淺談等價無窮小在求復合函數極限中的應用

摘 要 用等價無窮小量做代換是計算極限的一種常用、方便、有效的方法，本文針對等價無窮小在求復合函數極限中是否可以代換的問題給出了一些充分條件，并給了一則反例。

關鍵詞 復合函數 等價無窮小 代換 反例

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A

On the Application of Equivalent Infinitesimal

Limit in Seeking the Composite Function

SONG Juan

（Suzhou University of Science and Technology， Suzhou， Jiangsu 215009）

Abstract Equivalence Infinitesimal do substitution is a method of calculating the limit of common， convenient and effective method， aiming at seeking equivalent infinitesimal composite function limits the question whether you can substitute some sufficient conditions are given， and gave a the counter-example.

Key words composite function； equivalent infinitesimal limit； substitution； counter-example

關于極限的理論與計算是高等數學的重要內容之一。在高等數學的學習中，極限的計算，特別是在未定式的計算中，無窮小是一個重要的概念。但在剛開始學習的時候，不少學生對于無窮小的認識比較模糊，有些甚至是錯誤的，特別對于等價無窮小在極限運算尤其是復合函數求極限過程中是否可以替換存在疑惑。本文對等價無窮小在求復合函數極限中的應用做了一定程度的探討。我們從學生所做的一道題目開始分析：

引例 求

解： = = = 1

這里先進行了等價無窮小代換①②：～，～，再用洛必達法則對分子分母分別求導，問這種解法對否？

事實上，一般地，若～，～，且 ， 存在不為0，則 = = 1。

證明： = = = · = · = 1

同理可證 =1，故有 = =1。

而上題顯然符合此條件，故這種做法是可行的，雖然學生也許并未認識到其中的理論依據。

下面給出一條定理，強調等價無窮小在復合函數式中的替換所需滿足的條件。

定理③設，為（或）時的兩個無窮小，且～，而為時的無窮小量，且有～，則當（或）時，～。

證明：當時，因為==0，利用等價無窮小的傳遞性得～～～；

當時，因為==0，利用等價無窮小的傳遞性得～～～。

需要注意的是，對無窮小，（）規范的替換是～（），但也可以做這樣的替換：～（）只是因為計算式中以上定理的條件一般均滿足，這樣做在計算結果上是正確的，并且這種替換也可以用等價無窮小的傳遞性來解釋。

例1 求。

解：（規范解）當（）時，有～，～，所以

～，～

從而 = = 1。

另解：（不規范解） = = =1。

不規范解從結論上正確的原因是由于～～～，～～～，故以上第二種解法也是正確的。

例2 求。

解：（規范解）

= = = =

另解：（不規范解） =

= = =

不規范解從結論上正確的原因是由于

～1～～，

～～故以上結果正確。

然而，在一般情形下，對于復合函數的中間變量，不能隨意用等價無窮小代換。下面給出一則反例：

設，=，

當時，顯然有～，～，且 = 0， = 0，而且 = 1，但是不存在。

事實上，因為，

當為充分小的有理數時：

（1）若均為無理數，由于當時，（且充分小），，且與一一對應，

所以集合={，是有理數，}的基數為，從而的基數為，④故當取中的無理數時，必定既可為有理數又可為無理數，所以既可為，又可為，或者既可為，又可為，再由無理數在任一區間內的稠密性，即知不存在。

（2）若既可為無理數，又可為有理數，則既可為，又可為，由有理數在任一區間內的稠密性，同樣可知不存在。

（3）若均為有理數，這種情形是不可能的。

綜上所述，不存在。

利用等價無窮小替換可使計算極限時化繁為簡，變難為易，但在極限式特別是復合函數極限式的計算過程中，并不是所有的無窮小都可以用它們各自的等價無窮小替換，這種替換是有條件的，稍不注意就會出現計算錯誤。因此，在使用等價無窮小代換時，應做到有理有據。

注釋

① 同濟大學數學系編.高等數學.上冊[M].北京：高等教育出版社，2007.4.

② 華東師范大學數學系編.數學分析.上冊[M].北京：高等教育出版社，2001.6.

③ 陳新明.用等價無窮小代換求極限中的一些問題[J].高等數學研究，2008（5）.

④ 劉文.與的無理性.數學通報，1963.8.