中法高中數學課標微積分內容比較研究

張玉環，Alаin Lеgеr

（1．河南大學 數學與信息科學學院，河南 開封 475004；2．首都師范大學 數學科學學院，北京 100048；3．法國國家科學研究院 力學與聲學研究所，法國 馬賽 13402）

中法高中數學課標微積分內容比較研究

張玉環1，2，Alаin Lеgеr3

（1．河南大學 數學與信息科學學院，河南 開封 475004；2．首都師范大學 數學科學學院，北京 100048；3．法國國家科學研究院 力學與聲學研究所，法國 馬賽 13402）

為追求更高的教學質量，中法兩國一直不斷地調整高中微積分的教學內容．比較法國2010和2011年公布的高中最新數學大綱中的微積分與中國2003年頒布的《高中數學課程標準》中的微積分內容，建議中國高中微積分教學應縮小知識跨度，加強分層教育，注重微積分與實際以及其它學科的聯系，且進一步加強微積分教學與信息技術的整合．

數學課標；微積分；高中；中法比較

1 引 言

在歷史上，法國是注重理性思維傳統的國家，曾產生過像笛卡爾、費馬等著名的大數學家，特別是18世紀末、19世紀初，巴黎幾乎成為當時世界數學發展的晴雨表[1]．當前法國在科學研究領域仍扮演著重要角色，特別是數學．2006年在馬德里召開的國際數學家大會上，有25%的發言人是法國數學家．在其它科學領域法國也是名列前茅[2]，并且法國精英教育與大眾教育能合理并存[3]．由此可知，法國的中小學教育取得了不錯的成績．

如何在高中開設微積分？它的定位如何？一直是國內外教育界研究的焦點問題．2003年國內開始實施新課標[4]，以逾越極限的形式來講微積分．時至今日高中微積分仍然面臨著不少問題．孫曉天教授說：開闊視野，環顧左右，看看別人是怎么做的，想想自己是怎么做的，再思考自己下一步該怎么做，才能把事情做的更好[5]．這里主要探討法國高中最新數學大綱微積分內容的設置、編排和目標要求，并與中國現行課標中的微積分內容進行對比，以期對中國高中微積分課程改革與教學有所啟示．

2 法國高中教育體制

法國小學5年，初中4年，高中分為普通高中、技術高中和職業高中，前兩者學制是3年，職業高中是2～4年．普通和技術會考成績合格者，可直接進入普通綜合大學學習，但要進入大學校（即精英學校），還需先考入該類學校的預科班學習兩年后再考試，成績優秀者才被錄取．大約一半的學生在職業學校，一半的學生在普通高中和技術高中（后者可能更多一些），大多數的數學系學生或數學家來自普通高中．這里主要介紹普通高中的情況．從高二開始分專業，主要有L（文學、語言、哲學和藝術）、ES（經濟和社會科學）、S（自然科學）．各年級3個專業數學課程時間安排：高一（Sесоndе）每周4～5個小時；L、ES、S三個專業，高二（Prеmièrе）學生分別為2～5小時、3～5小時、5小時，高三（Tеrminаl）學生分別為0～3小時、4～6小時、5.5～7.5小時．各個年級和方向都有全國教學大綱，它們是由數學教師、數學工作者和數學專家一起編制的．在實施以前，先在某些學校進行實驗．教科書根據教學大綱自由編制，但學校有選擇權[6，7]．

3 中法兩國高中微積分內容的歷史變革

1938年法國就在高中數學內容中增加了微積分，后來為追求更高的教學質量，法國一直不斷調整分科制度和課程設置．1969年理科大綱的高中微積分試圖建立在逼近思想的分析基礎上，需要介紹實數集合的完備性公理和極限的定義；鼓勵基本定理的證明，如中值定理，但不需要形式的證明；在高二（自然科學方向）介紹歐拉方法，但因過分強調數學的抽象性、普遍性，忽視數學的實際應用，1981年宣告失敗，后來又幾經修改，大約每10年變動一次．前幾年的微積分內容，涵蓋數列極限、函數極限、區間連續、導數、極值、定積分及基本定理等，基本上是大學微積分的縮影．2008年薩克奇公布了中學教育改革計劃，要調整教學課時，課程內容以及評價方式．法國高中于2010年開始實施新的教學大綱[6～10]．

1866年中國在高中（當時稱為高等學堂）開設了“微積分”課程，一直到1923年．隨后在相當長的時間內取消了微積分課程，僅在代數中講一點極限論初步知識．1960年至1963年編寫了“微積分”試用教材．然而，1962年至1965年只講數列和極限．1977年開始重新編寫全國通用的中學數學教材，增加微積分．遺憾的是，受高考指揮棒的影響，微積分教學實際上被取消[11]．2000年3月正式出版的大綱，再次將微積分初步的知識作為選修的課程內容，在理科選修中，微積分部分包括極限、導數和微分、積分；文科則只學習極限和導數部分[12]．現行課程標準微積分內容改革力度比較大，以逾越形式化極限概念來講微積分[13]，且仍將其列為選修課，高考會略有涉及．文科16學時，只講導數及應用．理科為24課時，講導數及其應用、定積分及微積分基本定理．

