淺談中學數學中的構造法解題

劉小利

一、問題的提出

G·波利亞有一句名言“掌握數學就意味著善于解題”。解決數學問題時，常規的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些問題按照這樣的思維方式來解決問題卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，就要求我們改變思維方向，換一個角度去思考，找到一條繞過障礙的新途徑。構造法就是這樣的手段之一。G·波利亞在他的《怎樣解題》中給出了“怎樣解題”表，其中第二步是擬定計劃，“找出已知數與未知數之間的聯系。如果找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。”運用輔助性數學模式，這也正是我們用構造法解決問題的思路。

構造法的特點：構造新的數學對象過程直觀，有很大靈活性。

構造法作為一種數學方法，它不同于一般的邏輯方法，需要一步步地導求必要條件，直至推斷出結論。它屬于非常規思維，其本質特征是“構造”。構造法解決問題的活動是一種創造性的思維活動，關鍵是借助對問題特征的敏銳觀察展開豐富的聯想，通過觀察、聯想，構造出滿足條件的數學對象，或構造出一種新的問題形式，使問題的結論得以肯定或否定，或使問題轉化。

二、中學數學中常見的構造解題

用構造法解題時，因被構造的對象是多種多樣的，可按它的內容分為數、式、函數、方程、數列、復數、圖形、圖表、數學模型、算法等類別。本文著重介紹以下幾種：

（一）構造輔助數與式

不等式證明題通常需要構造一個不等式，從它出發進行推理進而獲得解決。

（二）構造輔助函數

求解某些數學問題時，根據問題的條件，構想、組合出一種新的函數關系，使問題在新的觀點下實行轉換。即：通過構造輔助函數，把對原問題的研究轉化為研究輔助函數的性質，并利用函數的單調性、有界性、奇偶性去解決輔助函數的問題。

例2.已知a>b>0，m>0，求證

（三）構造輔助方程

方程作為中學數學的重要內容，它與數式、函數等諸多知識有著密切聯系。

例3.若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求證：x，y，z成等差數列.

證明：構造以x-y，y-z為根的二次方程

t-（x-y）t-（y-z）=0 <=> t2+（y-z）t+（x-y）（y-z）=0，

有△=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0.

可知：方程有兩個相等根，即x-y=y-z，x+z=2y，所以，x，y，z成等差數列.

（四）構造幾何圖形

華羅庚曾說：“數離開形少直觀，形離開數難入微。”利用數形結合的思想，可溝通代數、幾何的關系，實現難題巧解。

例4.求函數y=的最值.

證明：如下圖，因為動點在單位圓上運動時處于極端狀態，即：動點為切點時直線斜率分別為最大最小值，設切點分別為R、M，易知：

模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎，針對具體問題的特點而采取相應的解決辦法。在解題過程中，若按定勢思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發學生根據題目特點，展開豐富的聯想，拓寬自己的思維，運用構造法解題。運用構造法來解題，對提高學生的解題能力也有所幫助，更重要的是，構造法是培養學生創新意識和創新思維的手段之一，在解題過程中能夠使學生發散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思維的創新。

“探索是數學的生命線。”構造法的實質是探究、創新，是對所學知識的深化和轉換。通過將原問題設計成新問題，拓寬學生解題思路，激發學生思維的火花。解決新問題反演原問題，提高學生解題能力，增強學生的自信心理，促進學生自主學習的意識、能力。整個構造過程也是體驗數學、享受數學的過程，這也體現了目前教學改革的要求。

參考文獻：

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].秦璋，譯.北京：科學出版社，1982.

[2]鮑曼.中學數學方法論[M].哈爾濱工業大學出版社，2002.

[3]徐利治.數學方法論選講[M].武漢：華中工學院出版社，1983.

[4]張靜蓮.數學教學創新說（研究篇）[M].上海：方志出版社，2005.

