善用模型思想提升解題能力

吳士根

解題是數(shù)學中一個極有生命力，極富獨創(chuàng)性和充滿詩情畫意的工作，數(shù)學離不開解題，波利亞在《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》中認為：“中學數(shù)學教學的首要任務(wù)就在于加強解題訓練”。解題在數(shù)學學習中有著不容置疑的重要性。在幾何教學中，有許多圖形需要學生熟練掌握，這些圖形即包括定義、定理的代表圖形，也包括在幾何中經(jīng)常遇到的圖形，以及由一個實際問題抽象為用數(shù)學符號表示的數(shù)學問題，這些圖形或數(shù)學問題我們都稱之為數(shù)學模型。在平時的教學過程中，我們要善于引導學生將所學內(nèi)容整理歸納出類型和方法，并把類型、方法和范例作為整體來積累，經(jīng)過加工提煉，得出有長久保存價值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型（數(shù)學模型）。當遇到一個幾何圖形問題時，我們能辨認它屬于哪一類基本模型，或是由哪些基本模型復合而成。以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來加以解決，這就是利用數(shù)學模型的解題策略。

基本圖形的模型一（“馬飲水”問題）

浙教2011版八上第50頁例2如圖1，直線l表示草原上的一條河流。一騎馬少年從A地出發(fā)，去河邊讓馬飲水不，然后返回位于B地的家中。他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？作出這條最短路線。

分析如圖設(shè)P是直線上任意一點，連結(jié)AP，BP。以直線l為對稱軸，作與線段AP成軸對稱的線段A/P，則AP+BP=A/P+BP。顯然，當點A/，P，B同在一條直線上時，A/P+BP最短，即路程最短。（證明略）

應(yīng)用（2013年紹興市實驗中學聯(lián)誼學校九年級聯(lián)考中考模擬試卷）如圖2，四邊形ABCD是邊長為20的菱形，且∠DAB=60°，P是線段AC上的動點，E在AB上，且AE=〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗AB，連PE，PB，問當AP長為多少時，PE+PB的值最小，并求這個最小值.

解析如圖3，過B（或E）作AC的對稱點，即為D，連結(jié)DE，線段DE的長即為PB+PE的最小值（證明略）.∵ABCD為菱形，∠DAB=60°，AB=CD=BD=20，過D作AB的垂線DH，垂足為H，則BH=10，EH=5，DH=5〖KF（〗3〖KF）〗，∴DE=5〖KF（〗13〖KF）〗，又∵△APE∽△CPD，且AE：CD=1：4，∴AP=〖SX（〗1〖〗5〖SX）〗AC=〖SX（〗1〖〗5〖SX）〗×20〖KF（〗3〖KF）〗=4〖KF（〗3〖KF）〗.故當AP=4〖KF（〗3〖KF）〗時，PE+PB的最小值為5〖KF（〗13〖KF）〗.

點評求平面內(nèi)兩線段之和有最小值問題，是學生較難掌握的一類題目，我們碰到的一般有二種情況：一是兩條線段在動點所在的直線同側(cè)，求兩條線段和的最小值問題；二是兩條線段在動點所在直線的異側(cè)，求兩條線段和的最小值問題.這兩種情況都是可以用同一種方法來解決，那就是”接起來，拉直找交點”.所用的定理是”兩點之間，線段最短”，因此，我們想到把幾條線段連接成兩點間的一條折線，當這條折線拉直，變成兩點之間的線段時，必定是最短的時候.但是，如果題目中的動點在指定的直線上運動，我們拉直后的線段，必須要和指定的直線有交點，如果沒有交點，就要進行線段的轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移的方法主要方法有作對稱點進行相等線段代換。

基本圖形的模型二（“最短距離”問題）

〖XC32.TIF〗

浙教2011版七上第172頁，作業(yè)題6：如圖4，直線l表示一段河道，點P表示集鎮(zhèn)，現(xiàn)要從河l向集鎮(zhèn)P引水，問沿怎樣的路線開挖水渠，才能使水渠的長最短？本題可歸為一個數(shù)學模型“在直線上找一點，使這點到直線外一定點的距離最短”。

分析過P作直線l的垂線PD，垂足為D，則線段PD就是直線l外一點P到直線l的最短距離（垂線段最短）。

應(yīng)用（2013年紹興市實驗中學聯(lián)誼學校九年級聯(lián)考中考模擬試卷）如圖5，在矩形ABCD中，AB=10〖KF（〗3〖KF）〗，CB=10，P、Q分別是線段AC，AB上的動點，問當AP長為多少時，PQ+PB的值最小，并求這個最小值。

解析作B關(guān)于AC的對稱點B/，過B/作AB的垂線B/Q/，垂足為Q/。則PQ+PB的最小值就是BP/+P/Q/的值，即為B/Q/的值。（證明略）。∵AB=10〖KF（〗3〖KF）〗，

BC=10，∠ABC=90°，∴AC=20，∠CAB=30°，又∵∠ABE=90°，∴∠ABE=60°，BE=5〖KF（〗3〖KF）〗，BB/=10〖KF（〗3〖KF）〗，∴B/Q/=15，BQ/=5〖KF（〗3〖KF）〗，AQ/=5〖KF（〗3〖KF）〗，∴AP/=10。∴當AP=10時，PQ+PB的值最小，最小值為15。

點評作B關(guān)于AC的對稱點B/后，BP/+P/Q/的值就是B/Q/的值。B/點到AB的距離要最短，那么只能過B/作AB的垂線。垂線段B/Q/的值就是所求的最短距離PQ+PB的值。

〖XC33.TIF〗

基本圖形的模型三（“蜘蛛和蒼蠅”問題）。

浙教2004版八上第58頁3.2節(jié)節(jié)前是圖：杜登尼（Dudeney，1857-1930年）是19世紀英國知名的謎題創(chuàng)作者。“蜘蛛和蒼蠅”問題：在一個長方形長、寬、高分別為3米，2米，2米長方體房間內(nèi)，一蜘蛛在一面的中間，離天花板0.1米處（A點），蒼蠅在對面墻的中間，離地面0.1米處（B點）（如圖6）.試問：蜘蛛去捉蒼蠅需要爬行的最短距離是多少？

解析把長方體的側(cè)面展開后歸納起來可以分4種情況：

（1）如圖7，AB=0.1+3+1.9=5（cm）；（2）如圖8，AB=〖KF（〗1.82+52〖KF）〗=〖KF（〗28.24〖KF）〗≈5.314（m）。（3）如圖9，AB=〖KF（〗4.12+2.92〖KF）〗=〖KF（〗25.02〖KF）〗≈5.022（m）。

（4）如圖10，AB=〖KF（〗3.22+42〖KF）〗=〖KF（〗26.24〖KF）〗≈5.122（m）經(jīng)過比較，可知第一種情況的路徑最短.