草圖法是解決“雞兔同籠”問題的捷徑

詹素芳

雞兔同籠是北師大版五年級上冊第80～81頁的內(nèi)容，解決雞兔同籠的方法很多，教材選“雞兔同籠”這個題材，主要不是為了解決“雞兔同籠”問題本身，而是要借助“雞兔同籠”這個載體讓學生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過程，從中體會出解決問題的一般策略——列表。在后面相應的練習中，相關的題目也都附上了草圖表格，能夠讓學生較好地運用這種基本的解題策略。

一、草圖引入，建立初步概念

師：請同學們看多媒體，一起讀一讀今天這節(jié)課我們學習什么內(nèi)容。（板書課題：“雞兔同籠”）

師：想一想，課題是“雞兔同籠”，說明今天所學習的問題一定跟什么和什么有關？

生1：跟雞和兔有關。

師：老師這里有一個與雞、兔有關的問題，大家想不想看一下呢？

多媒體出示題目：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個頭。

師：你們覺得這道題完整嗎？還差什么呢？

生2：不完整，還差問題。

師：現(xiàn)在老師再給你們一個問題——“雞和兔各有多少只”，那你認為雞和兔會各有多少只呢？

師：還有其他的可能性嗎？把所有的可能性在小組內(nèi)說一說。

二、草圖列表，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.列表法

師：為了直觀地表示出雞和兔可能有的只數(shù)，你們認為應該畫一個什么來表示呢？

生3：畫一個表格。

師（出示表格）：為了能在排列的時候不重復、不遺漏，你們覺得在排列的時候不僅要考慮到雞和兔一共有8只，還要注意什么？

生4：有序排列。觀察一下剛才填好的表格（如下），你能從中找到本題的答案嗎？

師：現(xiàn)在老師再給你們一個條件——“從下面數(shù)有26條腿”，你們又能想到什么呢？

師：說明這道題不僅和雞、兔的只數(shù)有關，還和它們腿的條數(shù)有關，所以在排列時還應該列出每種情況下它們一共有多少條腿。

師：小組合作完成下面的表格。

師：說一說，第一個空應該填一共有多少條腿，為什么？

生5：第一個空應該填16，因為每只雞有2條腿，所以一共有8×2=16（條）腿。

生6：第二個空應該填18，因為每只雞有2條腿，每只兔子有4條腿，所以一共有7×2+1×4=18（條）腿。

……

師：觀察你們填好的表格，又發(fā)現(xiàn)了什么？

師：像這樣，采用列表的方法，不重復、不遺漏地寫出所有可能的答案，這種逐一列舉的方法在數(shù)學中稱為列表法。

師：如果雞和兔一共有一百多只，它們的腿一共有幾百條的時候，你們認為用列表法能找出答案嗎？同時，你覺得用列表法解決數(shù)據(jù)較大的問題時會如何？

生7：能找出答案，但是數(shù)據(jù)較大時比較麻煩。

師：現(xiàn)在我們根據(jù)上述題目就來探討有沒有其他的解題方法。

三、草圖假設，減少復雜

師：為了能夠找到更快捷的解決方法，首先思考一下，上面表格中的8和0是什么意思？

生8：就是有8只雞和0只兔。

師：那我們現(xiàn)在就假設籠子里面全是雞，籠子里一共有8×2=16（條）腿，而實際上有26條腿，這樣籠子里就少了26-16=10（條）腿，這說明什么？

生9：說明籠子里不可能全是雞。

師：假設算出的結果和實際的結果相差10條腿，說明這10條腿是受什么的影響？

生：兔。

師：剛才我們在表格里面觀察到，兔的只數(shù)每減少1只，雞的只數(shù)每增加1只，它們一共的腿數(shù)就會減少幾條？

生10：2條。

師：也就是說，這10里面有幾個2，就把幾只兔當成雞算。那到底是幾只兔呢？

生11：應該是5只兔，因為10÷2=5。

（上接第22頁）

師：知道兔子的只數(shù)，那雞的只數(shù)又應該怎樣求呢？

