代數(shù)應用問題的文字表述對解題影響的研究

章 巍

（北京十一學校，北京 100039）

1 引 言

代數(shù)應用型問題（Algebra applied problems），也被稱為代數(shù)文字題（Algebra Word problems），通常是指以現(xiàn)實世界中的事件與關(guān)系為題材、借助自然語言敘述來表達題意和題目中的數(shù)量關(guān)系、最終通過代數(shù)運算解決的數(shù)學問題[1~3]．

眾所周知，代數(shù)應用題是中學數(shù)學教學的重點，也是難點．多數(shù)學者的共識是，解決代數(shù)應用題的能力不完全取決于解答純粹數(shù)學題的能力，影響代數(shù)應用題解題的因素較多，其中很重要的一個因素是這類問題的“文字表述”．

一個典型的例子是 Hudson（1983）報告中被廣泛引用的問題[4]：

問題1 有5只鳥和3只蟲，則鳥比蟲子多多少？

問題2 有5只鳥和3只蟲，有多少鳥吃不到蟲？

對于一年級學生，前一問題只有39%的學生可以解答，但后一問題卻有79%的學生可以解答．Kintsch認為正是由于文字表述的細微變化，使后一個問題的解題者可以形成確定的情境模型——鳥吃蟲．

另一個例子來自Cummins（1991）的研究[5]：

問題1 瑪莉和約翰一共有5個彈子，其中瑪莉有3個，約翰有多少個?

問題2 有5個彈子，3個屬于瑪莉，剩下的屬于約翰，約翰有多少個?

一年級學生解答這兩個問題的正確率分別是 30%和85%，相對于后面的問題，前面問題的解題者不得不進行推理，以確定集合間的關(guān)系，這增加了信息加工負荷和出現(xiàn)錯誤的幾率[2]．類似的結(jié)果都說明，語言表述方面的某些改變確實能夠有效地改善學生的解題狀況[6]．

代數(shù)應用題中的語言具有自己特有的表達方式和習慣，與日常用語有差別．這種語言是慎重的、有意的、經(jīng)過精心設(shè)計的，具有更高的抽象性，且語意轉(zhuǎn)換頻繁[7]．對這種語言的閱讀與語文中的閱讀和一般文學性的閱讀不同[8]，理解數(shù)學應用題常常比理解相近事實的語文句子要有更高的能力．雖然數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)是應用題的核心，但許多應用題的難易并不在于存在的數(shù)量關(guān)系，而在于對情節(jié)的陳述方式[9]．

需要指出的是，漢語自身的特點可能會進一步加劇這種理解的難度．與拼讀語言相比，漢語語法對語句構(gòu)成的要求相對寬泛，沒有嚴格的“時態(tài)”、“格”、“語序”等限定，所以直感性低，閱讀者往往很難利用語法結(jié)構(gòu)來理解問題[9]．

但想要了解文字表述對解答代數(shù)應用題的具體影響，還需要將代數(shù)應用題語言的表述特征進一步分解為若干個關(guān)鍵指標，并逐一研究這些語言指標對學生解題的影響程度．

那么，代數(shù)應用題文字表述中的關(guān)鍵指標有哪些呢？

Mayer[10]認為，由于應用題含有較多的文字表述，因此學生在從文字中解讀出數(shù)量關(guān)系時，容易發(fā)生語言知識的錯誤．劉四新[11]指出，遇到文字量較大的應用題時，學生很容易視覺疲憊，分不清主次，抓不住關(guān)鍵．從而說明，文字數(shù)量是影響學生解決應用問題的關(guān)鍵指標之一．

在 van Dijk和 Kintsch提出的話語理解（Discourse comprehension）理論框架中，如果問題所包含的情境或動作是學生所熟悉的，他們將比較容易形成問題模型[2]．施鐵如[12]研究了認知模式對解代數(shù)應用題的影響，指出對應用題類型的把握在很大程度上決定著學生能否迅速、準確地解答問題．Hinsley[1]等的研究表明，兒童最初往往只能根據(jù)應用題故事內(nèi)容的相似性，而非解題程序的相似性對問題進行分類．由此可見，不同的問題背景是影響學生解題難度的另一個重要指標．

