在高中數(shù)學(xué)中合情推理的應(yīng)用

摘 要： 隨著我國數(shù)學(xué)教育界對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育階段的反思，逐漸認(rèn)識到合情推理在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，并意識到在數(shù)學(xué)教育中，應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是合情推理的運(yùn)用意識.本文主要介紹了合情推理在高中代數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 情推理；高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；具體應(yīng)用

中學(xué)代數(shù)研究的基本課題是初等代數(shù)、集合論和組合數(shù)學(xué)初步。在中學(xué)代數(shù)中，初等代數(shù)主要包括數(shù)系、解析式、方程、不等式、函數(shù)與數(shù)列等內(nèi)容；集合初步主要指集合的概念和運(yùn)算；組合初步則包括排列組合、二項式定理。由于我們這里的研究將高中數(shù)學(xué)分成了代數(shù)、幾何、概率與統(tǒng)計和微積分，組合數(shù)學(xué)初步則是概率與統(tǒng)計學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識，從而將組合數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)分到概率與統(tǒng)計學(xué)習(xí)中去。以此可以發(fā)現(xiàn)在教材中高中代數(shù)內(nèi)容分布在必修與選修兩類課程中，在必修課程中，代數(shù)主要分布在數(shù)學(xué)1、數(shù)學(xué)4和數(shù)學(xué)5中，其中具體包括集合、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）、算法的初步、基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、三角恒等變換、數(shù)列、不等式等容；在選修課中，代數(shù)主要分布于選修系列1和選修系列2中，具體包括常用邏輯用語、計數(shù)原理、數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入等。高中代數(shù)的學(xué)習(xí)有幾條主線的學(xué)習(xí)如集合、函數(shù)與方程、數(shù)列等，在這里就圍繞著合情推理在這幾條主線學(xué)習(xí)中的應(yīng)用進(jìn)行研究。

一、合情推理在集合學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

高中代數(shù)中集合的學(xué)習(xí)主要是學(xué)習(xí)其集合的含義、分類與表示法，集合的三要素，集合間的關(guān)系與集合的基本運(yùn)算。集合的學(xué)習(xí)是集合語言的學(xué)習(xí)，集合的含義和三要素的學(xué)習(xí)只要求學(xué)生了解和能夠判斷集合，通過觀察具體的實際例子歸納得到的，在這里可以運(yùn)用合情推理中歸納推理學(xué)習(xí)從而加深對集合概念與性質(zhì)的具體認(rèn)識。而集合間的關(guān)系與集合的基本運(yùn)算則可以通過類比于數(shù)的關(guān)系與基本運(yùn)算進(jìn)行學(xué)習(xí)。例1，兩個集合的包含關(guān)系的學(xué)習(xí)。在學(xué)習(xí)集合學(xué)生可以通過類比將集合類比于實數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，在這里兩個集合的包含關(guān)系可以類比于實數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)。

二、合情推理在函數(shù)與方程學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

函數(shù)與方程的學(xué)習(xí)主要是通過具體實例歸納出函數(shù)的本質(zhì)，從而解決函數(shù)是什么，最后總結(jié)函數(shù)是怎么表示和有什么性質(zhì)的問題。函數(shù)的學(xué)習(xí)是高中代數(shù)學(xué)習(xí)的重要主線，函數(shù)思想是貫穿著整個高中數(shù)學(xué)課程的重要思想，因此函數(shù)的學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)中的重點(diǎn)。函數(shù)的概念的理解是最難點(diǎn)，函數(shù)概念的學(xué)習(xí)可以應(yīng)用合情推理進(jìn)行學(xué)習(xí)，類比初中函數(shù)的概念進(jìn)行學(xué)習(xí)，在后面學(xué)習(xí)映射可以通過函數(shù)概念的類比拓展進(jìn)行學(xué)習(xí)，在進(jìn)行映射學(xué)習(xí)是也可運(yùn)用類比于函數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)。在教材中其基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)即指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)，其學(xué)習(xí)過程均是根據(jù)定義，畫出圖像，通過圖像歸納出性質(zhì)，然后加以應(yīng)用從而形成完整的知識體系。學(xué)生在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念時可以通過觀察多個函數(shù)并根據(jù)這些多個函數(shù)的共同點(diǎn)從而學(xué)習(xí)并歸納得到的指數(shù)函數(shù)的基本概念，其圖像性質(zhì)的學(xué)習(xí)是通過具體的例子歸納得到的，是特殊到一般的過程，其整個學(xué)習(xí)中都可以貫穿合情推理的應(yīng)用。結(jié)合對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，學(xué)生可以通過類比推理的方法得出對數(shù)的運(yùn)算及對數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，而冪函數(shù)和三角函數(shù)的學(xué)習(xí)也可以通過類似的學(xué)習(xí)方法得到。函數(shù)的學(xué)習(xí)是復(fù)雜的，難懂的，合情推理的應(yīng)用可以幫助學(xué)生有效地鞏固，條理清晰地去理解所學(xué)的知識。通過合情推理的應(yīng)用從而形成具體到一般，特殊到特殊的數(shù)學(xué)思想。例2，冪函數(shù)概念的學(xué)習(xí)。①給出一些函數(shù)：y=x，y=x2， ，y=x3， 。②觀察和分析這一組例子并發(fā)現(xiàn)其共同成分：都是函數(shù)；均是以自變量為x底的冪；指數(shù)為常數(shù)；自變量的系數(shù)1。③歸納猜想得出其一般模式：y=xa，a是常數(shù)④給出冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=xa叫做冪函數(shù)，其中是x自變量，a是常數(shù)。

