淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

摘 要：高中學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，可以用二次函數(shù)來加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；知識(shí)應(yīng)

在初中教材中，對(duì)二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進(jìn)入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對(duì)他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對(duì)二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。

一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù)，這時(shí)學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，可以用二次函數(shù)來加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為?（x）= ax2+ bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題：

類型I：已知?（x）= 2x2+x+2，求?（x+1）

這里不能把?（x+1）理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

類型Ⅱ：設(shè)?（x+1）=x2-4x+1，求?（x）

這個(gè)問題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則?下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。

?（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得?（x）=x2-6x+6

（2） 變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都可適用。

令t=x+1，則x=t-1 ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6從而?（x）= x2-6x+6

二、二次函數(shù)的知識(shí)可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

類型Ⅲ：設(shè)二次函數(shù)?（x）=ax2+bx+c（a>0）方程?（x）-x=0的兩個(gè)根x1，x2滿足0

（Ⅰ）當(dāng)X∈（0，x1）時(shí)，證明X<?（x）

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)?（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明x0<。

解題思路：

本題要證明的是x<?（x），?（x）

（Ⅰ）先證明x<?（x），令?（x）=?（x）-x，因?yàn)閤1， x2是方程?（x）-x=0的根，?（x）=ax2+bx+c，所以能?（x）=a（x-x1）（x-x2）

因?yàn)?0，又a>0，因此?（x） >0，即?（x）-x>0.至此，證得x<?（x）

根據(jù)韋達(dá)定理，有 x1x2=∵ 0?（0），所以當(dāng)x∈（0， x1）時(shí)?（x）<?（x1）=x1，

即x<?（x）

（Ⅱ） ∵

函數(shù)?（x）的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-且是唯一的一條對(duì)稱軸，因此，依題意，得x0=-，因?yàn)閤1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據(jù)違達(dá)定理得，x1+x2=-，∵x2-<0，

∴x0=-=（x1+x2-）<，即x0=。

二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。

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