建模：一種現實的“數學化”途徑

姚誠

【摘 要】讓學生通過數學活動，形成數學模型思想，學會“數學化”，是數學新課標的一個內涵性要求。對此，把生活原型作為建模的起點，把積累數學活動經驗作為建模的基點，把數形結合作為建模的支點，把數學化思維作為建模的重點，把結構化作為建模的生長點，應成為學生在“數學化”過程中自主建構知識體系的重要策略。

【關鍵詞】生活原型 數學活動經驗 數形結合 數學化思維 結構化

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，建立和求解模型可以提高學生學習數學的興趣和應用意識。因此，讓學生通過數學學習活動，形成數學模型思想，學會“數學化”，是數學新課標的一個內涵性要求。

一、把生活原型作為建模的起點

數學模型具有現實的生活原型，這是模型建構的基礎和解決實際問題的參照。從紛雜的實際問題中篩選出有用的信息，進而從生活原型中抽象出數學問題，是“數學建模”的起點。

《正反比例的意義》一課的教學片段：

1.師結合課件講解：沙漠中氣候惡劣，駱駝為了適應巨大的溫差，它的體溫會隨著時間的變化而變化。

2.出示沙漠中駱駝的體溫變化圖。

3.引導觀察提問：

（1）一天中，駱駝的最高和最低體溫分別是多少？

（2）在什么時間段駱駝的體溫是持續上升的？什么時間段又是持續下降的？

4.小結回顧，揭示兩種相關聯的量。

教學中通過創設沙漠中駱駝的體溫隨著時間的變化而變化的情境，為抽象的數學概念找到了直觀形象的“生活原型”，學生借助原型從已有知識經驗出發通過主動探究體悟“兩種相關聯的量”的含義——一個量變化，另一個量也隨著變化。看似無足輕重，實則獨具匠心！

二、把積累數學活動經驗作為建模的基點

學生獲得數學活動經驗的過程，至少需要經歷原初經驗階段——再生經驗階段——再認性經驗階段——概括性經驗階段——再次參與多樣化的數學活動——逐漸內化為概括性經驗圖式階段。數學建模的過程則與數學活動經驗的獲得過程相契合。

《圖形覆蓋的規律》一課的教學片段：

師：如果小明想和爸爸媽媽一起去動物園，要拿3張連號的票，有幾種不同的拿法呢？你打算用什么方法？

（學生獨立嘗試后匯報：用移動數字框。）

師：如果小明想取出4張、5張連號的票，有幾種不同的拿法呢？先獨立思考后小組交流，是否發現了規律？

生1：我們組發現每次框的數越多，平移的次數就越少，而且它們的和就是數的總數。

師（小結）：數的總數-每次框的數=平移的次數。

生2：我們組發現平移的次數比不同的拿法少1。用算式表示是“平移的次數+1=幾種不同的拿法”。

數學活動經驗的獲得依賴于學生參與其中的教學活動。上述片段中，教師首先引導學生對原初經驗進行提煉和優化，再引導學生通過操作、交流、觀察、思考等豐富的數學活動，使他們經歷了螺旋上升的建模過程。

三、把數形結合作為建模的支點

把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，可以為學生準確建構數學模型提供構架支點。

《素數與偶數的關系》一課的教學片段：

師：自然數按能否被2整除，可以分成哪幾類？

生：奇數和偶數。

師：按因數的個數來分呢？

生：素數、合數和1。

師：那么，素數和偶數有什么關系？

生1：沒有關系，因為分類標準不同。

生2：有關系，因為最小的素數是2，它是偶數。

生3：素數中有偶數，偶數中也有素數。

生4：不過，2是素數中唯一的偶數，也是偶數中唯一的素數。

師：說得真好！如果我們要用下圖來說明素數和偶數的關系，2在哪里呢？

生（思索）：2在兩個橢圓的交匯點上。

上述教學片段中，教師巧妙地利用韋恩圖，把素數和偶數的關系問題變成了兩個橢圓的關系問題。原本抽象難懂的數學問題變得形象、直觀。

四、把數學化思維作為建模的重點

數學學習中，數學化思維應放在第一位，掌握概念或感悟法則應放在第二位。把數學化思維作為數學建模的重點，可以使學生在學習活動中逐步擺脫條例式思維的局限，學會數學地思考。

《20以內的加法》一課的教學片段：

學生口答：1+9= 2+8= 3+7= 4+6= 5+5=

師（出示7+5=）：這道題怎么算？

生1：把7分為5和2，5+5=10，10+2=12。

師：很好！還有沒有其他算法也能“湊十”以后算出結果？

生2：把5分為3和2，7+3=10，10+2=12。

師：好！還有自己喜歡的方法嗎？

生3：把7分為4和3，把5分為3和2，3+3=6，4+2=6，最后6+6=12。

教學“20以內的加法”，“湊十”是一個重要法則。教師在鼓勵學生使用不同的“湊十法”解決問題時，并沒有線性地限定其直接“湊十”，而是讓學生跳出“路徑依賴”，經歷想象和歸納的數學化思維過程。

五、把結構化作為建模的生長點

在較短的時間內使學生經歷數學模型建構的活動過程，有效掌握新知結構、特點，結構化的“微建模”是一種嘗試，也是一種探索。

《小數加減法》練習課教學片段：

9-4.37-0.639-（4.37+0.63） 6.48-（4.48+0.9）6.48-4.48-0.9

1.先分組算一算，比一比，小組交流討論每組上、下兩題有什么關系，有什么發現？

生1：兩組上、下兩題結果都相同，下一題計算更簡便。

生2：一個數連續減去兩個數就等于這個數減去兩個數的和。

2.舉例驗證發現。（學生自主驗證）

3.你能用字母式表示出這樣的規律嗎？

生：a-b-c=a-（b+c）或者a-（b+c）=a-b-c。

4.用簡便方法計算下面兩題：

3.95-2.48-0.52 11.27-（3.27+5.62）

這樣的學習內容，我們可以讓學生經歷從計算——觀察比較——建構模型——舉例驗證的結構化的“微建模”過程，使學生在解決問題的過程中，體驗這個數學模型的特征并學會運用這個數學模型。

弗萊登塔爾曾這樣說：“與其說是學習數學，還不如說是學習‘數學化。”當我們在數學視野與育人視界的對接中尋找土壤，在數學思維和數學思想的共生中確立維度時，就會發現：小學數學建模教學也許就是其中一條現實的、適合的道路。

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文二等獎

（作者單位：江蘇省宜興市東域小學）