如何實(shí)現(xiàn)“平幾”到“立幾”的思維飛躍

曹金明

立體幾何是研究空間圖形的一門學(xué)科，要實(shí)現(xiàn)從平面幾何到立體幾何的思維飛躍與提升，需要在變化之中學(xué)習(xí)立體幾何.

一、注重概念的變化

對于平面幾何中的概念，在立體幾何中有些是適用的，有些不再適用，但需要重新加以定義才可適用.在平面幾何中有兩直線平行和垂直等表示位置關(guān)系的概念.在立體幾何中，要研究空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，當(dāng)然要研究兩條直線所成的角、平行、垂直等關(guān)系.這些都是平面幾何中的概念在空間的拓廣.

平面幾何中角的定義是“由一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形”，并以此為基礎(chǔ)引出兩條相交直線所成的角.在立體幾何中根據(jù)“平行公理”和“等角定理”，又引出兩條異面直線所成角的定義：由分別平行于兩條異面直線的兩條相交直線所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角.這樣就將平面的角拓廣為空間兩條異面直線所成的角.這個(gè)角的定義也為求兩條異面直線所成的角提供了思路，即通過將兩條異面直線平移，轉(zhuǎn)化成求同一平面內(nèi)兩條相交直線所成的角.

同樣，斜線與平面所成的角是指斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，這是一種利用射影將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題的方法.二面角的概念可以看成是平面幾何中角的概念的推廣： 平面幾何中角的定義是“由一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形”，而立體幾何中二面角的定義是“從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的幾何圖形”.二面角可以由它的平面角來度量，這樣根據(jù)平面角的三要素，就將空間問題轉(zhuǎn)化成了平面問題.

在直線、平面位置關(guān)系的表述方面在平面幾何和立體幾何中既有完全不同的表述，又有在原來的基礎(chǔ)上相對統(tǒng)一又有些變化的表述.在平面幾何中的“垂直”與立體幾何中的“垂直”有所不同，平面幾何中的“垂直”表明兩條直線一定是相交的，而立體幾何中的“垂直”所涉及的兩條直線不一定“相交”，即兩條直線垂直僅保留了所成角的特點(diǎn)，這就給空間兩條垂直的直線以更大的自由度.在平面幾何中兩直線平行的定義是“在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行”，在立體幾何中直線與平面平行，兩個(gè)平面平行都是用“沒有公共點(diǎn)”來定義的，從概念的定義中不難看出它們的區(qū)別與聯(lián)系.

二、注重定理的變化

在平面幾何中的有些定理，在立體幾何中仍然適用，有的還可以推廣.

例如，在平面幾何中的定理“平行于同一條直線的兩條直線平行”在立體幾何中仍然適用，而且還可以推廣，如“平行于同一平面的兩個(gè)平面平行”；“角平分線上的任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，可以推廣成“過二面角的棱作一個(gè)半平面將此二面角分成兩個(gè)相等的二面角（此半平面稱為此二面角的平分面），在這個(gè)半平面上的任意一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的距離相等”.

在平面幾何中的有些定理，在立體幾何中卻不能適用.

例如，定理“垂直于同一條直線的兩條直線平行”，在空間就不再成立，垂直于同一條直線的兩條直線可能平行，可能相交，也可能是異面直線.

三、注重方法的變化

一個(gè)平面問題往往可以拓廣成一個(gè)空間問題.反之，有些空間問題，往往由一個(gè)對應(yīng)的平面問題與它有相同（或相似）的形式與結(jié)構(gòu)，解決這一平面問題的方法往往對解決相應(yīng)的空間問題有很大的提示作用.這就是解決空間問題的類比方法.

另外，在平面幾何中處理問題的有些方法，在立體幾何中仍然適用.如平面幾何中求三角形內(nèi)切圓半徑的方法：設(shè)DABC的面積為S，三邊分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，圓心為O，其證明方法是將點(diǎn)O與三角形頂點(diǎn)連接起來，利用三個(gè)小三角形面積之和為定值（原三角形的面積），可以求出三角形內(nèi)切圓半徑r=2Sl（其中l(wèi)是三角形的周長）.

類似地，在立體幾何中求四面體內(nèi)切球半徑時(shí)，也可以將內(nèi)切球的球心與與四面體各頂點(diǎn)連接起來，則原四面體分為四個(gè)小四面體，利用四個(gè)小四面體的體積之和為定值（原四面體的體積），可以求出四面體內(nèi)切球的半徑r=3VS（其中V，S分別是四面體的體積和表面積）.

當(dāng)然，利用向量的方法解決立體幾何中的“關(guān)系問題”和“度量問題”是一種重要而實(shí)用的方法.

在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)除了要注重概念的變化、定理的變化、方法的變化外，研究直線和平面的關(guān)系和性質(zhì)時(shí)，應(yīng)該以“運(yùn)動(dòng)”思路來探究.即在滿足某些約束條件的情況下，讓直線和平面運(yùn)動(dòng)起來，可以保持平面不動(dòng)，讓直線旋轉(zhuǎn)或平移，也可以保持直線不動(dòng)，讓平面旋轉(zhuǎn)或平移.通過這種運(yùn)動(dòng)，可以構(gòu)成千萬個(gè)活動(dòng)著的圖形，這樣，對于深入理解概念及判斷一些命題是否正確，是大有好處的.