逆象形：讓數學從無形到有形

王海靜

【摘 要】數學思想是數學基礎知識與數學應用之間的橋梁。模型思想本身的局限性及其在實踐中的缺失、學生的認知發展特點等催生了解模思想。將已有抽象的數學概念還原成事物本身，使數學知識具有逆象形性，便于學生理解和接受，這是數學解模思想。

【關鍵詞】逆象形 模型思想 解模 生活原型

逆象形是將抽象的、非物質的、無形的概念還原成事物本身，解模就是這樣一個還原的過程。解模是對一些抽象的數學概念、符號、公式等賦予一定的生活意義，使數學通過形象的事物表現出來，讓數學學習不但有意義，而且有意思，以促進學生更好地理解并接受。

一、數學模型思想的局限性

模型思想作為一種數學思想，具有高度的概括性、抽象性和工具性。在小學階段，它的這些特征則難以很好地實現。

1.有雛形而未成型。

小學階段是數學模型思想形成過程中的初始階段。如小學階段的“雞兔同籠”問題滲透的是二元一次方程的模型思想，“數對”則是學習二維坐標數學模型的初始階段。其重點是引導學生經歷模型的形成過程，使他們在探索的過程中學會思考，無需強求他們非要運用對應的模型思想去解決相關的數學問題。

2.簡約而不易理解。

數學模型的簡約性是客觀存在的，在豐富的數學世界里，蘊涵著變化多樣的數學模型，數學教學過程就是把復雜的情境進行分析簡化，從而得出簡約的數學模型。例如，我們在引導學生充分理解長方形周長概念的基礎上，得出簡約的數量關系：長方形的周長=長×2+寬×2。部分學生在教師的引導下，甚至還會將數量關系進一步簡化為：長方形的周長=（長+寬）×2，可是我們在應用模型的過程中發現，許多學生只是簡單生硬地套用，也有學生用自己的方法來解決問題，而對于這些簡約、抽象的模型并不熱衷。

二、實踐中數學模型思想的缺失

數學模型思想的構建固然重要，但由于教師缺乏對模型思想的深入思考，且受教師本身素質的制約，在構建模型的過程中，他們往往過于強調模型的成型，而忽視了小學生的思維特點，致使課堂中學生缺乏應有的數學生活原型，缺乏參與的過程。

1.課堂中學生缺乏對建模情境的想象。

小學生的思維發展以形象性為主，他們無法對一些數學概念或數學原理的發生、發展過程有清晰、深刻的理解，只能停留在操作表面及對表象進行概括的水平上，不能脫離具體表象形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握數學的模型本質。

例如教學《覆蓋的規律》時，教師往往會直接給出模型“總數-每次覆蓋的個數+1=得到不同和的個數”，學生按照教師給的模型解決了一個又一個問題，很順利，結果也很準確。于是我們看到，數學模型成了僵化的、僅供學生機械記憶的材料，學生未經歷數學模型的探究、發現、總結、驗證等過程，就不能深入地理解，更難以形成自己的知識儲備。

2.教師缺乏對模型思想的深入思考。

應試教育使我們急功近利，往往只關注學生的學習結果，而對學生學習的過程重視不夠。對教材中隱含的模型思想未做深入的挖掘，使教師對數學模型思想的思考缺失，使得我們的課堂過于形式化，不具備更深刻的品質。教師缺乏對模型思想的思考，只是簡單地設計教學過程，目的是教給學生解決問題的技巧，這對學生的成長是不利的。

例如，在教學《認識位置》一課時，學生如果不能經歷“第幾排第幾個”這樣一個具體的生活場景，就無法真正理解“數對”，更無法理解抽象的二維坐標模型。在小學階段，教師無需過多強調抽象的模型，而應注重引導學生經歷模型探究的過程。

根據布魯納的認知發展理論，學習本身是一種認識過程，在這個過程中，個體總是要對信息進行整理加工，使其以一種易于掌握的形式加以儲存。含糊不清的信息會對新知識產生嚴重的干擾，給理解、記憶、數學思維及其應用造成極大的困難。所以，適當地解模，將數學信息具體化，有利于學生理解與接受。

