淺談工科學校高等數學緒論課教學內容的設計

潘小東

【摘要】高等數學的緒論課對于學生了解這門課程的發展歷程、主要內容、思想方法，以及它在整個大學階段學習中的地位、作用，激發學生學習這門課程的興趣具有非常重要的作用.針對工科本科院校，本文提出一種高等數學緒論課教學內容的設計思路.

【關鍵詞】高等數學；緒論課；內容設計；工科本科院校

一、緒論課在高等數學教學中的作用

緒論是對于一門課程發展歷程、主要內容、思想方法的概括，是從整體上了解、認識這門課程的關鍵；同時，它也為學生如何學習這門課程指明了方向.高等數學是高等院校理、工、農、醫、經濟、管理等類專業以及文科部分專業的一門重要的基礎理論課程，是學習大學物理、材料力學、理論力學、電工基礎等課程的基礎，因此，對工科院校的學生尤其重要.但是，由于高等數學所包含的內容具有高度的抽象性，與現實生活存在一定的距離，從而給這門課程的教與學帶來了一定的困難.

首先，高等數學到底是一門什么樣的課程？這門課程要解決什么樣的問題？對此，學生會存在很大的疑問.其次，我們知道，在中學，學生對數學的學習往往從直觀入手，循序漸進地去理解課程的內容，比如，學習三角形，老師首先通過一個三角形的實物給學生一個直觀的認識；而高等數學的學習則需要將直觀認識和嚴密的理論推導相結合，比如極限理論的學習，曲線、曲面積分理論、級數理論均是如此.那么，到底應該如何學習高等數學？它的思想方法是什么？高等數學與初等數學相比，究竟有何不同？另外，學生往往也有這樣的疑問，學了這門課程到底有什么用呢？有利于我將來的發展嗎？

那么，高等數學緒論課的教學就是要解決上面的這些問題，或者解除學生對這些問題的疑問.

二、高等數學緒論課教學內容的設計思路

針對上面所提出的問題，我們認為，高等數學緒論課的教學應該包括以下幾個部分的內容.

1.什么是高等數學

鑒于高等教育國際化的發展趨勢，首先，我們應該向學生簡要說明，高等數學這門課程在西方大學相應的對應課程是微積分（英文：calculus）.其次，介紹微積分的發展歷程.微積分思想的誕生可追溯到公元前5世紀的希臘.在我國，微積分思想的出現則在公元前4世紀，春秋戰國時的惠施說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭矣”，其中就蘊含了極限的思想； 公元3世紀，三國魏人劉徽在《九章算術》中提出的“割圓術”則包含了積分的雛形.微積分真正成為一門學科，是在17世紀，英國數學家牛頓和德國數學家萊布尼茲為微積分的創立作出了卓越的貢獻.另外，在微積分的創立、完善的過程中，笛卡爾、費馬、巴羅、柯西、魏爾斯特拉斯等人也作出了非常重要的貢獻.由于教學時間的限制，關于微積分的發展歷程這部分的內容，在課堂教學過程中可以只介紹微積分發展的三個關鍵階段，即前期準備階段、創立階段以及后期完善階段，語言盡可能的簡潔，不必過于詳細地去闡述.同時，把與微積分發展歷程相關的比較經典的資料放在本門課程的主頁上，讓學生作為課外閱讀材料進行學習.最后，介紹高等數學這門課程將會包含的主要教學內容.為此，可以從高等數學的研究對象入手進行說明.那么，高等數學的研究對象是什么？從總體上講，高等數學是關于運動和變化的數學，是研究關于速度、加速度、切線、斜率、面積、體積、弧長、質心、曲率以及無限和等問題的一門數學.它以變量和變量之間的關系來刻畫事物的運動和變化，因此，高等數學的研究對象是變量.它的主要教學內容包括極限理論、微分學、積分學、常微分方程、向量代數和空間解析幾何以及級數理論，其中主體是微積分理論，其他內容為輔.

到此，學生可能會有一些疑問：在中學的時候，他們也學習過函數，也研究過速度、切線、面積、體積等問題，那么，高等數學在研究內容、思想方法上與中學所學習的數學（初等數學）相比究竟有何不同？

2.初等數學與高等數學的比較

從總體上講：初等數學可以認為是一種靜態的數學，以常量作為研究對象.初等數學只考慮現實世界中最簡單的量的關系，只考慮常量與固定圖形，使用形式邏輯的方法進行推理.

而高等數學是一種動態的數學，以變量作為研究對象.高等數學研究的是變量與圖形的變化規律，使用的研究方法一般是動態的、聯系的，因而也是辯證的.

例如：當物體以恒定（靜態，常量）的速度運動的時候，它的運動規律可以用初等數學來描述；但是當物體在運動過程中速度是連續變化（動態，變量）的時候，它的運動規律則需要高等數學的知識來描述.

另外，可以通過下面的表格，更加清晰地給學生展示高等數學與初等數學之間的區別與聯系；同時，在此基礎上，指出高等數學主要的思想方法：以初等數學為基礎，利用極限理論解決實際問題.

