例談中學數學解題中的構造法

祝永華

【摘要】構造法是一種重要而靈活的思維方式，更是培養學生創新思維的有效途徑.解題中的構造法是指根據題目條件的結構特征，通過直覺觀察、聯想及猜想等思維活動，想象到各種知識間的內在聯系或形式上的某種相似性，有目的地構造特定的數學模型，從而把原命題轉化為與之等價的命題，通過對它的討論而使原命題得到解決.本文主要針對中學數學解題中的這一常用方法進行了論述.同時，結合具體實例對構造法中常見的幾種類型：構造方程、構造函數、構造向量、構造數列、構造幾何圖形給予了較詳盡的論述.

【關鍵詞】構造方程；構造函數；構造向量；構造數列；構造幾何圖形

解決數學問題時，常規的思考方式是由已知到未知的定向思維.但有些問題按這樣的思維方式來尋求解決問題的途徑卻比較困難，甚至無從下手.這種情況下，經常要求我們改變思維方向，換一個角度去思考，找到一條繞過障礙的新途徑.構造法就是這樣的手段之一.

所謂構造法是指當解決某些數學問題使用通常辦法按定式思維難以奏效時，應從問題的結構和特點出發，進行廣泛聯想，構造出一個與條件或問題相關的數學命題，實際問題得以轉化，從而解決問題的方法.

構造法具有以下特點：

（1）構造法是一種通過構造新的數學對象使原問題得以轉化，從而解決問題的一種方法.它與數學變換方法具有某種相似性.

（2）構造法解決問題的過程比較直觀，它不僅能斷定某種數學對象的存在，而且能按一定方式在有限步驟內具體找到它.

（3）構造法解決問題具有很大的靈活性，針對某一具體問題，如何進行構造，這與個體的數學知識和經驗都密切相關.

正由于構造法的這些特點與所要求的解題轉化過程很好地吻合，構造法就成為解題的主要方法之一，成為數學家常用的解決問題的思想方法，并在中學數學中有著廣泛的應用.下面我們就結合實例具體地給予討論，以期能給讀者一些有益的啟示.

一、構造方程

有些數學問題未必是方程問題，然而我們可以構造輔助方程，通過對方程的根與系數的關系、判別式、根的定義等的利用，使問題得以解決.

從上述諸多例題中，我們可以體會到構造法解題，不僅需要有扎實廣博的基礎知識，而且必須有敏銳的觀察能力.由此及彼的聯想能力和轉化遷移的創造能力.同時，用構造法解題也是提高解題水平，激發主體學習興趣的一種妙法，使之能在較單調的數學學習中體會到一點數學的奇異之美、方法之美.然而，更重要的是，它在培養學生的思維能力，尤其是創造性思維能力方面有其特殊的功效.如歷史上許多著名的數學家，諸如歐幾里得、高斯、歐拉、拉格朗日、康托等人，都曾用此法成功地解決過數學中的難題，為數學學科的發展作出了重大的貢獻，從而推動數學巨峰的不斷向前發展.既然構造法如此重要，我們在解題中不僅要多利用它，而且要善利用它，即做到：細觀察、善類比、多聯想、勤實踐、善總結、廣積累、常反思.