三、數學解模的實踐性思考

數學模型的形成體現的是數學的簡約美，它是一個發現與發展的過程，也是一個應用的過程。數學本身就是對現實生活情境的一種抽象，而數學模型更是經歷了多次抽象后的結果。將抽象的模型形成一種數學思想，這與小學生較為形象的思維表象是有一定距離的。在小學階段，更需要一個生動、活潑的生活場景來幫助學生理解數學。數學模型思想的逆象形轉變，可以使數學更貼近小學生的生活經驗，這就要求教師要善于將數學模型思想還原成事物本身，使數學問題具有實際意義。

1.在生活情境中豐富模型的外延。

教學《用字母表示數》一課時，許多教師都是用一首有節奏的兒歌引入的，在這首兒歌中，有青蛙的嘴，還有眼睛和腿，又要跳下水，一直念下去，于是在具體的情境中抽象出了規律，并且用簡單的字母表示。這個過程就是數學模型的抽象過程，在數學模型的抽象過程中，感受數學模型思想。在教學中，教師只有不斷努力縮小“形象思維”和“模型思想”之間的距離，才能使數學模型對學生的發展有真正意義上的促進。

2.將抽象的數學概念還原成事物本身。

數學建模是解決問題時借助模型處理各類問題的方法，是將數學思想應用于理論問題和實踐問題的實踐。教學《分數的意義》一課， =c（a不能為0），a為什么不能為0，要求學生要會聯系除法的意義進行講解，而現實是學生只是簡單地記住了這個知識，并沒有真正理解。我們可以將這個抽象的字母公式還原成事物原型，如創設數學模型實驗，糖水的含糖率= ，如果糖水的重量為0，則不存在糖水，更談不上含糖率，所以是沒有意義的。這樣一個實際的數學模型，給了學生一個深刻而又直觀的認識，便于學生理解和接受。

3.肢解模型，讓數學從無形到有形。

從根源上來說，數學是有形的，它富含了生活中所有事物的本身，教師要善于引導學生對一些無形的數學概念賦予一定的物質意義。教學“圖形與幾何”領域的相關內容時，要注意引導學生突破模型的局限性，大膽思考。例如，在學生掌握了長方形、正方形、平行四邊形等平面圖形面積計算的推導過程及其計算方法之后，教學《圓面積的計算》一課時，我首先安排學生大膽猜想它的面積計算可能會和什么有關，根據以往學過的知識，學生想到了轉化的數學思想，推測出可能會與長方形的面積計算有關，再利用教師提供的學具，通過操作研究展開具體的分析，從而找出它們之間內在的聯系與規律，最終將圓通過剪、拼得出了近似的長方形，而這個長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑，長方形的面積=長×寬，所以圓的面積=πr2。

總而言之，通過解模，有利于促進學生體會實際情景與數學的內在聯系，豐富學生學習數學的途徑，激活他們再創造數學的濃厚興趣，也能讓學生更加體會到數學與現實社會和生活的聯系。

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省東海縣石榴中心小學）

【摘 要】數學思想是數學基礎知識與數學應用之間的橋梁。模型思想本身的局限性及其在實踐中的缺失、學生的認知發展特點等催生了解模思想。將已有抽象的數學概念還原成事物本身，使數學知識具有逆象形性，便于學生理解和接受，這是數學解模思想。

【關鍵詞】逆象形 模型思想 解模 生活原型

逆象形是將抽象的、非物質的、無形的概念還原成事物本身，解模就是這樣一個還原的過程。解模是對一些抽象的數學概念、符號、公式等賦予一定的生活意義，使數學通過形象的事物表現出來，讓數學學習不但有意義，而且有意思，以促進學生更好地理解并接受。

一、數學模型思想的局限性

模型思想作為一種數學思想，具有高度的概括性、抽象性和工具性。在小學階段，它的這些特征則難以很好地實現。

1.有雛形而未成型。

小學階段是數學模型思想形成過程中的初始階段。如小學階段的“雞兔同籠”問題滲透的是二元一次方程的模型思想，“數對”則是學習二維坐標數學模型的初始階段。其重點是引導學生經歷模型的形成過程，使他們在探索的過程中學會思考，無需強求他們非要運用對應的模型思想去解決相關的數學問題。