生12：雞的只數(shù)為8-5=3（只）。

師：哪位同學能大膽地到黑板上板書一下過程，并把你的思路口述給大家聽呢？

師：如果假設全是兔，又應該怎么算呢？請大家動手試一試。

四、鞏固草圖，學以致用

出示題目：自行車和三輪車共10輛，總共有26個輪子。自行車和三輪車各有多少輛？

師：用你喜歡的方法完成本題，并在小組內(nèi)匯報你的答案和解題思路。

五、回顧草圖，反思提升

師：本節(jié)課我們學了哪些知識？你還有什么疑問？

五、課后思考，拓展延伸

出示題目：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94條腿。雞和兔各有幾只？

師：你能用方程解或其他方法解決這類問題嗎？課后動手試試。

六、草圖運用，作業(yè)提升

（1）52名同學去劃船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各幾只？

（2）100個和尚吃了100個面包，大和尚1人吃3個，小和尚3人吃1個。求大小和尚各有多少人？

師：收集一下，還有什么方法可以解決“雞兔同籠”的問題？

……

【課后反思】

通過對這節(jié)課的6個環(huán)節(jié)的實踐，我獲得了如下的啟示：

一、怎樣進行草圖操作，是真正充分展示學生的思維過程

《新標》指出：課堂教學要充分暴露學生的思維。此是眾所周知的，那是不是如第二次試教那樣：從探討最差的開始，先展示只有1種的，再展示2種的……就是充分地暴露了學生的思維過程了呢？答案是否定的。關鍵在于我要想方設法用草圖主動地展示學生的思維歷程。展示學生的思維過程并不是必須將學生的思維動態(tài)、思維結果一覽無余地陳列在他人面前，更確切的就是讓學生能主動地經(jīng)歷從不完善到完善的思維過程，這樣才實現(xiàn)由形式地展示學生的思維過程到實質(zhì)地經(jīng)歷。本節(jié)課主要著眼于學生能力的培養(yǎng)，通過創(chuàng)設自主學習的空間，引導學生通過課前自學、課上思考、討論合作、交流匯報等活動，了解“雞兔同籠”問題，體驗和感受古代數(shù)學問題的趣味性，從而激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣。

二、怎樣步步緊扣，才能充分發(fā)激發(fā)學生的思維動力

草圖的設置是指向的主體應是思考者（學生）本身，只有這樣，學生才會積極去思考，才能充分激發(fā)學生的思維動力。同時，問題的措詞要注意技巧性，符合學生的認知特點和心理特點。同樣為了引發(fā)學生類比他人的優(yōu)點尋找自己的問題所在，試想，如問：你覺得你哪些方面做得不夠？問題直接指向去尋找學生本人的短處，我想學生思考的積極性就會大大降低，而改為問：比較你的想法和他的想法，你有什么想法？問題的開口度較大，學生既可以反思自己的不夠，努力的方向，及自己的所思所得。他們想的不是自己的不夠之處，而是自己的一種感悟和啟發(fā)，思維的深度是前者遠遠所不及的。

三、通過草圖引導學生感受數(shù)學的魅力與價值

本節(jié)課為了讓學生進一步感受到我國古代數(shù)學的魅力，課尾有意設計具有趣味性、生活性的題目，使學生體會到此類問題在現(xiàn)實中的廣泛存在，進而彰顯了本節(jié)課的學習價值。從無意猜想到草圖法的思維經(jīng)歷了從無序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創(chuàng)新、從膚淺到深刻的過程，這不僅是一種有關教與學的探討，更像是思想上的一場無聲細雨，浸潤人的心靈。

作為教師，面對一個個鮮活的生命，我們的教學不能遵循固定、沒有激情的程序，而要實現(xiàn)師生互動、心靈之間的對話，喚醒學生智慧的生命體驗。讓我們的課堂，涌動生命的激情、閃爍智慧的火花、延伸成長的足跡！

