建模：一種現(xiàn)實(shí)的“數(shù)學(xué)化”途徑

姚誠

【摘 要】讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成數(shù)學(xué)模型思想，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)化”，是數(shù)學(xué)新課標(biāo)的一個(gè)內(nèi)涵性要求。對此，把生活原型作為建模的起點(diǎn)，把積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為建模的基點(diǎn)，把數(shù)形結(jié)合作為建模的支點(diǎn)，把數(shù)學(xué)化思維作為建模的重點(diǎn)，把結(jié)構(gòu)化作為建模的生長點(diǎn)，應(yīng)成為學(xué)生在“數(shù)學(xué)化”過程中自主建構(gòu)知識(shí)體系的重要策略。

【關(guān)鍵詞】生活原型 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)化思維 結(jié)構(gòu)化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。因此，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，形成數(shù)學(xué)模型思想，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)化”，是數(shù)學(xué)新課標(biāo)的一個(gè)內(nèi)涵性要求。

一、把生活原型作為建模的起點(diǎn)

數(shù)學(xué)模型具有現(xiàn)實(shí)的生活原型，這是模型建構(gòu)的基礎(chǔ)和解決實(shí)際問題的參照。從紛雜的實(shí)際問題中篩選出有用的信息，進(jìn)而從生活原型中抽象出數(shù)學(xué)問題，是“數(shù)學(xué)建?！钡钠瘘c(diǎn)。

《正反比例的意義》一課的教學(xué)片段：

1.師結(jié)合課件講解：沙漠中氣候惡劣，駱駝為了適應(yīng)巨大的溫差，它的體溫會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化。

2.出示沙漠中駱駝的體溫變化圖。

3.引導(dǎo)觀察提問：

（1）一天中，駱駝的最高和最低體溫分別是多少？

（2）在什么時(shí)間段駱駝的體溫是持續(xù)上升的？什么時(shí)間段又是持續(xù)下降的？

4.小結(jié)回顧，揭示兩種相關(guān)聯(lián)的量。

教學(xué)中通過創(chuàng)設(shè)沙漠中駱駝的體溫隨著時(shí)間的變化而變化的情境，為抽象的數(shù)學(xué)概念找到了直觀形象的“生活原型”，學(xué)生借助原型從已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)通過主動(dòng)探究體悟“兩種相關(guān)聯(lián)的量”的含義——一個(gè)量變化，另一個(gè)量也隨著變化?？此茻o足輕重，實(shí)則獨(dú)具匠心！

二、把積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為建模的基點(diǎn)

學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程，至少需要經(jīng)歷原初經(jīng)驗(yàn)階段——再生經(jīng)驗(yàn)階段——再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)階段——概括性經(jīng)驗(yàn)階段——再次參與多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)——逐漸內(nèi)化為概括性經(jīng)驗(yàn)圖式階段。數(shù)學(xué)建模的過程則與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得過程相契合。

《圖形覆蓋的規(guī)律》一課的教學(xué)片段：

師：如果小明想和爸爸媽媽一起去動(dòng)物園，要拿3張連號(hào)的票，有幾種不同的拿法呢？你打算用什么方法？

（學(xué)生獨(dú)立嘗試后匯報(bào)：用移動(dòng)數(shù)字框。）

師：如果小明想取出4張、5張連號(hào)的票，有幾種不同的拿法呢？先獨(dú)立思考后小組交流，是否發(fā)現(xiàn)了規(guī)律？

生1：我們組發(fā)現(xiàn)每次框的數(shù)越多，平移的次數(shù)就越少，而且它們的和就是數(shù)的總數(shù)。

師（小結(jié)）：數(shù)的總數(shù)-每次框的數(shù)=平移的次數(shù)。

生2：我們組發(fā)現(xiàn)平移的次數(shù)比不同的拿法少1。用算式表示是“平移的次數(shù)+1=幾種不同的拿法”。

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得依賴于學(xué)生參與其中的教學(xué)活動(dòng)。上述片段中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生對原初經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行提煉和優(yōu)化，再引導(dǎo)學(xué)生通過操作、交流、觀察、思考等豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使他們經(jīng)歷了螺旋上升的建模過程。

三、把數(shù)形結(jié)合作為建模的支點(diǎn)

把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，可以為學(xué)生準(zhǔn)確建構(gòu)數(shù)學(xué)模型提供構(gòu)架支點(diǎn)。

