(fèi)，假設(shè)不超過部分水費(fèi)為1.5元/立方米，超過部分水費(fèi)為3元/立方米。

請(qǐng)用代數(shù)式分別表示這家按標(biāo)準(zhǔn)用水和超出標(biāo)準(zhǔn)用水各應(yīng)繳納的水費(fèi)。

此時(shí)，通過進(jìn)行合作學(xué)習(xí)例題的設(shè)計(jì)，有助于擴(kuò)展學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的靈感，形成獨(dú)特的認(rèn)識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生討論，使學(xué)生積極地去發(fā)現(xiàn)、主動(dòng)地去探求、自覺地去運(yùn)用。

總之，在新課程理念下，教師在例題教學(xué)設(shè)計(jì)中，要處理好傳授知識(shí)與發(fā)展能力的關(guān)系，注重培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立性和自主性，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、探究、促進(jìn)學(xué)生在教師的指導(dǎo)下主動(dòng)、富有個(gè)性地學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常進(jìn)行數(shù)學(xué)題后反思.通過對(duì)原問題進(jìn)行重新認(rèn)識(shí)、對(duì)解題過程中條件的處理，對(duì)解題方法的掌握有梯度地深化思考，對(duì)所用知識(shí)進(jìn)行有效概括，對(duì)解題經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行提煉，并嘗試排除思考過程中對(duì)的思維迂回，探求多樣解法和最優(yōu)解法，讓學(xué)生自然而然地形成一題多解。有效地把握各種數(shù)學(xué)思想，提高個(gè)人數(shù)學(xué)知識(shí)。

本文只是筆者自己在教學(xué)實(shí)踐中的一些不成熟的做法，借以拋磚引玉，期望我們教師能創(chuàng)造性地使用好教材，對(duì)教材的內(nèi)容、編排順序、教學(xué)方法等方面進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜∩峄蛘{(diào)整，并吸收生活中的鮮活題材，“變”出符合學(xué)生發(fā)展的例題，以提高課堂教學(xué)的有效性。

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（作者單位：浙江省海寧市長(zhǎng)安鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 314408）