陳英和[13]等人發(fā)現(xiàn)學生在解應用題時，首先要用自己獨特的方式重新組織問題中的條件．而多數(shù)情況下，各國自然語言的句法結(jié)構(gòu)與代數(shù)表達式的結(jié)構(gòu)都會有差異，因此Kieran提出，解應用題時產(chǎn)生錯誤的一個重要原因是多數(shù)學生習慣按照語言順序去逐句將文字翻譯成代數(shù)表達式，這就使語言結(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的沖突在所難免[10]．李陸平[7]指出，當題目中的敘述形式與生活行為順序不一致時，學生思維不易逆轉(zhuǎn)．所以，語言的表述順序也是影響學生解題的一個指標．

Yoshida[14]等人的研究結(jié)果表明，學生對題目中的隱含條件的識別與使用對解題正確率有顯著影響．周新林[2]認為，應用問題往往在語言陳述上非常標準簡練，有一些潛在的關(guān)系不直接陳述出來，學生解答時往往比較困難．因此，含有隱蔽或多余已知數(shù)的應用題是考查學生對應用題認知的一項指標．

同時，前期問卷的結(jié)果也顯示，學生對應用題感到的困難在上述幾方面也表現(xiàn)得相對突出．

綜上所述，可以析出的代數(shù)應用題文字表述中的關(guān)鍵指標有：

語量——即題目中文字的客觀數(shù)量；

語境——即題目所表述的整體情景；

語序——即題目中文字表述的順序與解題時使用的數(shù)量順序的一致程度；

關(guān)鍵詞的隱蔽程度——即解題所用到的關(guān)鍵條件的顯現(xiàn)度．

2 研 究

2.1 被 試

被試來自兩所普通初中八年級的學生，按照最近期末統(tǒng)一調(diào)研考試的成績，分別選取120~115分、95~90分和75~70分的學生各100名，分別記為高分組、中分組和低分組，共計 300人．再將這 3個不同分數(shù)段組，每個組平均分成 5個同質(zhì)小組，每小組20人．將不同分數(shù)段的同質(zhì)小組合并后，可形成5個組間同質(zhì)、組內(nèi)異質(zhì)的大組，每組60人（見表 1）．

表1 樣本分布情況

2.2 研究材料

研究材料是4組初中代數(shù)方程的應用題，每個題組由5道數(shù)學本質(zhì)（所列方程）相同的應用題組成，在控制其它指標后，分別操縱語量（AW）、語境（CT）、語序（OW）和關(guān)鍵詞（KW）的隱蔽程度中的一個指標．邀請高校專家、教研人員、中學教師和九年級優(yōu)秀學生共計30人，對上述每組中5道應用題的難度進行排序，將統(tǒng)計結(jié)果作為該題的認定難度，由易到難依次記為1、2、3、4、5．

2.3 研究程序設(shè)計

研究采用4（語言指標）×5（認定難度）×3（學生成績）×2（解題成績和解答時間）的混合設(shè)計．把上述 20道試題分成5組，每組試題在4個指標對應的題目中各選1道搭配而成，每題滿分10分，由主試分別提供給5組學生．學生答題的同時，根據(jù)計時軟件記錄下每道題的完成時間，若其中某道試題思考時間超過15 min，直接停止解答．4道題全部完成后由主試收回試卷．評卷時重點關(guān)注方程（組）布列的正確與否，給方程（組）中每個子部分都予賦分．測試所得數(shù)據(jù)用SPSS19.0統(tǒng)計軟件包進行處理和分析，測試后選取被試的10%進行訪談，以了解他們解題時的思維方式和心歷路程．

3 結(jié)果與分析

3.1 不同語量的問題對解題結(jié)果的影響

3.1.1 不同語量問題的均值比較

對 AW 題組的測試成績和解題時間進行均值分析（見表2）．結(jié)果表明：AW-1至AW-4的測試成績呈遞減趨勢、解題時間呈遞增趨勢，而AW-5由于呈現(xiàn)方式的變化與前4道題的情況有所不同．

