基于三維測量的圓度誤差執行不確定度研究

黃美發，肖萌萌，孫永厚，陳磊磊

(桂林電子科技大學機電工程學院，廣西桂林 541004)

測量不確定度是評價測量結果質量的重要指標，測量不確定度定義為:表征合理地賦予被測量值的分散性，與測量結果相聯系的參數。沒有不確定度的測量結果是不完整的［1］。測量不確定度又可分為方法不確定度和執行不確定度。測量不確定度約定規則使不同國家、不同地區、不同學科和不同領域，在表示測量結果及其不確定度時具有一致的含義。

三坐標測量機在應用中，引起被測參數不確定度的來源非常復雜，它不僅與測量機本身的精度有關，還與采樣策略、被測工件、環境條件及數據處理方法等一系列因素有關［1］。文中討論的測量不確定度是在特定的采樣、評定方法下評定的，屬于測量不確定度中的執行不確定度。執行不確定度是實際認證操作算子定義的計量特性與理想認證操作算子定義的理想計量特性之間差異引起的不確定度，校準的目的通常是評估由測量儀器引起的執行不確定度的值，而與測量儀器沒有直接關系的因素 (如環境)也可能導致執行不確定度［2］。文中根據最新國際標準 JCGM 101-2008，探討利用坐標測量機進行圓度測量的不確定度的來源及評定方法;然后，根據我國計量技術規范JJF 1059.2-2011，運用自適應蒙特卡洛方法對圓度誤差的評定過程進行仿真研究，從而驗證了GUM的有效性，并給出了其適用的范圍。

1 圓度誤差評定模型［3］

圓度誤差是指在垂直于回轉體軸線截面上，實際輪廓對其理想圓的變動量，誤差的大小直接關系到孔軸配合的精度。圓度誤差是評價回轉類零件形狀精度的重要指標之一［4］。設回轉體的測量工作平面為xy，軸線方向為z方向，Pi(xi，yi)為回轉體某固定截面上的N個測量點在工作平面上的投影坐標，理想圓的方程為:

擬合的最終目的是確定理想圓的圓心坐標 (x0，y0)和半徑R。目標函數為

該表達式比較復雜，為非線性優化模型，對它進行線性化，整理公式 (1)得:

其中:x0，y0，C為未知量，根據極值條件，可以確定目標函數里的決策未知量。通過求解，可以得到:

該公式推導的前提是圓心坐標(x0，y0)的絕對值足夠小，只有圓心坐標足夠小時才能作線性變換。因此，每次求解后，需要以求得的圓心坐標為坐標原點，對測量數據進行平移，然后再進行下一次的迭代，直到求得的圓心坐標絕對值足夠小。

求得圓心坐標后，進而可以確定距離圓心最遠和最近的測點，設兩者分別為(x1，y1)、(x2，y2)。因此圓度誤差模型為:

2 基于GUM圓度執行不確定度的評定

在三坐標測量機的測量過程中，存在多種測量因素對測量結果帶來影響，主要包括:(1)測量重復性誤差;(2)機構誤差;(3)力變形誤差;(4)熱變形誤差;(5)探測系統誤差;(6)動態測量誤差［1，3］。

其中，機構誤差包括定位誤差 (阿貝誤差和標尺讀數系統的誤差)、角運動誤差和直線度運動誤差。測量重復性誤差和機構誤差直接影響測量點的坐標值，其他誤差來源則對最終測量結果產生影響［1］。

圓度誤差測量模型可表示為［5］:

式中:δ為測量重復性誤差和機構誤差產生的誤差，也是式 (5)中的評定誤差;α為工件的熱膨脹系數;θ為實際環境溫度與標準測量環境溫度之差;Δd為測量機的探測誤差;Δr為測量機的力變形誤差;Δv為測量機的動態誤差。

各傳遞系數為:

而圓度測量的執行不確定度為各個分量不確定度的平方和開方，即:

其中由測量重復性誤差和機構誤差引起的不確定度，可以通過式 (5)推導出。根據GUM不確定度傳播規律，求得各傳遞系數為:

在所有的影響因素中，近似認為只有x0、y0是相關的。因此，可得由測量重復性誤差和機構誤差引起的不確定度［6］:

為保守考慮，取 ρx0y0=1。以上公式中x1、y1、x2、y2的不確定度由重復性測量和三坐標測量機的機構誤差構成:

其中:k=1，2，…，N;u2(x機)為x軸方向上的機構誤差不確定度;u2(y機)為y軸方向上的機構誤差不確定度。

把(x0，y0)看作一個隨機向量，對被測圓按照相同的采樣方法擬合多次，計算隨機向量的均值(，)，作為它們的估計值代入式(9)。x0、y0的不確定度及相關不確定度為:

3 自適應蒙特卡洛方法 (MCM)

蒙特卡洛方法是一種數值計算方法，它以概率統計為主要理論基礎，以隨機抽樣為主要手段。蒙特卡洛方法首先建立一個與所求解相關的概率模型，使所求問題的解正好是所建模型的數學期望或其他有關特征量;然后通過多次模擬一個統計試驗，統計出某事件發生的概率;利用建立的概率模型，求出要估計的參數;最后對模擬結果進行分析總結，驗證該系統的某些特性［7－8］。

在執行自適應蒙特卡洛方法的基本過程中，蒙特卡洛試驗次數不斷增加，直至所需要的各種結果達到統計意義上的穩定。如果某結果的兩倍標準偏差小于標準不確定度的數值容差時，則認定該數值結果穩定。具體的評定步驟如下:

(1)分析圓度測量中執行不確定度的來源Δd、Δr、Δv、xk、yk、α，并確定其分布類型、分布區間、期望值及標準方差;

式中:J是大于或等于1/(1－p)的最小整數，p為包含概率，設h=1，表示在序列中初次應用MCM。

(3)執行M次蒙特卡洛實驗:根據步驟 (1)確定的期望值和標準方差，生成M組隨機數，以此模擬生成的觸測點的坐標;

(4)代入圓度誤差不確定度評定模型式 (6)，計算得 到M個 模 型 值 Δ1，…，ΔM，并 統 計 Δ(h)，u(Δ(h))，和，它們分別為圓度誤差Δ的估計值、標準不確定度、100p%最短包含區間的左右端點;

(5)如果h=1，h增加1，返回到步驟 (3);

句中“公族疏遠者”， “疏遠”修飾“公族”，“者”為標志。句意：（吳起） 剛到楚國楚王就任命他為國相。他使法令明確，依法辦事，令出必行，淘汰并裁減無關緊要的冗員，停止疏遠的王族的按例供給，來供養戰士。

(6)按下式計算圓度誤差Δ的估計值Δ(1)，…，Δ(h)的平均值的標準偏差SΔ

(7)以相同的方式分別計算u(Δ(1))，…，u(Δ(h))的平均值的標準偏Su(Δ)，，…，的平均值的標準偏差SΔlow以及，…，的平均值的標準偏差SΔhigh;

(8)利用所有的h×M個模型值來獲得u(Δ);

(9)設定不確定度的有效數字的位數，計算出數值容差σ(不確定度最短區間的半寬度);

(10)如果 2SΔ、2Su(Δ)、2SΔlow、2SΔhigh中的任何一個值大于δ，則h增加1并返回到步驟 (3);

(11)若所有的計算已達穩定，利用獲得的h×M個模型值計算出Δ、u(Δ)和100p%包含區間。

4 實例分析

運用海克斯康三坐標測量機 (GLOBAL CLASSIC SR07.10.07)，在φ151 mm的圓周上均勻測量20個點，評定圓度誤差及其不確定度。通過查詢該三坐標的技術參數可知，α=1.8×10－5℃－1，u(α)=0.05×10－5℃－1，θ=1 ℃，u(Δd)=0.2 μm，u(Δr)=0.2 μm，u(Δv)=0.2 μm，u(xk)=u(yk)=0.5 μm，不考慮溫度的不確定度，各個隨機變量符合正態分布，分別運用兩種方法評定測量執行不確定度。最后假設各個隨機變量符合均勻分布，再重新確定其執行不確定度。要求包含概率為95%，不確定度保留1位有效數字。

4.1 隨機變量符合正態分布

GUM。根據20個離散點計算圓心坐標x0、y0，通過仿真模擬的方法，運用概率統計的相關知識計算估計值、不確定度以及相關不確定度;然后通過擬合算法，求得峰點坐標(x1，y1)、(x2，y2);然后根據式(7)、式 (9)計算各種誤差源的傳遞系數;最后將計算結果代入式 (6)得到執行不確定度。

自適應MCM。運用第3節的評定步驟，評價出圓度誤差及其執行不確定度。

由于不確定度保留1位有效數字，所以數值容差為σ=0.5 μm。兩種方法得到的結果如圖1、表1所示。

圖1 圓度誤差概率分布對比

表1 各種評定方法計算結果比較

結果分析:

