淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法解題

劉小利

一、問(wèn)題的提出

G·波利亞有一句名言“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常規(guī)的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些問(wèn)題按照這樣的思維方式來(lái)解決問(wèn)題卻比較困難，甚至無(wú)從著手。在這種情況下，就要求我們改變思維方向，換一個(gè)角度去思考，找到一條繞過(guò)障礙的新途徑。構(gòu)造法就是這樣的手段之一。G·波利亞在他的《怎樣解題》中給出了“怎樣解題”表，其中第二步是擬定計(jì)劃，“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。”運(yùn)用輔助性數(shù)學(xué)模式，這也正是我們用構(gòu)造法解決問(wèn)題的思路。

構(gòu)造法的特點(diǎn)：構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對(duì)象過(guò)程直觀，有很大靈活性。

構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，它不同于一般的邏輯方法，需要一步步地導(dǎo)求必要條件，直至推斷出結(jié)論。它屬于非常規(guī)思維，其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”。構(gòu)造法解決問(wèn)題的活動(dòng)是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，關(guān)鍵是借助對(duì)問(wèn)題特征的敏銳觀察展開(kāi)豐富的聯(lián)想，通過(guò)觀察、聯(lián)想，構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學(xué)對(duì)象，或構(gòu)造出一種新的問(wèn)題形式，使問(wèn)題的結(jié)論得以肯定或否定，或使問(wèn)題轉(zhuǎn)化。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的構(gòu)造解題

用構(gòu)造法解題時(shí)，因被構(gòu)造的對(duì)象是多種多樣的，可按它的內(nèi)容分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、圖形、圖表、數(shù)學(xué)模型、算法等類別。本文著重介紹以下幾種：

（一）構(gòu)造輔助數(shù)與式

不等式證明題通常需要構(gòu)造一個(gè)不等式，從它出發(fā)進(jìn)行推理進(jìn)而獲得解決。

（二）構(gòu)造輔助函數(shù)

求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的條件，構(gòu)想、組合出一種新的函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題在新的觀點(diǎn)下實(shí)行轉(zhuǎn)換。即：通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，把對(duì)原問(wèn)題的研究轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性去解決輔助函數(shù)的問(wèn)題。

例2.已知a>b>0，m>0，求證

（三）構(gòu)造輔助方程

方程作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它與數(shù)式、函數(shù)等諸多知識(shí)有著密切聯(lián)系。

例3.若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求證：x，y，z成等差數(shù)列.

證明：構(gòu)造以x-y，y-z為根的二次方程

t-（x-y）t-（y-z）=0 <=> t2+（y-z）t+（x-y）（y-z）=0，

有△=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0.

可知：方程有兩個(gè)相等根，即x-y=y-z，x+z=2y，所以，x，y，z成等差數(shù)列.

（四）構(gòu)造幾何圖形

華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)離開(kāi)形少直觀，形離開(kāi)數(shù)難入微。”利用數(shù)形結(jié)合的思想，可溝通代數(shù)、幾何的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)難題巧解。

例4.求函數(shù)y=的最值.

證明：如下圖，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)處于極端狀態(tài)，即：動(dòng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)直線斜率分別為最大最小值，設(shè)切點(diǎn)分別為R、M，易知：

模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體問(wèn)題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法。在解題過(guò)程中，若按定勢(shì)思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)，展開(kāi)豐富的聯(lián)想，拓寬自己的思維，運(yùn)用構(gòu)造法解題。運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)解題，對(duì)提高學(xué)生的解題能力也有所幫助，更重要的是，構(gòu)造法是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維的手段之一，在解題過(guò)程中能夠使學(xué)生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達(dá)到思維的創(chuàng)新。

“探索是數(shù)學(xué)的生命線。”構(gòu)造法的實(shí)質(zhì)是探究、創(chuàng)新，是對(duì)所學(xué)知識(shí)的深化和轉(zhuǎn)換。通過(guò)將原問(wèn)題設(shè)計(jì)成新問(wèn)題，拓寬學(xué)生解題思路，激發(fā)學(xué)生思維的火花。解決新問(wèn)題反演原問(wèn)題，提高學(xué)生解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的自信心理，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)、能力。整個(gè)構(gòu)造過(guò)程也是體驗(yàn)數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)的過(guò)程，這也體現(xiàn)了目前教學(xué)改革的要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].秦璋，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]鮑曼.中學(xué)數(shù)學(xué)方法論[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2002.

[3]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社，1983.

[4]張靜蓮.數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新說(shuō)（研究篇）[M].上海：方志出版社，2005.