表2 語量（AW）測試成績和解題時間均值概述

3.1.2 不同語量問題的方差比較

對 AW 題組的測試成績和解題時間進行方差分析（見表3），結(jié)果顯示：測試成績主效應顯著，F(xiàn)＝4.324，p＜0.01，表明不同語量試題對解題成績的影響極為明顯；解題時間主效應顯著，F(xiàn)＝6.116，p＜0.001，表明不同語量試題對解題時間的影響非常明顯．

表3 語量（AW）測試成績和解題時間方差分析

對 AW 題組的測試成績和解題時間按不同分數(shù)段學生進行方差分析（見表 4），結(jié)果顯示：不同語量的問題對低分組解題成績的影響顯著，對高分組和中分組解題時間的影響非常顯著．表明隨語量增加，數(shù)學水平較高和數(shù)學水平中等學生的解題時間會明顯增長，而數(shù)學水平較低學生的解題成績會明顯下降．

表4 不同水平學生語量（AW）測試成績和解題時間方差分析

3.1.3 不同語量問題的相關(guān)性比較

將 AW 題組的測試成績與學生分組的初始成績進行相關(guān)分析（見表 5），結(jié)果顯示：不同語量試題的測試成績與學生分組成績的相關(guān)性均很強，其中AW-3和AW-4的相關(guān)性尤為明顯．表明不同語量問題的解題成績能夠較好地反映學生的實際數(shù)學水平，而大語量問題則具有更高的鑒別性．

表5 語量（AW）測試成績與學生分組成績的相關(guān)性分析

3.2 不同語境的問題對解題結(jié)果的影響

3.2.1 不同語境問題的均值比較

對CT題組的測試成績和解題時間進行均值分析（見表6）．結(jié)果表明：CT-1至CT-5的測試成績呈遞減趨勢、解題時間整體上呈遞增趨勢．

表6 語境（CT）測試成績和解題時間均值概述

3.2.2 不同語境問題的方差比較

對CT題組的測試成績和解題時間進行方差分析（見表7），結(jié)果顯示：測試成績主效應顯著，F(xiàn)＝5.533，p＜0.001，表明不同語境試題對解題成績的影響極為明顯；解題時間主效應顯著，F(xiàn)＝4.397，p＜0.01，表明不同語境試題對解題時間的影響非常明顯．對CT題組的測試成績和解題時間按不同分數(shù)段學生進行方差分析（見表 8），結(jié)果顯示：不同語境的問題對中分組解題成績的影響非常顯著．表明隨語境變化，數(shù)學水平中等學生的解題成績會明顯不同．

表7 語境（CT）測試成績和解題時間方差分析

表8 不同水平學生語境（CT）測試成績和解題時間方差分析

3.2.3 不同語境問題的相關(guān)性比較

將CT題組的測試成績與學生分組的初始成績進行相關(guān)分析（見表9），結(jié)果顯示：CT-2至CT-5的相關(guān)性均較顯著，其中CT-5的相關(guān)性尤為明顯．表明不同語境問題的解題成績能夠較好地反映學生的實際數(shù)學水平，而復雜語境問題則具有更高的鑒別性．

3.3 不同語序的問題對解題結(jié)果的比較

3.3.1 不同語序境問題的均值比較

對 OW 題組的測試成績和解題時間進行均值分析（見表10）．結(jié)果表明：OW-1至OW-5的測試成績整體上呈遞減趨勢、解題時間呈遞增趨勢．

表10 語序（OW）測試成績和解題時間均值概述

3.3.2 不同語序問題的方差比較

對 OW 題組的測試成績和解題時間進行方差分析（見表11），結(jié)果顯示：測試成績主效應不顯著，F(xiàn)=1.408，p＞0.05，表明不同語序試題對整體解題成績的影響不夠明顯；解題時間主效應顯著，F(xiàn)=3.072，p＜0.05，表明不同語序試題對解題時間的影響明顯．對 OW 題組的測試成績和解題時間按不同分數(shù)段學生進行方差分析（見表12），結(jié)果顯示：不同語序的問題對高分組解題成績的影響顯著，對3個組解題時間的影響均極為顯著．表明隨語序變化，學生解題時間會隨之增長，而數(shù)學水平較高學生的解題成績會明顯不同．