（作者單位：浙江省開化縣華埠鎮(zhèn)中心小學）

雞兔同籠是北師大版五年級上冊第80～81頁的內(nèi)容，解決雞兔同籠的方法很多，教材選“雞兔同籠”這個題材，主要不是為了解決“雞兔同籠”問題本身，而是要借助“雞兔同籠”這個載體讓學生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過程，從中體會出解決問題的一般策略——列表。在后面相應的練習中，相關的題目也都附上了草圖表格，能夠讓學生較好地運用這種基本的解題策略。

一、草圖引入，建立初步概念

師：請同學們看多媒體，一起讀一讀今天這節(jié)課我們學習什么內(nèi)容。（板書課題：“雞兔同籠”）

師：想一想，課題是“雞兔同籠”，說明今天所學習的問題一定跟什么和什么有關？

生1：跟雞和兔有關。

師：老師這里有一個與雞、兔有關的問題，大家想不想看一下呢？

多媒體出示題目：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個頭。

師：你們覺得這道題完整嗎？還差什么呢？

生2：不完整，還差問題。

師：現(xiàn)在老師再給你們一個問題——“雞和兔各有多少只”，那你認為雞和兔會各有多少只呢？

師：還有其他的可能性嗎？把所有的可能性在小組內(nèi)說一說。

二、草圖列表，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.列表法

師：為了直觀地表示出雞和兔可能有的只數(shù)，你們認為應該畫一個什么來表示呢？

生3：畫一個表格。

師（出示表格）：為了能在排列的時候不重復、不遺漏，你們覺得在排列的時候不僅要考慮到雞和兔一共有8只，還要注意什么？

生4：有序排列。觀察一下剛才填好的表格（如下），你能從中找到本題的答案嗎？

師：現(xiàn)在老師再給你們一個條件——“從下面數(shù)有26條腿”，你們又能想到什么呢？

師：說明這道題不僅和雞、兔的只數(shù)有關，還和它們腿的條數(shù)有關，所以在排列時還應該列出每種情況下它們一共有多少條腿。

師：小組合作完成下面的表格。

師：說一說，第一個空應該填一共有多少條腿，為什么？

生5：第一個空應該填16，因為每只雞有2條腿，所以一共有8×2=16（條）腿。

生6：第二個空應該填18，因為每只雞有2條腿，每只兔子有4條腿，所以一共有7×2+1×4=18（條）腿。

……

師：觀察你們填好的表格，又發(fā)現(xiàn)了什么？

師：像這樣，采用列表的方法，不重復、不遺漏地寫出所有可能的答案，這種逐一列舉的方法在數(shù)學中稱為列表法。

師：如果雞和兔一共有一百多只，它們的腿一共有幾百條的時候，你們認為用列表法能找出答案嗎？同時，你覺得用列表法解決數(shù)據(jù)較大的問題時會如何？

生7：能找出答案，但是數(shù)據(jù)較大時比較麻煩。

師：現(xiàn)在我們根據(jù)上述題目就來探討有沒有其他的解題方法。

三、草圖假設，減少復雜

師：為了能夠找到更快捷的解決方法，首先思考一下，上面表格中的8和0是什么意思？

生8：就是有8只雞和0只兔。

師：那我們現(xiàn)在就假設籠子里面全是雞，籠子里一共有8×2=16（條）腿，而實際上有26條腿，這樣籠子里就少了26-16=10（條）腿，這說明什么？

生9：說明籠子里不可能全是雞。

師：假設算出的結果和實際的結果相差10條腿，說明這10條腿是受什么的影響？

生：兔。

師：剛才我們在表格里面觀察到，兔的只數(shù)每減少1只，雞的只數(shù)每增加1只，它們一共的腿數(shù)就會減少幾條？

生10：2條。

師：也就是說，這10里面有幾個2，就把幾只兔當成雞算。那到底是幾只兔呢？

生11：應該是5只兔，因為10÷2=5。

（上接第22頁）

師：知道兔子的只數(shù)，那雞的只數(shù)又應該怎樣求呢？