（作者單位 山西省長(zhǎng)治市沁源縣第一中學(xué)）

編輯 楊 倩

一、問(wèn)題的提出

G·波利亞有一句名言“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常規(guī)的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些問(wèn)題按照這樣的思維方式來(lái)解決問(wèn)題卻比較困難，甚至無(wú)從著手。在這種情況下，就要求我們改變思維方向，換一個(gè)角度去思考，找到一條繞過(guò)障礙的新途徑。構(gòu)造法就是這樣的手段之一。G·波利亞在他的《怎樣解題》中給出了“怎樣解題”表，其中第二步是擬定計(jì)劃，“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。”運(yùn)用輔助性數(shù)學(xué)模式，這也正是我們用構(gòu)造法解決問(wèn)題的思路。

構(gòu)造法的特點(diǎn)：構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對(duì)象過(guò)程直觀，有很大靈活性。

構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，它不同于一般的邏輯方法，需要一步步地導(dǎo)求必要條件，直至推斷出結(jié)論。它屬于非常規(guī)思維，其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”。構(gòu)造法解決問(wèn)題的活動(dòng)是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，關(guān)鍵是借助對(duì)問(wèn)題特征的敏銳觀察展開(kāi)豐富的聯(lián)想，通過(guò)觀察、聯(lián)想，構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學(xué)對(duì)象，或構(gòu)造出一種新的問(wèn)題形式，使問(wèn)題的結(jié)論得以肯定或否定，或使問(wèn)題轉(zhuǎn)化。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的構(gòu)造解題

用構(gòu)造法解題時(shí)，因被構(gòu)造的對(duì)象是多種多樣的，可按它的內(nèi)容分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、圖形、圖表、數(shù)學(xué)模型、算法等類別。本文著重介紹以下幾種：

（一）構(gòu)造輔助數(shù)與式

不等式證明題通常需要構(gòu)造一個(gè)不等式，從它出發(fā)進(jìn)行推理進(jìn)而獲得解決。

（二）構(gòu)造輔助函數(shù)

求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的條件，構(gòu)想、組合出一種新的函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題在新的觀點(diǎn)下實(shí)行轉(zhuǎn)換。即：通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，把對(duì)原問(wèn)題的研究轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性去解決輔助函數(shù)的問(wèn)題。

例2.已知a>b>0，m>0，求證

（三）構(gòu)造輔助方程

方程作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它與數(shù)式、函數(shù)等諸多知識(shí)有著密切聯(lián)系。

例3.若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求證：x，y，z成等差數(shù)列.

證明：構(gòu)造以x-y，y-z為根的二次方程

t-（x-y）t-（y-z）=0 <=> t2+（y-z）t+（x-y）（y-z）=0，

有△=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0.

可知：方程有兩個(gè)相等根，即x-y=y-z，x+z=2y，所以，x，y，z成等差數(shù)列.

（四）構(gòu)造幾何圖形

華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)離開(kāi)形少直觀，形離開(kāi)數(shù)難入微。”利用數(shù)形結(jié)合的思想，可溝通代數(shù)、幾何的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)難題巧解。

例4.求函數(shù)y=的最值.

證明：如下圖，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)處于極端狀態(tài)，即：動(dòng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)直線斜率分別為最大最小值，設(shè)切點(diǎn)分別為R、M，易知：

模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體問(wèn)題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法。在解題過(guò)程中，若按定勢(shì)思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)，展開(kāi)豐富的聯(lián)想，拓寬自己的思維，運(yùn)用構(gòu)造法解題。運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)解題，對(duì)提高學(xué)生的解題能力也有所幫助，更重要的是，構(gòu)造法是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維的手段之一，在解題過(guò)程中能夠使學(xué)生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達(dá)到思維的創(chuàng)新。

“探索是數(shù)學(xué)的生命線。”構(gòu)造法的實(shí)質(zhì)是探究、創(chuàng)新，是對(duì)所學(xué)知識(shí)的深化和轉(zhuǎn)換。通過(guò)將原問(wèn)題設(shè)計(jì)成新問(wèn)題，拓寬學(xué)生解題思路，激發(fā)學(xué)生思維的火花。解決新問(wèn)題反演原問(wèn)題，提高學(xué)生解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的自信心理，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)、能力。整個(gè)構(gòu)造過(guò)程也是體驗(yàn)數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)的過(guò)程，這也體現(xiàn)了目前教學(xué)改革的要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].秦璋，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]鮑曼.中學(xué)數(shù)學(xué)方法論[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2002.

[3]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社，1983.

[4]張靜蓮.數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新說(shuō)（研究篇）[M].上海：方志出版社，2005.