《素?cái)?shù)與偶數(shù)的關(guān)系》一課的教學(xué)片段：

師：自然數(shù)按能否被2整除，可以分成哪幾類？

生：奇數(shù)和偶數(shù)。

師：按因數(shù)的個(gè)數(shù)來分呢？

生：素?cái)?shù)、合數(shù)和1。

師：那么，素?cái)?shù)和偶數(shù)有什么關(guān)系？

生1：沒有關(guān)系，因?yàn)榉诸悩?biāo)準(zhǔn)不同。

生2：有關(guān)系，因?yàn)樽钚〉乃財(cái)?shù)是2，它是偶數(shù)。

生3：素?cái)?shù)中有偶數(shù)，偶數(shù)中也有素?cái)?shù)。

生4：不過，2是素?cái)?shù)中唯一的偶數(shù)，也是偶數(shù)中唯一的素?cái)?shù)。

師：說得真好！如果我們要用下圖來說明素?cái)?shù)和偶數(shù)的關(guān)系，2在哪里呢？

生（思索）：2在兩個(gè)橢圓的交匯點(diǎn)上。

上述教學(xué)片段中，教師巧妙地利用韋恩圖，把素?cái)?shù)和偶數(shù)的關(guān)系問題變成了兩個(gè)橢圓的關(guān)系問題。原本抽象難懂的數(shù)學(xué)問題變得形象、直觀。

四、把數(shù)學(xué)化思維作為建模的重點(diǎn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)化思維應(yīng)放在第一位，掌握概念或感悟法則應(yīng)放在第二位。把數(shù)學(xué)化思維作為數(shù)學(xué)建模的重點(diǎn)，可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐步擺脫條例式思維的局限，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考。

《20以內(nèi)的加法》一課的教學(xué)片段：

學(xué)生口答：1+9= 2+8= 3+7= 4+6= 5+5=

師（出示7+5=）：這道題怎么算？

生1：把7分為5和2，5+5=10，10+2=12。

師：很好！還有沒有其他算法也能“湊十”以后算出結(jié)果？

生2：把5分為3和2，7+3=10，10+2=12。

師：好！還有自己喜歡的方法嗎？

生3：把7分為4和3，把5分為3和2，3+3=6，4+2=6，最后6+6=12。

教學(xué)“20以內(nèi)的加法”，“湊十”是一個(gè)重要法則。教師在鼓勵(lì)學(xué)生使用不同的“湊十法”解決問題時(shí)，并沒有線性地限定其直接“湊十”，而是讓學(xué)生跳出“路徑依賴”，經(jīng)歷想象和歸納的數(shù)學(xué)化思維過程。

五、把結(jié)構(gòu)化作為建模的生長點(diǎn)

在較短的時(shí)間內(nèi)使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的活動(dòng)過程，有效掌握新知結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)，結(jié)構(gòu)化的“微建模”是一種嘗試，也是一種探索。

《小數(shù)加減法》練習(xí)課教學(xué)片段：

9-4.37-0.639-（4.37+0.63） 6.48-（4.48+0.9）6.48-4.48-0.9

1.先分組算一算，比一比，小組交流討論每組上、下兩題有什么關(guān)系，有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：兩組上、下兩題結(jié)果都相同，下一題計(jì)算更簡便。

生2：一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)就等于這個(gè)數(shù)減去兩個(gè)數(shù)的和。

2.舉例驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)。（學(xué)生自主驗(yàn)證）

3.你能用字母式表示出這樣的規(guī)律嗎？

生：a-b-c=a-（b+c）或者a-（b+c）=a-b-c。

4.用簡便方法計(jì)算下面兩題：

3.95-2.48-0.52 11.27-（3.27+5.62）

這樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容，我們可以讓學(xué)生經(jīng)歷從計(jì)算——觀察比較——建構(gòu)模型——舉例驗(yàn)證的結(jié)構(gòu)化的“微建?！边^程，使學(xué)生在解決問題的過程中，體驗(yàn)這個(gè)數(shù)學(xué)模型的特征并學(xué)會(huì)運(yùn)用這個(gè)數(shù)學(xué)模型。

弗萊登塔爾曾這樣說：“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說是學(xué)習(xí)‘?dāng)?shù)學(xué)化。”當(dāng)我們在數(shù)學(xué)視野與育人視界的對接中尋找土壤，在數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想的共生中確立維度時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)也許就是其中一條現(xiàn)實(shí)的、適合的道路。

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文二等獎(jiǎng)

（作者單位：江蘇省宜興市東域小學(xué)）