生12：雞的只數(shù)為8-5=3（只）。

師：哪位同學能大膽地到黑板上板書一下過程，并把你的思路口述給大家聽呢？

師：如果假設全是兔，又應該怎么算呢？請大家動手試一試。

四、鞏固草圖，學以致用

出示題目：自行車和三輪車共10輛，總共有26個輪子。自行車和三輪車各有多少輛？

師：用你喜歡的方法完成本題，并在小組內(nèi)匯報你的答案和解題思路。

五、回顧草圖，反思提升

師：本節(jié)課我們學了哪些知識？你還有什么疑問？

五、課后思考，拓展延伸

出示題目：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94條腿。雞和兔各有幾只？

師：你能用方程解或其他方法解決這類問題嗎？課后動手試試。

六、草圖運用，作業(yè)提升

（1）52名同學去劃船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各幾只？

（2）100個和尚吃了100個面包，大和尚1人吃3個，小和尚3人吃1個。求大小和尚各有多少人？

師：收集一下，還有什么方法可以解決“雞兔同籠”的問題？

……

【課后反思】

通過對這節(jié)課的6個環(huán)節(jié)的實踐，我獲得了如下的啟示：

一、怎樣進行草圖操作，是真正充分展示學生的思維過程

《新標》指出：課堂教學要充分暴露學生的思維。此是眾所周知的，那是不是如第二次試教那樣：從探討最差的開始，先展示只有1種的，再展示2種的……就是充分地暴露了學生的思維過程了呢？答案是否定的。關鍵在于我要想方設法用草圖主動地展示學生的思維歷程。展示學生的思維過程并不是必須將學生的思維動態(tài)、思維結果一覽無余地陳列在他人面前，更確切的就是讓學生能主動地經(jīng)歷從不完善到完善的思維過程，這樣才實現(xiàn)由形式地展示學生的思維過程到實質(zhì)地經(jīng)歷。本節(jié)課主要著眼于學生能力的培養(yǎng)，通過創(chuàng)設自主學習的空間，引導學生通過課前自學、課上思考、討論合作、交流匯報等活動，了解“雞兔同籠”問題，體驗和感受古代數(shù)學問題的趣味性，從而激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣。

二、怎樣步步緊扣，才能充分發(fā)激發(fā)學生的思維動力

草圖的設置是指向的主體應是思考者（學生）本身，只有這樣，學生才會積極去思考，才能充分激發(fā)學生的思維動力。同時，問題的措詞要注意技巧性，符合學生的認知特點和心理特點。同樣為了引發(fā)學生類比他人的優(yōu)點尋找自己的問題所在，試想，如問：你覺得你哪些方面做得不夠？問題直接指向去尋找學生本人的短處，我想學生思考的積極性就會大大降低，而改為問：比較你的想法和他的想法，你有什么想法？問題的開口度較大，學生既可以反思自己的不夠，努力的方向，及自己的所思所得。他們想的不是自己的不夠之處，而是自己的一種感悟和啟發(fā)，思維的深度是前者遠遠所不及的。

三、通過草圖引導學生感受數(shù)學的魅力與價值

本節(jié)課為了讓學生進一步感受到我國古代數(shù)學的魅力，課尾有意設計具有趣味性、生活性的題目，使學生體會到此類問題在現(xiàn)實中的廣泛存在，進而彰顯了本節(jié)課的學習價值。從無意猜想到草圖法的思維經(jīng)歷了從無序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創(chuàng)新、從膚淺到深刻的過程，這不僅是一種有關教與學的探討，更像是思想上的一場無聲細雨，浸潤人的心靈。

作為教師，面對一個個鮮活的生命，我們的教學不能遵循固定、沒有激情的程序，而要實現(xiàn)師生互動、心靈之間的對話，喚醒學生智慧的生命體驗。讓我們的課堂，涌動生命的激情、閃爍智慧的火花、延伸成長的足跡！

