高等代數研究問題的基本方法的教學實施

李志慧

（陜西師范大學 數學與信息科學學院，陜西 西安 710062）

高等代數研究問題的基本方法的教學實施

李志慧

（陜西師范大學 數學與信息科學學院，陜西 西安 710062）

培養學生系統地掌握高等代數研究問題的基本方法是高等代數課的教學目的之一．高等代數中有代表性的的5種基本方法包括：嚴格的邏輯推理方法、公理化方法、結構化方法、矩陣表示方法和等價分類方法．了解這5種方法的具體含義和在高等代數中的具體應用對高等代數教學是十分有益的．

高等代數；基本方法；有效教學

1 引 言

高等代數是代數學的入門課程，它的任務是闡述代數學的一些基礎知識，初步了解代數學的研究對象，使學生掌握代數學的基本思想和研究問題的基本方法，即：嚴格的邏輯推理方法，公理化方法，結構化方法，矩陣表示方法和等價分類方法[1]．那么如何將這些方法在教學中給予有效地實施，文章將圍繞這5種方法，結合高等代數的內容，進行詳細的探究．

需要說明的是：這里使用的術語以及符號與文獻[2]中一致．

2 各基本方法的教學實施

2.1 嚴格的邏輯推理方法的教學

高等代數的研究對象除了線性空間，線性變換和歐氏空間外，其余各章均是在默認正整數的5條公理的基礎上，直接采取“定義—定理（性質）—推論—例題—習題”的形式呈現知識內容的，即嚴格的邏輯推理方法．具體地說，在多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型以及λ-矩陣各章的教學中，應該做到使學生準確理解定義，然后從定義出發，引導學生利用嚴密的邏輯推理方法，依次推出性質、引理、定理、推論，直至建立本類問題的整套理論體系．在內容的講授方面是一種線條式的，要做到環環相扣．

以多項式這一章的教學為例，教師首先要讓學生清楚為何要提出多項式的概念？為何要研究因式分解理論等？實質上，從生產實踐和自然科學理論中，自然地產生了求解代數方程的問題，也即提出了一元高次代數方程的基本問題是：它有沒有根？有多少根？如何求出它的全部根？而一元高次代數方程的求根問題是與對應的多項式的分解問題可以說是相輔相成的．因此，從多項式概念的引入，到最終目的是將多項式給予分解這個中心內容，就可以順理成章地組織教學主線．首先證明了帶余除法定理，它是本章最基本的定理，由此得到了本章的另外兩個重要的定理即最大公因式的存在定理和因式分解的唯一性定理．從理論體系上呈現出一種線條式的，做到了環環相扣，即給出了這一章3大理論體系為：

（1）整除理論：包括整除、最大公因式、互素及性質；

（2）因式分解理論：包括不可約多項式、因式分解、重因式、實系數與復系數多項式的因式分解、有理系數多項式不可約的判定等；

（3）根的理論：多項式的根、代數基本定理、有理系數多項式的有理根求法、根與系數的關系等．

這樣組織本章教學，充分體現了嚴格的邏輯推理方法．

2.2 公理化方法的實施

線性空間是高等代數中第一個公理化定義．在這之后，高等代數中的線性變換、歐氏空間等概念均是用公理化方法引進的．

高等代數從學生已經學過的數、多項式、矩陣、幾何向量、函數等具體的數學對象中，找出它們關于各自加法和數乘共同滿足的8條運算規律，將這8條運算律作為公理給出線性空間的定義．從線性空間的定義可以看出，它首先舍棄了數、多項式、矩陣、幾何向量、函數等這些數學對象的具體軀殼，而將其用一個非空集合來代替，它們各自滿足的兩個運算統統定義為這個非空集合上的兩個運算，并抽象出共同滿足的8條運算規律．這樣做的好處在于拋開了數學對象的表面形式，可以集中精力研究線性空間的內部結構以及外部結構．從而使知識結構從感性上升到理性，從具體上升到抽象．進而得到理論上的實質性進展，因此對該理論的認識才能深刻，而該理論的應用領域才能更加寬廣．實質上，當對線性空間的結構研究清楚以后，作為起初的多項式、矩陣等對象的結構也就清楚了．這也說明了理論可以返回頭來指導實際．

