例析高中數學數形結合思想的應用

數形結合法就是根據數學問題的條件與結論之間的內在聯系，既分析其代數含義，又揭示其幾何意義，使數量關系和空間形式巧妙和諧地結合起來，并充分利用這種“結合”尋找解題途徑，使問題得到解決，它包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍。

用數形結合思想，不僅直觀的發現解題途徑，而且能避免復雜的計算和推理，大大的簡化了解題過程，尤其在解選擇題和填空題中更是節約了不少時間。

類型一：利用數形結合解決方程的根個數問題

函數的圖像及性質常常是解決函數問題的突破口， 函數的圖像是函數解析式的“形”的表象，它以圖形的方式來刻畫函數中變量之間的變化關系。通過函數的圖像研究函數的性質，是學習函數理論的重要方法，既有助于理解和記憶函數的性質，也有助于應用函數的性質分析問題和解決問題。函數與方程有密不可分的關系，把不方便直接求解的方程問題轉化為研究兩個函數圖像交點或位置關系的問題是一種簡潔而有效的手段。

類型二：利用圖像的對稱性求解

解析：此函數是周期函數，又是奇函數，且在[0，2]上為增函數，

綜合條件得函數的示意圖，由圖看出，四個交點中兩個交點的橫坐標之和為2×（-6），

另兩個交點的橫坐標之和為2×2，所以x1+x2+x3+x4=-8.故選B.

類型三：依據式子的結構，賦予式子恰當的幾何意義，數形結合求解

（1）用直線斜率公式求最值

在考慮形如

的這一類代數式，我們可以結合它們的幾何圖形，圓與直線有交點的模型，用幾何的方法來求最值，它們的最值，就是當直線與圓相切時直線的斜率，再如：

（2）轉化為兩點距離問題

求形如

的最小值或

的最大值時，因為根式中的項都可以表示成兩個式子的完全平方和，這跟幾何中的距離公式類似，所以我們可以轉化為求兩點間的距離的最值，所以我們可以根據圖形和相關的幾何知識，求出這兩點間距離的最值，即而解答了原來的題目。當然，還有一些其它類似的代數式，但它們也有這樣的性質，也可用類似的方法，達到出奇制勝的效果。

類型四：數形結合解決解析幾何問題

解析法是指通過引入坐標系來溝通數與形的聯系，實現數與形的相互轉化，從而解決有關問題。下面從三個方面以例題的形式說明將代數問題轉化為幾何問題的方式。