(1)由圖1可知:各個誤差源符合正態分布時，最后的圓度誤差的概率分布比較接近正態分布，僅僅圓度誤差估計值與標準不確定度存在偏差;

(2)由表1可知:自適應MCM和MCM運算結果十分接近，可見100 000次與50 000次的仿真結果十分接近，且在數值容差范圍之內，說明自適應MCM的計算結果是可信的，提高了計算效率;

(3)由表1比較MCM和GUM的計算結果，圓度誤差相差0.1 μm，不確定度相差0.2 μm，包含區間左右端點均相差0.4 μm，圓心坐標與半徑相差在0.1 μm以內，各項計算結果都小于數值容差σ，說明GUM在微米級精度范圍內是有效的。

4.2 隨機變量符合均勻分布

運用相似的方法，對執行不確定度重新評定，結果如圖2、表2所示。

圖2 圓度誤差概率分布對比

表2 兩種評定方法的比較

結果分析:

(1)由圖2可知:各個誤差源符合均勻分布時，最后的圓度誤差的概率分布偏離正態分布較大;

(2)由表2可知:在誤差源符合均勻分布時，自適應MCM和MCM運算結果偏差在數值容差范圍之內，說明自適應MCM的計算結果是可信的，證明了自適應MCM的有效性;

(3)由表2比較MCM和GUM的計算結果，不確定度相差0.4 μm，包含區間左右端點分別相差0.8 μm、0.9 μm，超出了數值容差，說明在該情況下GUM在微米級精度范圍內是無效的。

4.3 測點數量對不確定評定的影響

從評定模型的推廣角度考慮，分析了測量點數對不確定度的影響。運用上面介紹的方法，在誤差源符合正態分布的情況下，分別測量8、10、12、14個點，并對不確定度進行重新評定，結果如圖3所示。

圖3 測量點數對不確定度評定的影響

結果分析:

(1)隨著測點的增加，MCM得到的執行不確定度也會增大，增長的速度會變慢，但測量點數對GUM的評定結果影響不大。

(2)在正態分布的條件下，兩種評價結果的最大偏差在數值容差范圍內，說明在微米級的精度范圍內GUM是可信的。

4.4 實驗結論

(1)基于GUM的不確定度評定，采用了近似的處理。未考慮峰點與擬合后的特征參數的相關不確定度，比如圓的提取點與圓心認為是不相關的;測量點數對執行不確定度的影響未體現出來，除峰點以外的提取點對合成不確定度的影響未考慮。因此GUM計算的精度降低。

(2)研究表明，測點坐標誤差不確定度和圓度誤差合成不確定度的概率密度函數較大程度地偏離正態分布或t分布，特別是分布明顯不對稱時，不適合用GUM來評估不確定度。相反，在允許的精度范圍內，由于GUM運算規模小，推薦使用GUM評定。

5 結束語

綜合考慮了三坐標測量機進行形狀誤差測量時自身誤差和測量過程中引入的各項誤差，給出了基于測量不確定度表示指南 (GUM)估算執行不確定度的方法，并利用自適應蒙特卡洛仿真方法 (MCM)來驗證GUM方法的有效性及其適用范圍。GUM通過嚴格的理論推導，計算規模小，但是不能適用所有的場合。實驗結果表明:文中所提的不確定度評定模型，能有效提高三坐標測量結果的準確性和可信度。

［1］全國產品尺寸和幾何技術規范標準化技術委員會.GB/T 24635.3-2009產品幾何技術規范(GPS)坐標測量機(CMM)確定測量不確定度的技術:第3部分:應用已校準工件或標準件［S］.北京:中國標準出版社，2009.

［2］蔣向前.新一代GPS標準理論與應用［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［3］張國雄.三坐標測量機［M］.天津:天津大學出版社，1999.

［4］方沁林.圓度誤差評定的算法研究與軟件設計［D］.武漢:華中科技大學，2007.

［5］JCGM 101:2008 Evaluation of Measurement Data-Supplement 1 to the"Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement"——Propagation of Distributions Using a Monte Carlo Method［S］.JCGM － WG1，2008.

［6］國際標準化組織.測量不確定度表示指南［M］.劉智敏，劉增明，譯.北京:標準化文摘雜志社出版，1995.

［7］陳曉懷，薄曉靜，工宏濤.基于蒙特卡洛方法的測量不確定度合成［J］.儀器儀表學報，2005，26(8):759 －761.

［8］黃美發，景暉，匡兵，等.基于擬蒙特卡洛方法的測量不確定度評定［J］.儀器儀表學報，2009，30(1):120－124.