在高等代數中，公理化章節中的知識體系是如何呈現的？在這些章節的教學中，應該采取什么樣的有效的教學方法呢？如果說屬于嚴格的邏輯推理的章節在內容方面是一種線條式的，那么公理化方法的這幾章的知識體系更像是一座座要開發的寶藏．當用公理化方法給出定義后，依據的只有公理化定義中的幾條公理，來挖掘滿足這一公理體系下的代數系統的結構．這里仍以線性空間為例，依據加法與數乘的運算和8條公理，得到了：

（1）從元素的角度，研究了基、維數與坐標，得到了基變換與坐標變換公式；

（2）從內部出發，研究了子結構．即子空間，子空間的交與和，直和，得到了維數公式．

（3）從外部出發，研究了線性空間的同構．

由于公理化定義的對象本身比較抽象，從不同的角度研究這些對象時，學生缺乏直觀想象，這時在教學方法上教師要做到一些直觀形象的比喻．如在講述線性空間的同構時，文[3]形象地將其比喻成生物學上研究脊椎動物類的身體結構，指出它們的標本與實物本身雖然成分不相同，但就其結構而言，其標本與實體沒有區別．要研究脊椎動物的結構，不可能將屬于脊椎動物的每只動物都解剖進行研究，而是將該類動物中的其中一只如麻雀解剖做成標本，只要將這一只標本研究清楚了，則整個脊椎類的結構也就清楚了．同樣的道理，要研究某一類線性空間，若它們在某個一一對應下關于運算的結構相同，則只要研究其中的一個就行了，這就是學習同構的意義所在．

公理化方法的引進不但使數學抽象思維產生了新的飛躍，也使邏輯推理更加嚴格．

2.3 結構化方法的展示

首先對結構化方法給予解釋．結構的基礎是集合，當只涉及集合、元素及元素屬于集合的這種簡單的關系時是屬于集合論研究的范疇；當研究元素與元素之間以及元素與子集合、子集合與子集合之間的各種關系時，就稱為結構化方法[4]．在高等代數中，這種結構化方法集中體現在線性空間和歐氏空間兩章中．即依據代數系統的公理，研究系統中元素之間關系，系統的生成方法，系統與子系統的關系（如代數系統的直和分解），系統的分類等．實質上，這是研究代數系統的一個最基本的方法，這種研究方法在抽象代數的各對象討論中尤為明顯，如群、環、域和模等．

在高等代數的教學中，應該適時地給學生做一點撥，尤其在講授完歐氏空間的內容后，可以將這兩章內容中的結構化方法，再給予分析和驗證，這樣使學生有了一種直觀的感受．從而能更好地理解這種方法的實質．

2.4 矩陣表示方法的綜合體現

矩陣表示方法可以說貫穿了高等代數的每一章內容，只是因為多項式在編排上位于教材的第一章，無法介紹矩陣在這一章的應用．如線性方程組可用它的增廣矩陣表示．在線性空間里，取定一個基后，n維向量可由它的坐標組成的行矩陣或列矩陣表示，線性空間的線性映射、線性變換、線性函數、雙線性函數、二次型均可用矩陣表示．在歐氏空間里，取定一個標準正交基后，內積可用其度量矩陣表示，正交變換可用正交矩陣表示，對稱變換也可用對稱矩陣表示，等等．將研究對象轉化成矩陣表示后，在研究有關問題時會帶來方便．如線性變換利用矩陣表示后，有關線性變換的抽象問題可以用矩陣迎刃而解，這方面的典型例子可參考文獻[5]．

