數(shù)列極限解法探討

楊貴誠　胡源艷

【摘要】數(shù)列極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的一個概念，也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個難點.文章不僅針對各種形式的數(shù)列極限總結(jié)出具有代表性的若干種求數(shù)列極限的方法，而且每種方法都相應(yīng)的給出了具有代表性的例題進行分析求解，同時總結(jié)了一些解題規(guī)律，使學(xué)生能夠更好地掌握求數(shù)列極限的方法和技巧.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列；極限；不動點

【基金項目】2013廣西高校科研項目——解析函數(shù)空間及其線性極值問題（2013LX113）；2009玉林師范學(xué)院院級青年項目——幾何函數(shù)的若干問題（2011YJQN06）； 2014玉林師范學(xué)院高等教育教學(xué)改革工程項目——基于數(shù)學(xué)競賽的地方高師院校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革探索與實踐

數(shù)列極限問題在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中既是難點又是重點，數(shù)列極限問題的處理方法有很多，解決問題的關(guān)鍵是如何正確理解并選擇合適的方法. 文章將就具有代表性的求數(shù)列極限的方法，包括用泰勒公式或麥克勞林公式求數(shù)列極限、利用柯西收斂準(zhǔn)則求數(shù)列極限、利用級數(shù)法求數(shù)列極限、利用壓縮映像原理（不動點原理）求數(shù)列極限、利用矩陣求解一類數(shù)列的極限，并結(jié)合代表性的例題進行探討.

1.用泰勒公式或麥克勞林公式求數(shù)列極限

在計算數(shù)列極限時，用歸結(jié)原則把數(shù)列的極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限再利用泰勒公式或麥克勞林展開式代替某些函數(shù)， 可以在求極限以前化簡表達式， 從而給極限的計算帶來便利. 需要強調(diào)的是， 展開式的項數(shù)的確定要考慮到分子與分母的無窮小的階數(shù)， 化簡表達式時要注意無窮小的計算.

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