因此，對比初等數學與高等數學，可以得到下面的結論：初等數學和高等數學的研究對象不同，常量vs變量；研究方法也不一樣：靜止的觀點vs運動的、辯證的觀點.很多用初等數學方法無法求解的問題，在高等數學中可以獲得求解.那么，學生可能會問，在高等數學中，究竟是如何求解上述這些問題的呢？

3.高等數學的主要思想方法

為此，可以通過簡要敘述微積分基本問題——切線問題和求積問題的求解思路來說明高等數學主要的思想方法.在高等數學中，解決問題所采用的主要思想方法是：以初等數學為基礎，利用極限過程求解.

切線問題（將極限過程應用于直線的斜率）：這個問題本身是純幾何的，但它對于科學應用有著巨大的重要性，包括天文、物理等領域.求已知曲線在點M0處的切線，本質上是想找一條直線，使得該直線在點M0處與曲線一致并且在點M0的附近與曲線最接近.除去切線垂直于x軸的情況外，這個問題就是計算在點x0處的切線的斜率.為此，在曲線上取M0之外的另外一點M1，作連接M0和M1的直線，得割線.割線的斜率可以按照初等數學的方法求得，讓M1沿著曲線向M0逼近；可以發現，在M1逼近M0的過程中，割線無限地接近切線，這時候，如果割線的極限位置存在，則取極限位置處割線的斜率為切線的斜率.

這個問題的圓滿解決首先需要將“割線向切線逼近的過程”用精確的方式描述出來，也就是需要建立極限理論；其次，切線的斜率的求解則需要建立導數（或者微分）理論，這些都屬于微分學的研究內容.

求積問題（將極限過程應用于矩形面積）：求解由光滑曲線所圍成的平面圖形的面積，這也是一個與很多科學實踐問題關系密切的重要的問題.最簡單的情形：曲邊梯形.為了求出曲邊梯形的面積，取曲線上位于區間[a，b]上的一點，作矩形；可以發現，隨著矩形個數的增加，這些矩形面積的和無限地接近于曲邊梯形的面積.

這里，矩形面積的和逼近于曲邊梯形面積的過程的描述需要極限理論，曲邊梯形面積的求解則依賴于積分理論的建立，這些都屬于積分學的研究內容.

從某種意義上講，高等數學可以看成是將極限理論應用于初等數學所發展起來的一門數學.因此，初等數學是高等數學的基礎，“極限”是高等數學的核心概念，可以說，沒有極限理論，就沒有高等數學.

學習高等數學不是簡單地記憶高等數學中的各種數學公式，重要的是理解和掌握極限的思想，并學會用極限的思想解決實際問題.

4.高等數學的應用領域

在緒論課中介紹高等數學的應用領域，對提高學生對這門課程的學習興趣具有非常重要的意義.由于是緒論課，因此只需要介紹高等數學所涉及的應用領域以及應用結果，不需要介紹應用的過程，至于如何應用，則可作為懸念提出.高等數學的應用領域包括以下幾個方面：（1）工程物理學領域，包括水庫的容積、浮力的計算、地震強度的計算、橋梁的設計、衛星軌道的離心率、高速公路的設計、草地灑水裝置的設計等.（2）商業和金融領域，包括養老金問題、收支平衡分析、消費價格指數、最大利潤、邊際成本、邊際收益等.（3）社會和行為科學領域，包括國防經費的預算、人口增長的預測、學習曲線的建立等.（4）生命科學領域，包括血液的流動、細菌的增長、二氧化碳的濃度、轉染病模型的建立等.（5）其他領域：牙齒的鑲嵌（向量代數）、排隊模型的建立等.更詳細的內容可參考文獻[1，4].

由于教學的對象是工科院校的本科學生，因此，在講授高等數學的過程中，很重要的一點是將高等數學的理論與工程實踐問題相結合，特別是在選擇例題的時候，應盡可能選擇與工程實踐問題密切相關的實例，同時也可以以一些實際的工程實踐問題作為高等數學課程的課后作業，這樣也可以發揮各種計算機應用軟件這些現代化的工具在高等數學學習中的作用.

三、總 結

高等數學是以極限作為工具研究函數的一門數學，是高等學校理、工、農、醫、經濟、管理等類專業以及文科部分專業的一門重要的基礎課，是學習大學物理、材料力學、理論力學、電工基礎等課程的基礎.這門課程的特點是：高度的抽象性、嚴謹的邏輯性、應用的廣泛性.學習高等數學首先要熟悉初等數學的理論和方法，學好高等數學重要的是要掌握它解決問題的思想方法，將理論和實踐相結合.由于緒論課課時有限，本文所設計的教學內容并不需要全部都包含在一堂高等數學緒論課的教學過程中，這里我們只是提出一種緒論課教學內容的設計思路，供讀者參考.另外，文獻[2，3]在我們準備高等數學緒論課教學的過程中也有很好的指導作用.

【注釋】

本文為西南交通大學教學改革項目資助成果.課題名稱：工科研究型大學公共數學課程體系改革與實踐.

【參考文獻】

[1]Gary Hosler Meisters.Tooth Tables： Solution of a Dental Problem by Vector Algebra，1982，55：274-280.

[2]李心燦.試談數學緒論課的講授.教學與教材研究，1994（1）：47-48.

[3]全生寅.高等數學教程： 思想、方法、理論、應用.西安：西安交通大學出版社，2005.

[4]Ron Larson，Bruce H Edwards.Calculus （Ninth edition），2010.