多元回歸—馬爾可夫復合模型在上證綜指預測中的應用

[摘 要] 本文研究了近年我國股票市場與國際股票市場指數之間的關聯性，為了彌補一般多元回歸模型對于隨機波動性強的數據的預測誤差大的缺陷，建立了多元回歸-馬爾可夫模型，通過對比分析，該復合模型較一般的多元回歸模型預測效果更佳。最后利用復合模型對上證綜指進行了短期預測。

[關鍵詞] 上證綜指；多元回歸；馬爾可夫；預測

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 23. 044

[中圖分類號] F830.91 [文獻標識碼] A [文章編號] 1673 - 0194（2014）23- 0075- 03

0 前 言

國內外的許多理論及研究表明，國際股票市場存在著顯著的聯動。Dekkeer et al.（2001）[1]發現美國股市的波動會迅速影響亞太地區的股票市場。陳潔、張定勝（2012）用EGARCH模型，發現香港市場和英國市場對上海市場均存在正向影響，美國市場與上海市場負相關，香港市場的影響最為顯著，日本股市對上海股市不存在明顯影響。

另外，國內也有許多對于上證綜指預測的研究。李坤（2006）利用馬爾可夫鏈預測了上證綜指的走勢，為投資決策提供了參考。

國內外的研究者對股票市場之間關聯性的研究較多，對其進行預測建模的研究則較少。而大多數預測建模的方法也僅局限在使用回歸分析、時間序列分析、灰色模擬等預測工具上。因此，本文在前人利用多元回歸分析理論對上證綜指與國際股票市場的關聯性及預測的研究基礎上，結合馬爾可夫理論優化修正多元回歸模型的誤差，建立了關于上證綜指的多元回歸-馬爾可夫復合模型。采用該復合模型對上證綜指進行預測分析，將可以為國家政府部門決策、個人投資、企業經營等提供有力可靠的依據。

1 上證綜指與國際股指的關聯性分析

本文選取了全球較有代表性及影響力的股票指數2010-2012年每周收盤價作為研究數據，包括道瓊斯工業平均指數、標普500指數、納斯達克綜合指數、巴西IBOVESPA股票指數、英國富時100指數、法國CAC40指數、德國DAX30指數、SP/TSX綜合指數、意大利富時MIB指數、日經225指數、韓國KOSPI指數、澳大利亞普通股指數、中國臺灣加權指數、恒生指數、上證指數、俄羅斯RTS指數。由于各國或地區節假日不完全相同，所以原始數據時間上會存在錯位或缺失，為了保證數據的連續性，本文剔除掉所有錯位或缺失的周數據，最后我們提取了所有市場都進行交易的周數據收盤價組成新的序列，共取得觀察樣本149個。所有數據均來源于大智慧金融投資系統，具體的股票指數名稱、代碼參見表1。

對16種股票進行數據預處理以后，得到16種股票2010-2012年149個交易周的數據。利用SPSS對其進行相關性分析，結果見表2。

表2中列出了上證綜指與另外15種股指的Pearson相關系數，我們發現只有DJIA、SPX、NDX、IBOVESPA、FCHI、FMIB、N225、AORD、TWII、HSI這10種指數與其有明顯的相關性，其中DJIA、SPX、NDX為負相關，其余指數均為正相關。本文選取相關程度較高（相關系數≥0.5）的10種股票指數，分別為DJIA、SPX、NDX、IBOVESPA、FCHI、FMIB、N225、AORD、TWII、HSI，建立這10種股指變量與上證綜指的多元回歸模型，并進行了預測。

2 多元回歸-馬爾可夫復合模型理論

2.1 基本原理

多元回歸模型與馬爾可夫鏈是兩類在指數預測上常用的各具不同特色的預測方法。回歸模型一般是利用最小二乘法原理，通過預測方程對實際情況的模擬誤差的平方和最小來確定回歸方程中的回歸系數，從而建立起描述對象變化趨勢的函數表達式，進而對預測對象的未來走勢進行預測。馬爾可夫鏈預測的理論基礎是馬爾可夫過程。馬氏鏈表述了這樣一個隨機變化的動態系統：一個n階馬氏鏈由n個狀態集合{E1，E2，…，En}及一組轉移概率pij（i，j=1，2，…，n）所確定，這樣的過程在某時刻只能處于一個狀態，假設在時刻T，過程處于狀態Ei，則之后的T+1時刻，它將可能以概率Pij處于另外的狀態Ej。這種無后效性的特點決定了馬氏鏈預測時根據狀態之間的轉移概率來預測系統未來的發展。

所以說，在指數預測中，將兩種方法單獨使用，往往得不到較高的預測精度，而若結合這兩種方法的特點，將其聯合運用，可以彌補各自不足之處，便可達到提高預測精度的目的。

2.2 思路與步驟

本文建立多元回歸-馬爾可夫復合模型的基本思路如下：首先，建立回歸模型并求出預測值以及預測值與實際值的相對誤差。然后，將相當誤差劃分為若干個狀態區間，根據相當誤差落入各區間的點的數量，得出馬爾可夫轉移矩陣，并借此預測未來相對誤差的狀態。最后，根據未來的預測狀態得出相對誤差區間，取區間的中點作為預測的相對誤差，并以此修正多元回歸模型的預測值，從而得到修正后的復合模型的聯合預測值。