（作者單位：浙江省開化縣華埠鎮(zhèn)中心小學）

雞兔同籠是北師大版五年級上冊第80～81頁的內(nèi)容，解決雞兔同籠的方法很多，教材選“雞兔同籠”這個題材，主要不是為了解決“雞兔同籠”問題本身，而是要借助“雞兔同籠”這個載體讓學生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過程，從中體會出解決問題的一般策略——列表。在后面相應的練習中，相關的題目也都附上了草圖表格，能夠讓學生較好地運用這種基本的解題策略。

一、草圖引入，建立初步概念

師：請同學們看多媒體，一起讀一讀今天這節(jié)課我們學習什么內(nèi)容。（板書課題：“雞兔同籠”）

師：想一想，課題是“雞兔同籠”，說明今天所學習的問題一定跟什么和什么有關？

生1：跟雞和兔有關。

師：老師這里有一個與雞、兔有關的問題，大家想不想看一下呢？

多媒體出示題目：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個頭。

師：你們覺得這道題完整嗎？還差什么呢？

生2：不完整，還差問題。

師：現(xiàn)在老師再給你們一個問題——“雞和兔各有多少只”，那你認為雞和兔會各有多少只呢？

師：還有其他的可能性嗎？把所有的可能性在小組內(nèi)說一說。

二、草圖列表，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.列表法

師：為了直觀地表示出雞和兔可能有的只數(shù)，你們認為應該畫一個什么來表示呢？

生3：畫一個表格。

師（出示表格）：為了能在排列的時候不重復、不遺漏，你們覺得在排列的時候不僅要考慮到雞和兔一共有8只，還要注意什么？

生4：有序排列。觀察一下剛才填好的表格（如下），你能從中找到本題的答案嗎？

師：現(xiàn)在老師再給你們一個條件——“從下面數(shù)有26條腿”，你們又能想到什么呢？

師：說明這道題不僅和雞、兔的只數(shù)有關，還和它們腿的條數(shù)有關，所以在排列時還應該列出每種情況下它們一共有多少條腿。

師：小組合作完成下面的表格。

師：說一說，第一個空應該填一共有多少條腿，為什么？

生5：第一個空應該填16，因為每只雞有2條腿，所以一共有8×2=16（條）腿。

生6：第二個空應該填18，因為每只雞有2條腿，每只兔子有4條腿，所以一共有7×2+1×4=18（條）腿。

……

師：觀察你們填好的表格，又發(fā)現(xiàn)了什么？

師：像這樣，采用列表的方法，不重復、不遺漏地寫出所有可能的答案，這種逐一列舉的方法在數(shù)學中稱為列表法。

師：如果雞和兔一共有一百多只，它們的腿一共有幾百條的時候，你們認為用列表法能找出答案嗎？同時，你覺得用列表法解決數(shù)據(jù)較大的問題時會如何？

生7：能找出答案，但是數(shù)據(jù)較大時比較麻煩。

師：現(xiàn)在我們根據(jù)上述題目就來探討有沒有其他的解題方法。

三、草圖假設，減少復雜

師：為了能夠找到更快捷的解決方法，首先思考一下，上面表格中的8和0是什么意思？

生8：就是有8只雞和0只兔。

師：那我們現(xiàn)在就假設籠子里面全是雞，籠子里一共有8×2=16（條）腿，而實際上有26條腿，這樣籠子里就少了26-16=10（條）腿，這說明什么？

生9：說明籠子里不可能全是雞。

師：假設算出的結果和實際的結果相差10條腿，說明這10條腿是受什么的影響？

生：兔。

師：剛才我們在表格里面觀察到，兔的只數(shù)每減少1只，雞的只數(shù)每增加1只，它們一共的腿數(shù)就會減少幾條？

生10：2條。

師：也就是說，這10里面有幾個2，就把幾只兔當成雞算。那到底是幾只兔呢？

生11：應該是5只兔，因為10÷2=5。

（上接第22頁）

師：知道兔子的只數(shù)，那雞的只數(shù)又應該怎樣求呢？

