哪來的14元?
——中學數學“數學期望”教學芻議

黃榮勝

(福建省將樂縣水南中學，福建將樂，353300)

哪來的14元?
——中學數學“數學期望”教學芻議

黃榮勝

(福建省將樂縣水南中學，福建將樂，353300)

作為現代數學思想之一的“概率”，在初中階段已有明確的學習要求，但與之關聯的“數學期望”則往往容易為教師所忽視。教師在概率教學中順水推舟，進行引申，將更有助于學生對概率的掌握以及相應問題的解答。

概率；數學期望；教學反思

“概率”作為現代數學思想之一，在初中階段已有明確的學習要求:了解概率的含義，能夠借助概率模型或通過設計活動解釋一些事件發生的概率。(《2013年福建省初中學業考試大綱》)與之關聯的“數學期望”則往往容易為教師所忽視，究其原因在于大綱中并未要求。其實，教師若能在教學中順水推舟，作些引申，勢必更有助于學生對概率的掌握以及相應問題的解答。

一、問題情境

某商場為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤(如下圖)，并規定:顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉動轉盤的機會。如果轉盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區域，那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購物券，憑購物券可以在該商場繼續購物。如果顧客不愿意轉轉盤，那么可以直接獲得購物券10元。轉轉盤和直接獲得購物券，你認為哪種方式對顧客更合算?(北師大版義務教育課程標準實驗教科書《數學》九年級下冊第四章2哪種方式更合算)

當教師展示完題目，學生幾乎異口同聲地答道:“直接獲得購物券。”這在教師意料之中，或者說，是學生想當然的一種反映。當教師告訴他們:“你們錯了!”學生的愕然可想而知。

眾所周知，數學源于現實生活，但又高于現實生活，盡管它可以反過來解釋現實生活中的現象。不過，不經思考、分析，尤其是未能把當前的問題情境與已有知識聯系起來思考，困惑則毋庸置疑。

教師可以先引導學生讀教材，看看書中的解答。

小亮認為，每轉動一次轉盤所獲得購物券金額的平均數是:100×5%＋50×10%＋20×20%＝14元。

14元大于10元，這是小學一年級學生都明白的事實。問題在于，轉盤中不會直接出現14元，那么，這14元又是從哪來的呢?小亮的解答對嗎?為什么?

二、解決策略

該問題情境涉及的正是數學期望方面的知識。不過，這需要教師從學生已學習過的算術平均數、加權算術平均數的推廣公式等知識點切入。

首先，算術平均數的計算。

例:小明在初二(上)的數學考試成績分別為:平時測驗92分，期中考試90分，期末考試88分，則小明該學期的數學平均成績是_______分。

其次，加權算術平均數推廣公式:x＝x1f1＋x2f2＋…＋xnfn，其中x1，x2，…，xn為各組數據，f1，f2，…，fn為各組數據出現的頻率，f1＋f2＋…＋fn＝1。

例:小明在初二(上)各次考試的數學成績分別為:92分2次，90分1次，88分3次，則小明該學期的數學平均成績是________分。

運用加權算術平均數的推廣公式，容易解答類似下列問題:

例:小明在初二(上)的數學考試成績分別為:平時測驗92分，期中考試90分，期末考試88分，如果按照平時、期中、期末成績所占的權重分別為10%、30%、60%，則小明該學期的數學平均成績是_______分。

借助公式，很快得出:x＝92×10%＋90×30%＋88 ×60%＝89。

掌握了加權平均數的推廣公式，要解決上述問題情境中的疑惑也就并非難事了。其實，在小亮的解答(100×5%＋50×10%＋20×20%＝14)中，省略了部分內容，完整過程應該如下:

運用計算加權算術平均數的推廣公式，得到: 100×5%＋50×10%＋20×20%＋0×65%＝14(元)。

每轉動一次轉盤所獲得購物券金額的平均數14元，是轉動一次轉盤最有可能獲得的金額數，所以轉轉盤更合算。這里的平均數14元，也稱為轉動一次轉盤實驗中的數學期望，顧名思義，就是顧客轉動一次轉盤最期待、最希望獲得的獎券金額。

三、教學反思

看來，“數學期望”并不神秘，其實，它原本即來自生活。

據說，有一天，法國著名數學家布萊士·帕斯卡遇到兩個賭徒，他們向他提出了這樣一個問題:兩人下賭注后，約定誰先贏滿5局，誰就可獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，兩人都不想再賭下去。那么，這個錢該如何分?