表11 語序（OW）測試成績和解題時間方差分析

表12 不同水平學生語序（OW）測試成績和解題時間方差分析

3.3.3 不同語序問題的相關(guān)性比較

將 OW 題組的測試成績與學生分組的初始成績進行相關(guān)分析（見表13），結(jié)果顯示：OW-1至OW-5的相關(guān)性均極為顯著，其中OW-3、OW-5的相關(guān)性尤其明顯．表明不同語序問題的解題成績能夠較好地反映學生的實際數(shù)學水平，而復雜語序問題則具有更高的鑒別性．

表13 語序（OW）測試成績與學生分組成績的相關(guān)性分析

3.4 關(guān)鍵詞隱蔽程度不同的問題對解題結(jié)果的比較

3.4.1 關(guān)鍵詞隱蔽程度不同問題的均值比較

對 KW 題組的測試成績和解題時間進行均值分析（見表14）．結(jié)果表明：KW-1至KW-5的測試成績呈遞減趨勢、解題時間整體上呈遞增趨勢．

表14 關(guān)鍵詞隱蔽程度（KW）測試成績和解題時間均值概述

3.4.2 關(guān)鍵詞隱蔽程度不同問題的方差比較

對 KW 題組的測試成績和解題時間進行方差分析（見表15），結(jié)果顯示：測試成績主效應不顯著，F(xiàn)=1.588，p＞0.05，表明關(guān)鍵詞隱蔽程度不同的試題對整體解題成績的影響未達到顯著水平；解題時間主效應顯著，F(xiàn)=3.617，p＜0.01，表明關(guān)鍵詞隱蔽程度不同的試題對解題時間的影響非常顯著．

表15 關(guān)鍵詞隱蔽程度（KW）測試成績和解題時間方差分析

對 KW 題組的測試成績和解題時間按不同分數(shù)段學生進行方差分析（見表16），結(jié)果顯示：關(guān)鍵詞隱蔽程度不同的問題對中分組解題成績的影響顯著．表明隨關(guān)鍵詞隱蔽程度的變化，數(shù)學水平中等學生的解題成績會明顯不同．

表16 不同水平學生關(guān)鍵詞隱蔽程度（KW）測試成績和解題時間方差分析

3.4.3 關(guān)鍵詞隱蔽程度不同問題的相關(guān)性比較

將 KW 題組的測試成績與學生分組的初始成績進行相關(guān)分析（見表17），結(jié)果顯示：KW-1至KW-5的相關(guān)性均極為顯著，其中KW-4的相關(guān)性尤其明顯．表明關(guān)鍵詞隱蔽程度不同問題的解題成績能夠較好地反映學生的實際數(shù)學水平，而關(guān)鍵詞隱蔽程度較高的問題則具有更高的鑒別性．

表17 關(guān)鍵詞隱蔽程度（KW）測試成績與學生分組成績的相關(guān)性分析

4 討 論

4.1 語量對代數(shù)應用問題解題的影響

研究表明，語量對學生解答代數(shù)應用題的效果影響明顯，大語量問題通常會使學生的解題時間增長，而解題成績下降．對于數(shù)學本質(zhì)相同的問題，學困生與學優(yōu)生相比更容易受到語量的影響．

導致大語量問題解題效果下降的一個原因是，隨著題目中語量的增加，分布其中的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系會變得分散．正是語量的這種“稀釋”作用，使學生特別是學困生提取有效信息的難度增大．Sweller等人提出的認知負荷理論認為，解題者必須首先集中精力對兩種信息進行加工，一種是正確解題所必需的信息，另一種是所謂的多余信息．蘇帆[15]也提出，初中生感知能力的整體性差而選擇性強，會導致解答應用問題時不能有效地關(guān)注有效信息，產(chǎn)生認知障礙．馮虹[14]等人在代數(shù)應用題解題過程的眼動研究中，發(fā)現(xiàn)學優(yōu)生在表征關(guān)鍵信息時的眼動模式與學困生差異顯著．學優(yōu)生對應用題中關(guān)鍵信息的關(guān)注時間較長，學困生對題目的注視則比較盲目，而語量的增大無疑會加劇這種狀況，從而影響他們的解題效果．