三、合情推理在數(shù)列學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

數(shù)列的學(xué)習(xí)主要是圍繞著兩個最基本的問題進(jìn)行學(xué)習(xí)，即數(shù)列的通項公式與前項和的公式，最常見最基本的數(shù)列又是等差數(shù)列和等差數(shù)列。新課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)列的學(xué)習(xí)要求是要求學(xué)生通過具體例子理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念中并探索推導(dǎo)出其通項公式和求和公式，并能具體的應(yīng)用。在這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)中，歸納推理常常用于數(shù)列的通項公式的探索與發(fā)現(xiàn)過程，同時類比推理也常常應(yīng)用于等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念與有關(guān)性質(zhì)的學(xué)習(xí)。在學(xué)習(xí)過程中將等差數(shù)列與等比數(shù)列進(jìn)行不斷類比從而可以鞏固知識。例3，利用等差數(shù)列的性質(zhì)類比來發(fā)現(xiàn)與學(xué)習(xí)等比數(shù)列的性質(zhì)。下面是等差數(shù)列類比推廣猜想等比數(shù)列若干性質(zhì)：①等差數(shù)列中的每一項，是它前后距離相等兩項的“等差中項”，即2at=at+5+at-5類比推廣可以得到等比數(shù)列的的每一項，是它前后距離相等兩項的“等比中項”，即b2t=bt-5×bt+5②從等差數(shù)列中任取間隔相等的項組成的數(shù)列：at，at+s，at+2s仍然構(gòu)成一個公差為sd，此時d是{an}的公差的等差數(shù)列，類比猜想可以發(fā)現(xiàn)得到從等差數(shù)列中任取間隔相等的項組成的數(shù)列：bt，bt+s，bt+2s可以構(gòu)成一個公比為qs，此時q是{bn}的公差的等差數(shù)列。③從等差數(shù)列中任取項數(shù)相等的兩組數(shù)，且在兩組數(shù)中各項下標(biāo)和相等，則這兩組之和相等即at1+at2+at3=as1+as2+as3（t1+t2+t3=s1+s2+s3），類比推廣猜想從等比數(shù)列中任取項數(shù)相等的兩組數(shù)，且在兩組數(shù)中各項下標(biāo)和相等，則這兩組之積相等即bt1·bt2·bt3=bs1·bs2·bs3（t1+t2+t3=s1+s2+s3）

例4，公式 = 和 = 的學(xué)習(xí)。分析上式我們可以類比聯(lián)想到前面學(xué)習(xí)公式后探索出下表：

觀察上表我們發(fā)現(xiàn)前五列，每列的第三行的數(shù)是第一行的所對應(yīng)的數(shù)的平方，由此我們可以歸納猜想得到第N列的第三行的數(shù)是第一行的所對應(yīng)的數(shù)的平方。歸納猜想得到：13+23+33+…= （并且上面的猜想結(jié)果可以通過理論上的證明，再此就不做介紹了）

觀察上表我們可以得到下表：

歸納猜想得到

由此

（并且上面的猜想結(jié)果可以通過理論上的證明，再此就不做介紹了）

參考文獻(xiàn)

[1] 波利亞著.合情推理的模式[M].科學(xué)出版社，1984

[2] 張志淼，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)思想方法[M]，鄭州大學(xué)出版社，2006

[3] 郭民，盧秀雙.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略[M]，吉林大學(xué)出版社，2003

[4] 中華人民共和國教育部，普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京師范大學(xué)出版社，2001

[5] 黃壽玨.歸納與類比在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用[J]數(shù)學(xué)教學(xué)通訊社，2000（11）