賭徒A認為:把錢分成7份，贏了4局的就拿4份，贏了3局的就拿3份。

賭徒B認為:因為最早說好的是誰先贏滿5局，誰就可獲得全部賭金。現在，誰也沒達到，所以就一人分一半。

兩人各持己見，誰也無法說服誰，于是找到了帕斯卡。帕斯卡經過一番思考，提出解決方案:贏了4局的拿這個錢的3/4，贏了3局的拿這個錢的1/4。理由是:假定他們倆再賭一局，或者A贏，或者B贏。若是A贏，就贏滿了5局，錢應該全歸他；A如果輸了，即A、B各贏4局，這個錢應該對半分。現在，A贏、輸的可能性都是1/2，所以，他拿的錢應該是1/2×1＋1/2×1/2＝3/4，當然，B就應該得1/4。

賭徒賭博，最期待的是什么?在公平的情況下，那就是贏錢的可能性越大越好，數學期望之名由此而來。

教學，顧名思義乃教師的教與學生的學之間的互動，教師的主導作用體現在調動學生學的主動性上。為此，在教學過程中，教師應當在了解學生現有認知水平和已有知識經驗基礎上，準確把握學生的學習狀態，以做到有的放矢。上述問題情境中，學生想當然的結果與真實答案之間的不一致成為激發他們學習興趣、調動他們積極求知的動力。教師可以領著學生通過回顧平均數等知識點，將其與當前問題情境聯系起來，以便學生對新知識點的認知。

平均數是指在一組數據中所有數據之和除以數據的個數。平均數是表示一組數據集中趨勢的量數，它是反映數據集中趨勢的一項指標。解答平均數應用題的關鍵在于確定“總數量”以及和總數量對應的“總份數”。在統計工作中，平均數(均值)和標準差是描述數據資料集中趨勢和離散程度的兩個最重要的測度值。這在小學階段已有所接觸，初中階段則更進一步。

離散型隨機變量X的一切可能取值xi(i＝1，2，…，n)與對應的概率pi(i＝1，2，…，n)的乘積之和稱為該離散型隨機變量的數學期望，記為E(X)。數學期望是最基本的數學特征之一，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平，又稱期望或均值。如果隨機變量只取有限個值，它是簡單算術平均數的一種推廣，類似于上述中的加權平均數的推廣公式，pi(i＝1，2，…，n)等同于fi(i＝1，2，…，n)，E(x)等同于x，區別在于把頻率看成概率。盡管這是高中階段的內容，但不妨礙學生深化對平均數的認知。

事實上，作為一門尤其注重邏輯性的學科，數學知識的各部分之間原本環環相扣，因此，教材中出現的部分內容，看似無關，顯示無理，就更需要教師深入研究、探討，找出知識生成的脈絡，由淺入深，逐步引導，啟發學生認知數學知識之間的關系，引發學生學習數學的興趣，展現數學的美。換句話說，熟知教材，強化教師個人的知識儲備與分析解決問題的能力以及對學生學習狀態的把握是首要的。

[1] 教育部.義務教育數學課程標準[S].北京:北京師范大學出版社，2011.

[2] 覃光蓮.數學期望的計算方法探討[J].高等理科教育，2006(10).

G633.62

A

2095－3712(2014)12－0063－03

黃榮勝(1972—)，男，本科，福建將樂人，將樂縣水南中學一級教師。