導致大語量問題解題效果下降的另一個原因是心理狀態(tài)．當面對大量文字時，學生會主觀上認為該題難度較大，直接影響其解答的信心和耐心，產(chǎn)生畏懼心理與脹飽心理．這一點，在測試后的訪談中明顯地體現(xiàn)出來．特別是學困生，在文字超過200字時，厭倦和退縮的情緒較為嚴重．

研究也發(fā)現(xiàn)，帶有配圖和表格的試題（如 AW-5），雖文字仍較多但對解題的影響相對變小，這說明應用題的呈現(xiàn)方式對學生的解題水平具有影響．游旭群等[16]指出，從總體上講，圖形和圖式呈現(xiàn)下的解題水平高于文字呈現(xiàn)下的解題水平，即有一定視覺提示的問題呈現(xiàn)方式促進了學生解題水平的提高．一方面，圖表的直觀性有助于學生更好地理解問題情境，另一方面，圖表還會將一些原本分散的條件集中起來，一定程度上削弱語量對關(guān)鍵信息的“稀釋”作用．由此可見，降低語量影響的一個有效策略是，使學生有意識地借助圖表集中數(shù)量、簡化問題．

4.2 語境對代數(shù)應用問題解題的影響

研究表明，不同的語境對學生解答代數(shù)應用題的效果影響明顯．也就是說，不同的問題情境給學生帶來的感受是不同的．從試驗結(jié)果看，同樣是兩個數(shù)量相乘的關(guān)系，以矩形面積為背景的問題就比以行程為背景的問題容易許多，其中數(shù)學水平中等的學生體現(xiàn)尤為明顯．

何紀全[17]在研究應用題的情節(jié)結(jié)構(gòu)時，要求學生用兩個數(shù)字自由編題，并對所編題目進行情節(jié)成分分析，結(jié)果顯示：在被分成的8個情節(jié)類型中，小學高年級學生編寫的應用題，取材于直接生活經(jīng)驗、集體或社會的活動、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)活動、商品購銷、幾何或理化科學、無運算術(shù)語的文字題以及年齡時間等7個方面的問題都有出現(xiàn)，但唯獨沒有涉及行程問題的情節(jié)出現(xiàn)．

學生解決行程問題的困難，不在于對數(shù)量關(guān)系“速度×時間＝路程”的理解．事實上從小學開始，多數(shù)學生對這一關(guān)系早已諳熟于胸．但行程問題，由于其描述的是一個運動變化過程，所以學生需要在頭腦中構(gòu)建更為復雜的、不斷變換的場景，從而增加了其理解問題的難度．而當遇到以矩形為背景的問題時，學生更容易在讀取文字的同時形成視覺表象，這種表象是直觀的、靜止的，學生能夠在頭腦中能夠清晰地“看”到．賴穎慧[18]認為，視覺化表征在代數(shù)應用題的信息加工過程中至關(guān)重要，它有助于主體快速形成清晰的問題空間，把握應用題的數(shù)量關(guān)系．

在應用題教學中是以類型化為重點，還是以分析數(shù)量關(guān)系為重點，在實踐中一直存有爭議．施鐵如[12]認為，兩者不是對立的．突破類型效應這個瓶頸的關(guān)鍵，是學生需要建構(gòu)起置于具體問題情境之上的更具概括性的數(shù)量關(guān)系模型．例如，張慶林[19]的研究就顯示，如果學生能夠把有些應用題分別使用的“工作效率×工作時間=工作總量”、“速度×時間=路程”、“單價×數(shù)量=總價”等關(guān)系式歸納為一個更概括的關(guān)系式“單位量×單位數(shù)=總量”，解題能力便得到提高．