（作者單位 山西省長(zhǎng)治市沁源縣第一中學(xué)）

編輯 楊 倩

一、問(wèn)題的提出

G·波利亞有一句名言“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常規(guī)的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些問(wèn)題按照這樣的思維方式來(lái)解決問(wèn)題卻比較困難，甚至無(wú)從著手。在這種情況下，就要求我們改變思維方向，換一個(gè)角度去思考，找到一條繞過(guò)障礙的新途徑。構(gòu)造法就是這樣的手段之一。G·波利亞在他的《怎樣解題》中給出了“怎樣解題”表，其中第二步是擬定計(jì)劃，“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。”運(yùn)用輔助性數(shù)學(xué)模式，這也正是我們用構(gòu)造法解決問(wèn)題的思路。

構(gòu)造法的特點(diǎn)：構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對(duì)象過(guò)程直觀，有很大靈活性。

構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，它不同于一般的邏輯方法，需要一步步地導(dǎo)求必要條件，直至推斷出結(jié)論。它屬于非常規(guī)思維，其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”。構(gòu)造法解決問(wèn)題的活動(dòng)是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，關(guān)鍵是借助對(duì)問(wèn)題特征的敏銳觀察展開(kāi)豐富的聯(lián)想，通過(guò)觀察、聯(lián)想，構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學(xué)對(duì)象，或構(gòu)造出一種新的問(wèn)題形式，使問(wèn)題的結(jié)論得以肯定或否定，或使問(wèn)題轉(zhuǎn)化。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的構(gòu)造解題

用構(gòu)造法解題時(shí)，因被構(gòu)造的對(duì)象是多種多樣的，可按它的內(nèi)容分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、圖形、圖表、數(shù)學(xué)模型、算法等類別。本文著重介紹以下幾種：

（一）構(gòu)造輔助數(shù)與式

不等式證明題通常需要構(gòu)造一個(gè)不等式，從它出發(fā)進(jìn)行推理進(jìn)而獲得解決。

（二）構(gòu)造輔助函數(shù)

求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的條件，構(gòu)想、組合出一種新的函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題在新的觀點(diǎn)下實(shí)行轉(zhuǎn)換。即：通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，把對(duì)原問(wèn)題的研究轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性去解決輔助函數(shù)的問(wèn)題。

例2.已知a>b>0，m>0，求證

（三）構(gòu)造輔助方程

方程作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它與數(shù)式、函數(shù)等諸多知識(shí)有著密切聯(lián)系。

例3.若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求證：x，y，z成等差數(shù)列.

證明：構(gòu)造以x-y，y-z為根的二次方程

t-（x-y）t-（y-z）=0 <=> t2+（y-z）t+（x-y）（y-z）=0，

有△=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0.

可知：方程有兩個(gè)相等根，即x-y=y-z，x+z=2y，所以，x，y，z成等差數(shù)列.

（四）構(gòu)造幾何圖形

華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)離開(kāi)形少直觀，形離開(kāi)數(shù)難入微。”利用數(shù)形結(jié)合的思想，可溝通代數(shù)、幾何的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)難題巧解。

例4.求函數(shù)y=的最值.

證明：如下圖，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)處于極端狀態(tài)，即：動(dòng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)直線斜率分別為最大最小值，設(shè)切點(diǎn)分別為R、M，易知：

模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體問(wèn)題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法。在解題過(guò)程中，若按定勢(shì)思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)，展開(kāi)豐富的聯(lián)想，拓寬自己的思維，運(yùn)用構(gòu)造法解題。運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)解題，對(duì)提高學(xué)生的解題能力也有所幫助，更重要的是，構(gòu)造法是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維的手段之一，在解題過(guò)程中能夠使學(xué)生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達(dá)到思維的創(chuàng)新。

“探索是數(shù)學(xué)的生命線。”構(gòu)造法的實(shí)質(zhì)是探究、創(chuàng)新，是對(duì)所學(xué)知識(shí)的深化和轉(zhuǎn)換。通過(guò)將原問(wèn)題設(shè)計(jì)成新問(wèn)題，拓寬學(xué)生解題思路，激發(fā)學(xué)生思維的火花。解決新問(wèn)題反演原問(wèn)題，提高學(xué)生解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的自信心理，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)、能力。整個(gè)構(gòu)造過(guò)程也是體驗(yàn)數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)的過(guò)程，這也體現(xiàn)了目前教學(xué)改革的要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].秦璋，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]鮑曼.中學(xué)數(shù)學(xué)方法論[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2002.

[3]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社，1983.

[4]張靜蓮.數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新說(shuō)（研究篇）[M].上海：方志出版社，2005.

（作者單位 山西省長(zhǎng)治市沁源縣第一中學(xué)）

編輯 楊 倩