蘇教版職高數學平面向量教學探究

張紹宏

平面向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，在數學和物理學中應用很廣，在解析幾何里的應用更為直接，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具.在教學中要求學生了解向量豐富的實際背景，理解平面向量的運算及坐標運算的意義，能用向量語言和方法表述解決數學和物理中的一些問題，發展運算能力和解決實際問題的能力.

這一章的內容概念較多，而且比較抽象，但大都有物理上的背景來源，又與圖形有密切的聯系，因而其優越性相當明顯，恰當的教與學，不僅不索然無味，反而生動有趣，更是培養學生創新精神和創新能力的極佳機會.

一、平面向量的概念

本節從向量的實際背景——力、位移等矢量引出平面向量的概念，引發學生思考數量與向量這兩個概念的區別，確定了平面向量的兩個要素（大小和方向），研究了平面向量相等、相反、平行等關系.在本節教學中，弱化了自由向量的概念，讓學生通過探究、觀察、類比、實踐等方式，讓學生感受向量在保持大小和方向均不變的情況下可以自由移動這一事實.例如，如圖，在4×5方格紙中有一個向量AB，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與AB相等的向量有多少個？與AB長度相等且共線的向量有多少個？（AB除外）

在教學過程中要注重學生動手能力的培養，通過“練”的方式鞏固對概念的理解.例如，在談到天津相對于北京的位置時，我們說，“天津位于北京東偏南50度，114 km”，如圖所示，點A表示北京的位置，點B表示天津的位置，那么向量AB=“東偏南50度，114 km”就是天津相對于北京的位置.

通過探究、發現、歸納、類比等方法，讓學生發現向量在現實生活中的意義和作用，激發學生學習向量的興趣與熱情，為后面的學習奠定基礎.

二、平面向量的加法、減法和數乘向量

通過實例引入，讓學生結合對平面向量概念的理解感受不同方式的位移對結果的影響，初步體會向量相加的概念，引發思考，引出新知.例如，2008年，上海浦東國際機場和臺北桃園國際機場首次開通了上海至臺北的直航，既縮短了距離，又節約了時間.民航客機的每次飛行都可以看成是一次位移.直航前由上海（點A）到臺北（點C），需先經香港（點B），再到臺北，位移是由A到B，再由B到C；直航后由上海直接到臺北，位移是A到C.（1）用圖形表示每一次向量的位移.（2）飛機由上海飛往香港，再由香港飛至臺北位移的結果，與飛機直接由上海飛至臺北的位移結果相同嗎？得出結論AB+BC=AC.

比較平面向量的加法與減法運算法則，在對實際背景思考的基礎上引出和向量的三角形法則、平行四邊形法則，學生從實踐、思考中發現兩種法則之間的區別與聯系，比較得出用代數求兩個向量的和向量的特點.通過類比、實踐感受用代數式和三角形法則求兩個向量的差向量，體驗數形結合的思想方法.在學習向量數乘部分內容時，教材通過讓學生思考交流一個實際問題，讓學生感受平面向量數乘運算的幾何意義，引導學生識記向量數乘運算的概念，會用代數式表示向量的數乘運算.

三、平面向量的坐標表示

通過類比平面內點的坐標表示引發學生對直角坐標系內平面向量坐標表示的思考，通過實例感受平面向量的直角坐標的含義，會在直角坐標系中用直角坐標表示平面向量.

例1 寫出下列向量的坐標表示：（1）a=5i-3j；（2）b=-5i；（3）c=πj.通過本題，鞏固定義，會求所給向量的直角坐標，會通過平面向量的直角坐標求模.

例2 如圖，寫出向量a，b，c，d，e的坐標，并求它們的模.

通過例2提升學生的讀圖能力、數形結合能力，進一步體會向量相等的實質，通過學生動手作圖的實踐，引導學生思考平面向量直角坐標運算問題.能根據所給向量的直角坐標進行加、減、數乘運算.識記已知兩點坐標求向量直角坐標的方法，識記坐標表示的向量之間相等、相反、平行（共線）的條件與判定.發展學生的觀察能力、計算能力、數據處理能力及數形結合能力等.

四、平面向量的內積

通過學生對初中物理中所學過的“功”模型的思考，引出平面向量內積的概念，運用類比的方法幫助學生記住內積公式的形式.能運用公式求兩個向量的內積，通過問題的設定、思考、解答得到運用平面向量的坐標求內積的公式，識記平面向量夾角的定義，感受向量夾角的范圍與向量位置之間的關系.學會求坐標表示的向量的內積，能求給定兩個向量的模或坐標時的夾角，運用坐標判定向量是否垂直.初步讓學生體驗類比、化歸的數學思想.

五、教學建議

1.教師在教學過程中應尊重學生的學習基礎和能力基礎，通過從學生所熟悉的情景或背景說起，引出問題，激發學生的學習興趣和熱情；通過讓學生實踐、操作等教學環節的設計，激起學生學好平面向量的信心和決心；通過讓學生思考、交流等教學手法的運用，提升學生自主學習、合作學習等方面的能力.

2.由于本章各部分內容新舊知識之間的關聯度較大，教師在教學過程中應盡可能結合向量的實際應用提出問題、分析問題、解決問題，在講解過程中應及時檢查學生的學習情況，關注代數方法與幾何方法之間的區別與聯系，加強學生對掌握方法、提升能力方面的訓練，為其終身學習奠定能力基礎.

3.引導學生通過類比、歸納、綜合等方法的運用，對問題進行有條理的思考、判斷、推理和求解，提高學生分析與解決問題的能力、選擇合適的解題模型能力，為其今后更好地學習奠定基礎.

【參考文獻】

[1]馬復，王巧林，主編.數學·基礎模塊（下冊）.南京：江蘇教育出版社，2011.

[2]徐元根.對中學向量概念敘述方式的建議[J]. 中學數學月刊，2001（11）.

[3]汪曉華，朱青鋒.關于“平面向量”教學的幾點構想與嘗試[J]. 數學通報，2003（8）.