4.3 語序?qū)Υ鷶?shù)應用問題解題的影響

在前面的研究中可以看出，語序?qū)W生解代數(shù)應用題的成績有一定程度的影響，但不夠顯著；而其對學生解代數(shù)應用題時間的影響相對比較明顯．這說明，學生在解決語序混亂的問題時，會花更多的時間去理解語句與語句的關(guān)系，辨別條件的使用次序．

語序的這種影響是由學生使用的應用題表征策略引起的．許多研究顯示[20~22]，應用題表征存在兩種基本策略：直接轉(zhuǎn)換策略和問題模型策略．直接轉(zhuǎn)換策略指當面對應用題時，主體并不過多考慮問題表述中的語義和詞序是否符合正常的邏輯順序，只關(guān)注題目中的數(shù)字和關(guān)鍵詞，對數(shù)字進行加工．問題模型策略指當面對應用題時，主體首先試圖理解問題情境和條件間的關(guān)系，建立問題的情境模型，然后制訂相應的解題計劃．在測試后的訪談中發(fā)現(xiàn)，不能成功解題者思考問題的過程正是較多地使用了直接轉(zhuǎn)換策略．

陳英和[21]等人的研究支持了這個觀點，他們的研究發(fā)現(xiàn)，學生對按正向邏輯順序表述的題目（一致型問題）的反應時間要顯著少于按負向邏輯順序?qū)︻}目進行表述的題目（不一致型問題）．從學優(yōu)生的自我報告來看，使用問題模型策略的學生要多于使用直接轉(zhuǎn)換策略的學生．

因此，想要有效改善語序?qū)忸}帶來的不利影響，應致力于改變學生應用題的表征策略，促使慣于使用直接轉(zhuǎn)換策略思考問題的學生向問題模型策略轉(zhuǎn)變．

4.4 關(guān)鍵詞的隱蔽程度對代數(shù)應用問題解題的影響

研究中發(fā)現(xiàn)，關(guān)鍵詞的隱蔽程度對學生解代數(shù)應用題的成績也有一定程度的影響，但不夠顯著；但其對學生解題時間的影響卻非常顯著．這說明，大多數(shù)學生面對關(guān)鍵條件隱蔽性較強的應用題時，會花費大量時間去尋找和發(fā)掘這些列方程所需的條件．

何紀全[17]的研究顯示，學生分辨應用題中多余已知數(shù)的難度，呈現(xiàn)明顯的層次性——對與題目無關(guān)的多余已知數(shù)，最容易剔除；對于雖與題目無直接數(shù)量關(guān)系，但又是豐富題目的情節(jié)所必要的已知數(shù)，則比較難些；對于與題目數(shù)量關(guān)系有關(guān)但不決定運算的多余已知數(shù)，則更難判斷；對于用不同方法解題時，有時有用而有時多余的已知數(shù)，則只有很少的學生能根據(jù)不同情況做出判斷．

學生識別關(guān)鍵詞的能力與認知發(fā)展的水平有著密切的聯(lián)系，但也與人們?nèi)粘妙}的訓練方式不無關(guān)系．史寧中[23]指出，長期以來，大家對方程應用習題的設(shè)計、處理太理想化了，幾乎直接變成數(shù)學符號了，這不是真正意義上的應用題．

因此，要克服關(guān)鍵詞隱蔽程度對解題的影響，就要使學生能夠更多地接觸到具有真實信息的問題，“到大海里學游泳”，不斷增強其辨識能力，提高其認知水平．

5 結(jié)論與建議

（1）語量對代數(shù)應用題的解題效果具有顯著影響．欲改善其負效應，教學中應使學生克服畏懼心理，有意識地運用圖表等更為直觀的方式表征問題；

（2）語境對代數(shù)應用題的解題效果具有顯著影響．欲改善其負效應，教學中應使學生建構(gòu)脫離具體情境的、上位的數(shù)量關(guān)系模型；

（3）語序?qū)Υ鷶?shù)應用題的解題效果具有一定影響．欲改善其負效應，教學中應努力改變學生應用題的表征策略；

（4）關(guān)鍵詞的隱蔽程度對代數(shù)應用題的解題效果具有一定影響．欲改善其負效應，教學中應創(chuàng)造條件使學生更多地接觸真正的現(xiàn)實問題．

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