2.簡約而不易理解。

數學模型的簡約性是客觀存在的，在豐富的數學世界里，蘊涵著變化多樣的數學模型，數學教學過程就是把復雜的情境進行分析簡化，從而得出簡約的數學模型。例如，我們在引導學生充分理解長方形周長概念的基礎上，得出簡約的數量關系：長方形的周長=長×2+寬×2。部分學生在教師的引導下，甚至還會將數量關系進一步簡化為：長方形的周長=（長+寬）×2，可是我們在應用模型的過程中發現，許多學生只是簡單生硬地套用，也有學生用自己的方法來解決問題，而對于這些簡約、抽象的模型并不熱衷。

二、實踐中數學模型思想的缺失

數學模型思想的構建固然重要，但由于教師缺乏對模型思想的深入思考，且受教師本身素質的制約，在構建模型的過程中，他們往往過于強調模型的成型，而忽視了小學生的思維特點，致使課堂中學生缺乏應有的數學生活原型，缺乏參與的過程。

1.課堂中學生缺乏對建模情境的想象。

小學生的思維發展以形象性為主，他們無法對一些數學概念或數學原理的發生、發展過程有清晰、深刻的理解，只能停留在操作表面及對表象進行概括的水平上，不能脫離具體表象形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握數學的模型本質。

例如教學《覆蓋的規律》時，教師往往會直接給出模型“總數-每次覆蓋的個數+1=得到不同和的個數”，學生按照教師給的模型解決了一個又一個問題，很順利，結果也很準確。于是我們看到，數學模型成了僵化的、僅供學生機械記憶的材料，學生未經歷數學模型的探究、發現、總結、驗證等過程，就不能深入地理解，更難以形成自己的知識儲備。

2.教師缺乏對模型思想的深入思考。

應試教育使我們急功近利，往往只關注學生的學習結果，而對學生學習的過程重視不夠。對教材中隱含的模型思想未做深入的挖掘，使教師對數學模型思想的思考缺失，使得我們的課堂過于形式化，不具備更深刻的品質。教師缺乏對模型思想的思考，只是簡單地設計教學過程，目的是教給學生解決問題的技巧，這對學生的成長是不利的。

例如，在教學《認識位置》一課時，學生如果不能經歷“第幾排第幾個”這樣一個具體的生活場景，就無法真正理解“數對”，更無法理解抽象的二維坐標模型。在小學階段，教師無需過多強調抽象的模型，而應注重引導學生經歷模型探究的過程。

根據布魯納的認知發展理論，學習本身是一種認識過程，在這個過程中，個體總是要對信息進行整理加工，使其以一種易于掌握的形式加以儲存。含糊不清的信息會對新知識產生嚴重的干擾，給理解、記憶、數學思維及其應用造成極大的困難。所以，適當地解模，將數學信息具體化，有利于學生理解與接受。

三、數學解模的實踐性思考

數學模型的形成體現的是數學的簡約美，它是一個發現與發展的過程，也是一個應用的過程。數學本身就是對現實生活情境的一種抽象，而數學模型更是經歷了多次抽象后的結果。將抽象的模型形成一種數學思想，這與小學生較為形象的思維表象是有一定距離的。在小學階段，更需要一個生動、活潑的生活場景來幫助學生理解數學。數學模型思想的逆象形轉變，可以使數學更貼近小學生的生活經驗，這就要求教師要善于將數學模型思想還原成事物本身，使數學問題具有實際意義。

1.在生活情境中豐富模型的外延。

教學《用字母表示數》一課時，許多教師都是用一首有節奏的兒歌引入的，在這首兒歌中，有青蛙的嘴，還有眼睛和腿，又要跳下水，一直念下去，于是在具體的情境中抽象出了規律，并且用簡單的字母表示。這個過程就是數學模型的抽象過程，在數學模型的抽象過程中，感受數學模型思想。在教學中，教師只有不斷努力縮小“形象思維”和“模型思想”之間的距離，才能使數學模型對學生的發展有真正意義上的促進。

2.將抽象的數學概念還原成事物本身。

數學建模是解決問題時借助模型處理各類問題的方法，是將數學思想應用于理論問題和實踐問題的實踐。教學《分數的意義》一課， =c（a不能為0），a為什么不能為0，要求學生要會聯系除法的意義進行講解，而現實是學生只是簡單地記住了這個知識，并沒有真正理解。我們可以將這個抽象的字母公式還原成事物原型，如創設數學模型實驗，糖水的含糖率= ，如果糖水的重量為0，則不存在糖水，更談不上含糖率，所以是沒有意義的。這樣一個實際的數學模型，給了學生一個深刻而又直觀的認識，便于學生理解和接受。

