例析高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合法就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”尋找解題途徑，使問題得到解決，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。

數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。

用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀的發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算和推理，大大的簡化了解題過程，尤其在解選擇題和填空題中更是節(jié)約了不少時間。

類型一：利用數(shù)形結(jié)合解決方程的根個數(shù)問題

函數(shù)的圖像及性質(zhì)常常是解決函數(shù)問題的突破口， 函數(shù)的圖像是函數(shù)解析式的“形”的表象，它以圖形的方式來刻畫函數(shù)中變量之間的變化關(guān)系。通過函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，是學(xué)習(xí)函數(shù)理論的重要方法，既有助于理解和記憶函數(shù)的性質(zhì)，也有助于應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)分析問題和解決問題。函數(shù)與方程有密不可分的關(guān)系，把不方便直接求解的方程問題轉(zhuǎn)化為研究兩個函數(shù)圖像交點(diǎn)或位置關(guān)系的問題是一種簡潔而有效的手段。

類型二：利用圖像的對稱性求解

解析：此函數(shù)是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且在[0，2]上為增函數(shù)，

綜合條件得函數(shù)的示意圖，由圖看出，四個交點(diǎn)中兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2×（-6），

另兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2×2，所以x1+x2+x3+x4=-8.故選B.

類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合求解

（1）用直線斜率公式求最值

在考慮形如

的這一類代數(shù)式，我們可以結(jié)合它們的幾何圖形，圓與直線有交點(diǎn)的模型，用幾何的方法來求最值，它們的最值，就是當(dāng)直線與圓相切時直線的斜率，再如：

（2）轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)距離問題

求形如

的最小值或

的最大值時，因?yàn)楦街械捻?xiàng)都可以表示成兩個式子的完全平方和，這跟幾何中的距離公式類似，所以我們可以轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離的最值，所以我們可以根據(jù)圖形和相關(guān)的幾何知識，求出這兩點(diǎn)間距離的最值，即而解答了原來的題目。當(dāng)然，還有一些其它類似的代數(shù)式，但它們也有這樣的性質(zhì)，也可用類似的方法，達(dá)到出奇制勝的效果。

類型四：數(shù)形結(jié)合解決解析幾何問題

解析法是指通過引入坐標(biāo)系來溝通數(shù)與形的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，從而解決有關(guān)問題。下面從三個方面以例題的形式說明將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題的方式。