（作者單位 山西省長治市沁源縣第一中學）

編輯 楊 倩

一、問題的提出

G·波利亞有一句名言“掌握數學就意味著善于解題”。解決數學問題時，常規的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些問題按照這樣的思維方式來解決問題卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，就要求我們改變思維方向，換一個角度去思考，找到一條繞過障礙的新途徑。構造法就是這樣的手段之一。G·波利亞在他的《怎樣解題》中給出了“怎樣解題”表，其中第二步是擬定計劃，“找出已知數與未知數之間的聯系。如果找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。”運用輔助性數學模式，這也正是我們用構造法解決問題的思路。

構造法的特點：構造新的數學對象過程直觀，有很大靈活性。

構造法作為一種數學方法，它不同于一般的邏輯方法，需要一步步地導求必要條件，直至推斷出結論。它屬于非常規思維，其本質特征是“構造”。構造法解決問題的活動是一種創造性的思維活動，關鍵是借助對問題特征的敏銳觀察展開豐富的聯想，通過觀察、聯想，構造出滿足條件的數學對象，或構造出一種新的問題形式，使問題的結論得以肯定或否定，或使問題轉化。

二、中學數學中常見的構造解題

用構造法解題時，因被構造的對象是多種多樣的，可按它的內容分為數、式、函數、方程、數列、復數、圖形、圖表、數學模型、算法等類別。本文著重介紹以下幾種：

（一）構造輔助數與式

不等式證明題通常需要構造一個不等式，從它出發進行推理進而獲得解決。

（二）構造輔助函數

求解某些數學問題時，根據問題的條件，構想、組合出一種新的函數關系，使問題在新的觀點下實行轉換。即：通過構造輔助函數，把對原問題的研究轉化為研究輔助函數的性質，并利用函數的單調性、有界性、奇偶性去解決輔助函數的問題。

例2.已知a>b>0，m>0，求證

（三）構造輔助方程

方程作為中學數學的重要內容，它與數式、函數等諸多知識有著密切聯系。

例3.若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求證：x，y，z成等差數列.

證明：構造以x-y，y-z為根的二次方程

t-（x-y）t-（y-z）=0 <=> t2+（y-z）t+（x-y）（y-z）=0，

有△=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0.

可知：方程有兩個相等根，即x-y=y-z，x+z=2y，所以，x，y，z成等差數列.

（四）構造幾何圖形

華羅庚曾說：“數離開形少直觀，形離開數難入微。”利用數形結合的思想，可溝通代數、幾何的關系，實現難題巧解。

例4.求函數y=的最值.

證明：如下圖，因為動點在單位圓上運動時處于極端狀態，即：動點為切點時直線斜率分別為最大最小值，設切點分別為R、M，易知：

模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎，針對具體問題的特點而采取相應的解決辦法。在解題過程中，若按定勢思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發學生根據題目特點，展開豐富的聯想，拓寬自己的思維，運用構造法解題。運用構造法來解題，對提高學生的解題能力也有所幫助，更重要的是，構造法是培養學生創新意識和創新思維的手段之一，在解題過程中能夠使學生發散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思維的創新。

“探索是數學的生命線。”構造法的實質是探究、創新，是對所學知識的深化和轉換。通過將原問題設計成新問題，拓寬學生解題思路，激發學生思維的火花。解決新問題反演原問題，提高學生解題能力，增強學生的自信心理，促進學生自主學習的意識、能力。整個構造過程也是體驗數學、享受數學的過程，這也體現了目前教學改革的要求。

參考文獻：

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].秦璋，譯.北京：科學出版社，1982.

[2]鮑曼.中學數學方法論[M].哈爾濱工業大學出版社，2002.

[3]徐利治.數學方法論選講[M].武漢：華中工學院出版社，1983.

[4]張靜蓮.數學教學創新說（研究篇）[M].上海：方志出版社，2005.