3.肢解模型，讓數學從無形到有形。

從根源上來說，數學是有形的，它富含了生活中所有事物的本身，教師要善于引導學生對一些無形的數學概念賦予一定的物質意義。教學“圖形與幾何”領域的相關內容時，要注意引導學生突破模型的局限性，大膽思考。例如，在學生掌握了長方形、正方形、平行四邊形等平面圖形面積計算的推導過程及其計算方法之后，教學《圓面積的計算》一課時，我首先安排學生大膽猜想它的面積計算可能會和什么有關，根據以往學過的知識，學生想到了轉化的數學思想，推測出可能會與長方形的面積計算有關，再利用教師提供的學具，通過操作研究展開具體的分析，從而找出它們之間內在的聯系與規律，最終將圓通過剪、拼得出了近似的長方形，而這個長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑，長方形的面積=長×寬，所以圓的面積=πr2。

總而言之，通過解模，有利于促進學生體會實際情景與數學的內在聯系，豐富學生學習數學的途徑，激活他們再創造數學的濃厚興趣，也能讓學生更加體會到數學與現實社會和生活的聯系。

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省東海縣石榴中心小學）

【摘 要】數學思想是數學基礎知識與數學應用之間的橋梁。模型思想本身的局限性及其在實踐中的缺失、學生的認知發展特點等催生了解模思想。將已有抽象的數學概念還原成事物本身，使數學知識具有逆象形性，便于學生理解和接受，這是數學解模思想。

【關鍵詞】逆象形 模型思想 解模 生活原型

逆象形是將抽象的、非物質的、無形的概念還原成事物本身，解模就是這樣一個還原的過程。解模是對一些抽象的數學概念、符號、公式等賦予一定的生活意義，使數學通過形象的事物表現出來，讓數學學習不但有意義，而且有意思，以促進學生更好地理解并接受。

一、數學模型思想的局限性

模型思想作為一種數學思想，具有高度的概括性、抽象性和工具性。在小學階段，它的這些特征則難以很好地實現。

1.有雛形而未成型。

小學階段是數學模型思想形成過程中的初始階段。如小學階段的“雞兔同籠”問題滲透的是二元一次方程的模型思想，“數對”則是學習二維坐標數學模型的初始階段。其重點是引導學生經歷模型的形成過程，使他們在探索的過程中學會思考，無需強求他們非要運用對應的模型思想去解決相關的數學問題。

2.簡約而不易理解。

數學模型的簡約性是客觀存在的，在豐富的數學世界里，蘊涵著變化多樣的數學模型，數學教學過程就是把復雜的情境進行分析簡化，從而得出簡約的數學模型。例如，我們在引導學生充分理解長方形周長概念的基礎上，得出簡約的數量關系：長方形的周長=長×2+寬×2。部分學生在教師的引導下，甚至還會將數量關系進一步簡化為：長方形的周長=（長+寬）×2，可是我們在應用模型的過程中發現，許多學生只是簡單生硬地套用，也有學生用自己的方法來解決問題，而對于這些簡約、抽象的模型并不熱衷。

二、實踐中數學模型思想的缺失

數學模型思想的構建固然重要，但由于教師缺乏對模型思想的深入思考，且受教師本身素質的制約，在構建模型的過程中，他們往往過于強調模型的成型，而忽視了小學生的思維特點，致使課堂中學生缺乏應有的數學生活原型，缺乏參與的過程。

1.課堂中學生缺乏對建模情境的想象。

小學生的思維發展以形象性為主，他們無法對一些數學概念或數學原理的發生、發展過程有清晰、深刻的理解，只能停留在操作表面及對表象進行概括的水平上，不能脫離具體表象形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握數學的模型本質。

例如教學《覆蓋的規律》時，教師往往會直接給出模型“總數-每次覆蓋的個數+1=得到不同和的個數”，學生按照教師給的模型解決了一個又一個問題，很順利，結果也很準確。于是我們看到，數學模型成了僵化的、僅供學生機械記憶的材料，學生未經歷數學模型的探究、發現、總結、驗證等過程，就不能深入地理解，更難以形成自己的知識儲備。

