淺談均值不等式的應用

摘 要 均值不等式在很多領域都占有重要的地位，但它的應用是一個難點，本文從初等數學，高等數學，實際生活三個方面論述了均值不等式的應用，有利于對均值不等式的進一步理解及應用。

關鍵詞 均值不等式 應用 技巧

中圖分類號：G634.6 文獻標識碼：A

On the Application of Mean Inequality

WANG Dongmei

（School of Mathematics， Jilin Normal University， Siping， Jilin 136000）

Abstract Mean inequality occupies an important position in many areas， but its application is a difficult point， this article from elementary mathematics， advanced mathematics， practical life three aspects discuss mean inequality； it is beneficial for further understanding of the mean inequality and applications.

Key words mean inequality； application； skill

均值不等式是數學科目在初級甚至高級階段應用概率比較大的一個基本不等式。 均值不等式的等量關系及非等量關系大量存在于自然界中，基本的數學關系就包括非等關系和等于關系，這在數學領域的應用研究中有著十分重要的應用。

1 在初等數學中的應用

1.1 簡單累加累乘

利用均值不等式證明不等式是一個學習難點，這里介紹一下技巧。

根據北京召開的第二十屆國際數學家大會的會標為基礎，我們可以很容易的解答此題。

例1 已知，，>0，則（ + ）（ + ） + （ + ）≥2。

解 左邊≥··2 + ·2 = 22。

其中等號成立當且僅當 = = 時成立。

像這樣，首先看已知條件，運用均值不等式的定義，再通過論證、推導等得出我們要證的結論，是今后常常用到的方法，這種方法對知識的綜合性要求比較高。

1.2 求最值

利用均值不等式求最值是高中數學的一個重點。 運用時必須具備三個必要條件—— 即一正（各項的值為正）、二定（各項的和或積為定值）、三相等（取等號的條件）。應用均值不等式求最值有直接求最值、巧妙變形求最值、結合待定系數法求最值三個層次，下面通過具體實例說明如何求最值。

能通過拆項、換元、平方等多種變形技巧，湊成“和為定值求積的最值”或“ 積為定值求和的最值” ， 這是應該掌握的第二層次。

例2 已知 = 1， 求 = ∣∣的最小值。

解： = = ≥

= = 1。

當且僅當 = ， = 1，即 = = 1或 = = 1時， = 1 。

總結：在研究均值不等式時，往往先研究均值不等式的幾何背景，并且對均值不等式的幾何背景進行解釋，使得我們可以更加直觀的看出結論，從而良好地把握問題。在這個過程中，可以適度的提供空間的探究，通過大量且縝密的思考，可以準確地得出問題的結論。此外，加強重視均值不等式解決實際問題，循序漸進地堆應用數學的意識及能力的培養。

2 對于高等數學均值不等式的作用

例3 求極限。

解：利用元均值不等式

≤ ，

有

即0≤<， 故 = 1。

3 利用均值不等式解決極值問題

通常，求解函數極值題型，首先，寫出此函數的解析式，之后，判斷是否可以利用均值不等式來解決此題。利用微積分解決極值問題是可行并且是有效的，除此之外，求解一些極值問題中的特殊類型也可用均值不等式。運用均值不等式可以解決諸多相像的問題。但是，利用均值不等式，解答一些特殊的極值問題簡潔又方便，非常獨到。解決這類問題只要求很少的基礎知識，非常容易理解。

4 利用均值不等式注意事項

（1）不同的均值不等式對實數的取值范圍有不同的要求，如果實數在二次根號下，要求實數大于等于零。（2）均值不等式是帶有等號的不等式，在解答此類問題時，首先，要考慮等號成立的條件。（3）為了便于掌握均值不等式，可以運用多種形式，例如，符號表達、圖形表達、生活用語。把生活語言表述成符號，容易看出其與均值不等式的密切關系。（4）解答圓的直徑與弦長大小的比較也可用均值不等式，體現了均值不等式的幾何意義。這是一個典型的幾何問題，在實際應用中有很多用處。（5）在周長相等的全部矩形中，面積是最大的是正方形。在面積相等的全部矩形中，周長最小的是正方形。這個結論通過反復驗證、分析，具有普遍意義。

5 總結

均值不等式是中學的一個重點，也是一個難點，但是它的應用很廣泛，尤其是在求函數最值的時候。事實上，利用均值不等式求最值，“一正、二定、三相等”的條件很重要，特別是“等號條件的成立”。但是，在運用均值不等式的時候，往往就容易產生這樣或那樣的錯誤。

通過本文的闡述，讓我們了解均值不等式的應用，提醒讀者正確使用均值不等式。利用均值不等式的常用技巧進行歸納，另外，利用均值不等式求配湊，也是一個重點。通過本文的概括，有助于進一步了解均值不等式的使用。本文是對利用均值不等式求最值的方法的延伸。

在以前的學習中，均值不等式經常會接觸，只不過不夠全面。在重新研究均值不等式的過程中，其性質可以全面的總結，對均值不等式的性質以及研究整理均值不等式的過程，進行周密的討論。學習對應的方法以及思路，從而提高對均值不等式的認識。另外，可以根據實際的情況，對均值不等式問題，做出適當的擴展，也可以在教學中予以改進和提高。

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