在教學中，教師應該做一個這方面的小專題，利用多媒體在每章結束時將本章出現的矩陣表示方法給予展示，這樣教師經過講解以及回放這個專題后，學生可逐漸領會這種方法．

2.5 等價分類方法的滲透

等價分類方法是數學中一個重要的方法，即為了研究某個集合的某一問題，在此集合中引入相應的等價關系，然后尋找各等價關系類中形式最簡單、性質最好的元素（即最簡單的代表元），從而使問題的研究得以簡化．在高等代數中的很多章節都用到了等價分類方法．具體表現在：

（1）nm×(n≤m)矩陣的全體按照矩陣的等價關系可以分為1+n個類，最簡單的代表元為．

（2）非退化線性替換是實n元二次型的一個等價關系，在這個等價關系下，實n二次型可分為(n+1)(n+2)個類，

（3）數域P上的維數小于等于n的有限維線性空間按照線性空間的同構這個等價關系可以分為n+1個類，數域P上的維數等于r的線性空間在這個等價關系下最簡單的代表元為數域P上的線性空間rP(1≤r≤n)．

（4）復數域C上的n級對稱的全體在矩陣的合同關系下可以分為n+1個類，最簡單的代表元為≤n)．實數域R上的n級對稱矩陣的全體在矩陣的合同關系下可以分為(n+1)(n+2)個類，最簡單的代表元為：

（5）復數域C上的n級方陣的全體在矩陣的相似關系下可以分無窮個類，最簡單的代表元為若爾當矩陣．

由于等價分類方法是一種比較抽象的方法，學生在理解起來有一定的困難性．在教學中，教師也應該制作關于這一問題的小專題，每當講授一種等價分類方法后，利用多媒體重放這些方法，回顧舊知識，總結新結論，不斷滲透，以加強理解等價分類方法．

3 小 結

以上就高等代數中研究問題的基本方法的教學實施給予了分析，旨在強調滲透數學思想方法的教學是培養和發展學生數學思維能力的有效途徑．在高等代數教學中，如果忽視了知識背后隱藏的數學思想和方法，不重視知識發生發展過程中思想方法的滲透和指導，最終只能讓學生的頭腦填滿一大堆零散的材料，很難形成一個具有活動的數學知識結構．因此說，抓住這些基本方法的實質組織教學，對于培養學生的高等代數思維能力是極為有益的．

[1] 侯維民．關于代數學研究問題的基本方法[J]．數學教育學報，1999，8（1）：94-96．

[2] 王萼芳．高等代數[M]．北京：高等教育出版社，2003．

[3] 蘭艷，沈艨．高等代數抽象性及其教學的研究[J]．數學學習與研究，2011，23（1）：11-12．

[4] 胡作玄．數學是什么[M]．北京：北京大學出版社，2008．

[5] 李志慧，李永明．高等代數中的典型問題與方法[M]．北京：科學出版社，2008．

Teaching Implementation of the Basic Study Methods in the Course of Advanced Algebra

LI Zhi-hui
(College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710062, China)

One of the teaching purposes is to train students to master basic study methods in the course of Advanced Algebra. In this paper, we analyze five basic methods in Advanced Algebra, including strict logical reasoning method, axiom method, structural method, matrix representation method and equivalent classification method. The meaning of these five kinds of methods are explained. For each method we use some examples to clarify their specific application in Advanced Algebra. Then we give some studies on how to effectively implement these five basic methods into each chapter in Advanced Algebra.

advanced algebra; basic method; effective teaching

G420

：A

：1004–9894（2014）02–0006–03

[責任編校：周學智]

2013–10–10

陜西省高等代數精品課程資助項目——高等代數精品課程（884275）；陜西師范大學高等代數精品資源共享課資助項目——高等代數精品資源共享課（884355）

李志慧（1966—），女，陜西眉縣人，教授，博士，主要從事有限域、密碼學研究．