生12：雞的只數(shù)為8-5=3（只）。

師：哪位同學能大膽地到黑板上板書一下過程，并把你的思路口述給大家聽呢？

師：如果假設全是兔，又應該怎么算呢？請大家動手試一試。

四、鞏固草圖，學以致用

出示題目：自行車和三輪車共10輛，總共有26個輪子。自行車和三輪車各有多少輛？

師：用你喜歡的方法完成本題，并在小組內(nèi)匯報你的答案和解題思路。

五、回顧草圖，反思提升

師：本節(jié)課我們學了哪些知識？你還有什么疑問？

五、課后思考，拓展延伸

出示題目：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94條腿。雞和兔各有幾只？

師：你能用方程解或其他方法解決這類問題嗎？課后動手試試。

六、草圖運用，作業(yè)提升

（1）52名同學去劃船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各幾只？

（2）100個和尚吃了100個面包，大和尚1人吃3個，小和尚3人吃1個。求大小和尚各有多少人？

師：收集一下，還有什么方法可以解決“雞兔同籠”的問題？

……

【課后反思】

通過對這節(jié)課的6個環(huán)節(jié)的實踐，我獲得了如下的啟示：

一、怎樣進行草圖操作，是真正充分展示學生的思維過程

《新標》指出：課堂教學要充分暴露學生的思維。此是眾所周知的，那是不是如第二次試教那樣：從探討最差的開始，先展示只有1種的，再展示2種的……就是充分地暴露了學生的思維過程了呢？答案是否定的。關鍵在于我要想方設法用草圖主動地展示學生的思維歷程。展示學生的思維過程并不是必須將學生的思維動態(tài)、思維結果一覽無余地陳列在他人面前，更確切的就是讓學生能主動地經(jīng)歷從不完善到完善的思維過程，這樣才實現(xiàn)由形式地展示學生的思維過程到實質(zhì)地經(jīng)歷。本節(jié)課主要著眼于學生能力的培養(yǎng)，通過創(chuàng)設自主學習的空間，引導學生通過課前自學、課上思考、討論合作、交流匯報等活動，了解“雞兔同籠”問題，體驗和感受古代數(shù)學問題的趣味性，從而激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣。

二、怎樣步步緊扣，才能充分發(fā)激發(fā)學生的思維動力

草圖的設置是指向的主體應是思考者（學生）本身，只有這樣，學生才會積極去思考，才能充分激發(fā)學生的思維動力。同時，問題的措詞要注意技巧性，符合學生的認知特點和心理特點。同樣為了引發(fā)學生類比他人的優(yōu)點尋找自己的問題所在，試想，如問：你覺得你哪些方面做得不夠？問題直接指向去尋找學生本人的短處，我想學生思考的積極性就會大大降低，而改為問：比較你的想法和他的想法，你有什么想法？問題的開口度較大，學生既可以反思自己的不夠，努力的方向，及自己的所思所得。他們想的不是自己的不夠之處，而是自己的一種感悟和啟發(fā)，思維的深度是前者遠遠所不及的。

三、通過草圖引導學生感受數(shù)學的魅力與價值

本節(jié)課為了讓學生進一步感受到我國古代數(shù)學的魅力，課尾有意設計具有趣味性、生活性的題目，使學生體會到此類問題在現(xiàn)實中的廣泛存在，進而彰顯了本節(jié)課的學習價值。從無意猜想到草圖法的思維經(jīng)歷了從無序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創(chuàng)新、從膚淺到深刻的過程，這不僅是一種有關教與學的探討，更像是思想上的一場無聲細雨，浸潤人的心靈。

作為教師，面對一個個鮮活的生命，我們的教學不能遵循固定、沒有激情的程序，而要實現(xiàn)師生互動、心靈之間的對話，喚醒學生智慧的生命體驗。讓我們的課堂，涌動生命的激情、閃爍智慧的火花、延伸成長的足跡！

（作者單位：浙江省開化縣華埠鎮(zhèn)中心小學）