（作者單位 山西省長治市沁源縣第一中學）

編輯 楊 倩

一、問題的提出

G·波利亞有一句名言“掌握數學就意味著善于解題”。解決數學問題時，常規的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些問題按照這樣的思維方式來解決問題卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，就要求我們改變思維方向，換一個角度去思考，找到一條繞過障礙的新途徑。構造法就是這樣的手段之一。G·波利亞在他的《怎樣解題》中給出了“怎樣解題”表，其中第二步是擬定計劃，“找出已知數與未知數之間的聯系。如果找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。”運用輔助性數學模式，這也正是我們用構造法解決問題的思路。

構造法的特點：構造新的數學對象過程直觀，有很大靈活性。

構造法作為一種數學方法，它不同于一般的邏輯方法，需要一步步地導求必要條件，直至推斷出結論。它屬于非常規思維，其本質特征是“構造”。構造法解決問題的活動是一種創造性的思維活動，關鍵是借助對問題特征的敏銳觀察展開豐富的聯想，通過觀察、聯想，構造出滿足條件的數學對象，或構造出一種新的問題形式，使問題的結論得以肯定或否定，或使問題轉化。

二、中學數學中常見的構造解題

用構造法解題時，因被構造的對象是多種多樣的，可按它的內容分為數、式、函數、方程、數列、復數、圖形、圖表、數學模型、算法等類別。本文著重介紹以下幾種：

（一）構造輔助數與式

不等式證明題通常需要構造一個不等式，從它出發進行推理進而獲得解決。

（二）構造輔助函數

求解某些數學問題時，根據問題的條件，構想、組合出一種新的函數關系，使問題在新的觀點下實行轉換。即：通過構造輔助函數，把對原問題的研究轉化為研究輔助函數的性質，并利用函數的單調性、有界性、奇偶性去解決輔助函數的問題。

例2.已知a>b>0，m>0，求證

（三）構造輔助方程

方程作為中學數學的重要內容，它與數式、函數等諸多知識有著密切聯系。

例3.若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求證：x，y，z成等差數列.

證明：構造以x-y，y-z為根的二次方程

t-（x-y）t-（y-z）=0 <=> t2+（y-z）t+（x-y）（y-z）=0，

有△=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0.

可知：方程有兩個相等根，即x-y=y-z，x+z=2y，所以，x，y，z成等差數列.

（四）構造幾何圖形

華羅庚曾說：“數離開形少直觀，形離開數難入微。”利用數形結合的思想，可溝通代數、幾何的關系，實現難題巧解。

例4.求函數y=的最值.

證明：如下圖，因為動點在單位圓上運動時處于極端狀態，即：動點為切點時直線斜率分別為最大最小值，設切點分別為R、M，易知：

模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎，針對具體問題的特點而采取相應的解決辦法。在解題過程中，若按定勢思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發學生根據題目特點，展開豐富的聯想，拓寬自己的思維，運用構造法解題。運用構造法來解題，對提高學生的解題能力也有所幫助，更重要的是，構造法是培養學生創新意識和創新思維的手段之一，在解題過程中能夠使學生發散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思維的創新。

“探索是數學的生命線。”構造法的實質是探究、創新，是對所學知識的深化和轉換。通過將原問題設計成新問題，拓寬學生解題思路，激發學生思維的火花。解決新問題反演原問題，提高學生解題能力，增強學生的自信心理，促進學生自主學習的意識、能力。整個構造過程也是體驗數學、享受數學的過程，這也體現了目前教學改革的要求。

參考文獻：

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].秦璋，譯.北京：科學出版社，1982.

[2]鮑曼.中學數學方法論[M].哈爾濱工業大學出版社，2002.

[3]徐利治.數學方法論選講[M].武漢：華中工學院出版社，1983.

[4]張靜蓮.數學教學創新說（研究篇）[M].上海：方志出版社，2005.

（作者單位 山西省長治市沁源縣第一中學）

編輯 楊 倩