2.教師缺乏對模型思想的深入思考。

應試教育使我們急功近利，往往只關注學生的學習結果，而對學生學習的過程重視不夠。對教材中隱含的模型思想未做深入的挖掘，使教師對數學模型思想的思考缺失，使得我們的課堂過于形式化，不具備更深刻的品質。教師缺乏對模型思想的思考，只是簡單地設計教學過程，目的是教給學生解決問題的技巧，這對學生的成長是不利的。

例如，在教學《認識位置》一課時，學生如果不能經歷“第幾排第幾個”這樣一個具體的生活場景，就無法真正理解“數對”，更無法理解抽象的二維坐標模型。在小學階段，教師無需過多強調抽象的模型，而應注重引導學生經歷模型探究的過程。

根據布魯納的認知發展理論，學習本身是一種認識過程，在這個過程中，個體總是要對信息進行整理加工，使其以一種易于掌握的形式加以儲存。含糊不清的信息會對新知識產生嚴重的干擾，給理解、記憶、數學思維及其應用造成極大的困難。所以，適當地解模，將數學信息具體化，有利于學生理解與接受。

三、數學解模的實踐性思考

數學模型的形成體現的是數學的簡約美，它是一個發現與發展的過程，也是一個應用的過程。數學本身就是對現實生活情境的一種抽象，而數學模型更是經歷了多次抽象后的結果。將抽象的模型形成一種數學思想，這與小學生較為形象的思維表象是有一定距離的。在小學階段，更需要一個生動、活潑的生活場景來幫助學生理解數學。數學模型思想的逆象形轉變，可以使數學更貼近小學生的生活經驗，這就要求教師要善于將數學模型思想還原成事物本身，使數學問題具有實際意義。

1.在生活情境中豐富模型的外延。

教學《用字母表示數》一課時，許多教師都是用一首有節奏的兒歌引入的，在這首兒歌中，有青蛙的嘴，還有眼睛和腿，又要跳下水，一直念下去，于是在具體的情境中抽象出了規律，并且用簡單的字母表示。這個過程就是數學模型的抽象過程，在數學模型的抽象過程中，感受數學模型思想。在教學中，教師只有不斷努力縮小“形象思維”和“模型思想”之間的距離，才能使數學模型對學生的發展有真正意義上的促進。

2.將抽象的數學概念還原成事物本身。

數學建模是解決問題時借助模型處理各類問題的方法，是將數學思想應用于理論問題和實踐問題的實踐。教學《分數的意義》一課， =c（a不能為0），a為什么不能為0，要求學生要會聯系除法的意義進行講解，而現實是學生只是簡單地記住了這個知識，并沒有真正理解。我們可以將這個抽象的字母公式還原成事物原型，如創設數學模型實驗，糖水的含糖率= ，如果糖水的重量為0，則不存在糖水，更談不上含糖率，所以是沒有意義的。這樣一個實際的數學模型，給了學生一個深刻而又直觀的認識，便于學生理解和接受。

3.肢解模型，讓數學從無形到有形。

從根源上來說，數學是有形的，它富含了生活中所有事物的本身，教師要善于引導學生對一些無形的數學概念賦予一定的物質意義。教學“圖形與幾何”領域的相關內容時，要注意引導學生突破模型的局限性，大膽思考。例如，在學生掌握了長方形、正方形、平行四邊形等平面圖形面積計算的推導過程及其計算方法之后，教學《圓面積的計算》一課時，我首先安排學生大膽猜想它的面積計算可能會和什么有關，根據以往學過的知識，學生想到了轉化的數學思想，推測出可能會與長方形的面積計算有關，再利用教師提供的學具，通過操作研究展開具體的分析，從而找出它們之間內在的聯系與規律，最終將圓通過剪、拼得出了近似的長方形，而這個長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑，長方形的面積=長×寬，所以圓的面積=πr2。

總而言之，通過解模，有利于促進學生體會實際情景與數學的內在聯系，豐富學生學習數學的途徑，激活他們再創造數學的濃厚興趣，也能讓學生更加體會到數學與現實社會和生活的聯系。

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省東?？h石榴中心小學）