建模步驟如下：

（1）建立多元回歸預測模型，求出模型的預測值、相對誤差，以及模型的精度檢驗。

（2）對誤差區間進行劃分。根據預測值的誤差分布劃分成數量大致相等的若干個狀態區間，其表達式為：Ei=[E1i，E2i]，其中i=1，2，…，n。

（3）計算狀態轉移概率矩陣。若Mij（m）表示狀態Ei經過m步轉移后變成Ej的樣本數，Mi為處于狀態Ei的樣本數。我們將狀態轉移概率記為：Pij（m）=■，其中i=1，2，…，n。

則狀態轉移概率矩陣為：

P（m）=P11（m） P12（m） … P1n（m）P21（m） P22（m） … P2n（m） …Pn1（m） Pn2（m） … Pnn（m）

在上述矩陣中，假設誤差處于Ek狀態，考察矩陣P（m）中的第k行，記maxPkj=Pki，則我們認為系統由Ek狀態經過m步狀態轉移最可能轉向Ei狀態。

（4）計算多元回歸-馬爾可夫復合模型的聯合預測值。由于未來的相對誤差預測Ei狀態可求出相對誤差預測值得變動區間[E1i，E2i]，我們取該區間的中點，即■（k）=■作為相對誤差的預測值，并以此對多元回歸預測值進行修正，從而得到該復合模型的聯合預測值。

3 基于復合模型的上證綜指的實證分析

本文選取基于上證綜指的多元回歸模型的相對誤差作為模擬預測指標，根據各誤差的具體分布范圍將相對誤差等分為8個狀態，分別記為：

E1∈[-11%，-6.5%]，E2∈[-6.5%，-4.44%]，

E3∈[-4.44%，-2.52%]，E4∈[-2.52%，-1，37%]，

E5∈[-1.37%，1.21%]，E6∈[1.21%，5.48%]，

E7∈[5.48%，8.82%]，E8∈[8.82%，20%]。

采用四步狀態法確定下周狀態。可以得到狀態轉移次數矩陣M與狀態轉移概率矩陣P（m）。

P（2）=P×P，P（3）=P3，P（4）=P4。

在狀態轉移次數矩陣M中，Mij表示狀態由i轉移到下一個狀態j所出現的次數；狀態轉移概率矩陣P（m）中，上標m表示轉移的步數，Pij（m）表示由狀態i經過m步轉移到狀態j的概率。2011年12月9日到30日這4周的上證綜指分別處于狀態4、5、6、6，則2012年1月第一周所處的狀態由前4周決定，故2012年1月第一周的上證綜指預測值相等誤差所處8種狀態的概率為：

Pi=max{P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8}=max{0.164 4，0.244 8，0.562 5，

0.485 6，0.817 9，0.893 3，0.740 8，0.090 2}=P6

因此，上證綜指2012年1月第一周預測值相對誤差狀態最有可能為狀態6，即多元回歸模型預測值■1（0）和實際值X1（0）的差與實際值的比值最可能處于狀態6。

■∈[1.21%，5.48%]

以狀態6的區間中值作為相對誤差的預測值，即從多元回歸模型得到的2012年1月第一周預測值的相對誤差為3.345%，故可對其進行修正，得到多元回歸-馬爾可夫復合模型的聯合預測值。計算方法如下：

■=3.345%

X1（0）=■=■=2 148.0

即多元回歸-馬爾可夫復合模型預測得到2012年第一周上證綜指為2 148.0點。

求解2012年第二、第三周上證綜指預測值步驟與第一周的步驟相同。部分各周多元回歸模型預測值所屬狀態、修正誤差以及多元回歸-馬爾可夫復合模型修正后的指數預測值見表3。

經計算，基于上證綜指的復合模型預測中的最大誤差為4.86%，最小誤差為0.01%，相對誤差平均值為0.99%。根據殘差檢驗法，該多元回歸-馬爾可夫復合模型精度為一級。

在多元回歸模型、多元回歸-馬爾可夫復合模型中，前者模型的精度等級為三級，后者的精度等級為一級，均符合殘差標準的要求。但顯然，多元回歸-馬爾可夫復合模型比多元回歸模型精度高兩個級別，且預測值的相對誤差最大項、最小項、平均值、誤差的波動性都較小，見表4、圖1。說明多元回歸-馬爾可夫復合模型的預測精度更高，預測結果更可靠。

4 結 論

本文利用國際股票指數對上證綜指進行了短期的預測分析，對上證綜指與國際股指的關聯性進行了相關性分析，發現只有DJIA、SPX、NDX、IBOVESPA、FCHI、FMIB、N225、AORD、TWII、HSI這10種指數與其有明顯的相關性，其中DJIA、SPX、NDX為負相關，其余指數均為正相關。

另外，本文提出了將多元回歸與馬爾可夫理論相結合的一種新的指數預測方法，建立了多元回歸-馬爾可夫復合模型。該復合模型不僅可以應用于股票指數的預測，而且可用于房地產、期貨市場等經濟領域的預測。該復合模型精度比一般多元回歸模型精度更高，預測結果較為準確。采用該復合模型對上證綜指進行預測分析，可以為國家政府部門決策、個人投資、企業經營等提供有力可靠的依據。

主要參考文獻

[1]Dekkeer A，Sen K，Young M.Equity Market Linkages in the Asia Pacific Region：A Comparison of the Orthogonalised and Generalized VAR Approaches[J].Global Finance Journal，2001（12）：1-33.

[2]Sariannidis N，Drimbetas E，Konteos G.Impact of International Volatility，the Euro，and Derivatives on a Small Stock Market[J].International Review of Applied Economic Research，2006（1）：1-21.

[3]俞世典，陳守東，等.主要股票指數的聯動分析[J].統計研究，2001（8）：42-46.