4 法國大綱中微積分內容介紹

法國普通高中，一年級只有一個數學大綱，從高二開始文學專業和經濟社會專業共用的一個數學大綱（簡稱文科大綱），以及理科專業大綱．學生從高二開始學微積分，一直到高三．這里主要探討涉及微積分內容的最新教學大綱，即2010年公布的高二理科大綱[14]和高二文科大綱[15]，2011年公布的高三理科大綱[16]和高三文科大綱[17]．表1和表2分別把高二、高三文科大綱中微積分部分內容列了出來．其中第一欄是基本內容，包括基本概念、性質以及定理等；第二欄是要求學生要達到的最低能力，明確指出了教學目標；第三欄是加以注釋或補充說明，給教師提供教學建議，學生完成學習任務需要用到的器具，學生之間交流的內容，對數學證明的要求以及其它比較困難的內容．表中還專門標注了一些算法活動．

表1 高二文科大綱（微積分部分）

表2 高三文科大綱（微積分部分）

表2 （續） 高三文科大綱（微積分部分）

下面簡要介紹文科大綱中微積分內容的設置理念．高二，其動機仍和高一相同，要解決純數學或其它相關學科的問題．介紹一個新的工具——導數．這一階段研究的函數都是正則的，能夠直觀地理解某點處有限極限的概念．研究很多領域的變化現象，包括經濟、社會科學，用數列對它們進行模擬．基于不同領域的離散現象介紹數列的概念，并且實施算法或試算表，這樣有助于對概念的理解．高三，繼續研究等比數列來學習極限的概念．介紹指數函數和自然對數函數及其導數，指數函數是把離散問題轉變到連續問題的一個契機．介紹函數的凸凹性、拐點概念，主要用來研究圖形，并且在經濟學中有著廣泛的應用，特別是成本方面的問題．最后學習積分的概念，有保留地討論和研究，只涉及分析里的基本概念．

以微積分內容方面來說，新大綱改革力度不太大．以理科大綱為例，和前幾年理科大綱相比[9]，去掉了一些知識點，如可導函數相應的線性逼近，證明極限的唯一性，不證明地使用數列的商、乘積定理，微分方程等；高三增加了正弦、余弦函數及其導數；把一些知識從高二移到了高三，如數列的夾逼定理、漸近線等．

5 中法課標微積分內容的相同點

5.1 立足于學生

法國大綱中，學習微積分不僅要培養益于學生一生的學習技巧和能力，更好地了解社會，而且要訓練學生堅實的數學底子，為日后學習、科研做準備．

中國課標中，讓學生體會導數的思想及其豐富內涵，感受導數在解決實際問題中的作用，了解微積分的文化價值，而且為大學的進一步學習打基礎．

5.2 有部分相同的知識點

就法國理科大綱和中國理科課標來說，兩者都包括的知識點有：導數概念和幾何意義，能進行簡單函數的導數運算，如y=，y=，y=xn（n≤3且為正整數），導數在研究函數中的應用，如函數單調性與導數符號的關系，函數極值問題，生活中的一些優化問題，定積分與基本定理等．

5.3 很少的證明

法國理科大綱里，要求的證明比較少，如數列（qn）（其中q＞1）的極限是無窮大；如果某一數列遞增，且極限為l，那么從某一項開始的所有項都小于或等于l；證明R上滿足f′=f，f (0)=1的可微函數是唯一的，存在性不需要證明．數列夾逼定理，單調有界收斂定理，介質定理，區間上的可微函數連續，積分定理等則明確標注不要求證明．定理：區間上連續且為正的函數存在原函數，只要求部分證明，即證明區間為有界閉集的情況．文科大綱的證明更少．

中國課標中幾乎沒有要求任何有關微積分的證明．

5.4 重視數學文化

法國大綱要求，在大綱實施的過程中揉合數學思想和歷史，知道一些著名數學家的名字，他們生活的年代以及他們的貢獻是整個數學文化和技術的一部分，了解概念的形成和演變的歷史，有助于學生對概念的理解．該部分知識內容較多，很大一部分內容需要學生在課外學習，要考慮到每個學生的特點來設計該部分，特別要和目標相一致．考核形式也要多樣化．

中國課標要求，數學文化盡可能有機結合高中課程內容，選擇介紹對數學發展起重大作用的歷史事件和人物，讓學生認識數學發生、發展的必然規律，了解數學真理的相對性，提高學生興趣．并且對微積分這部分內容提出了具體的建議，介紹微積分創立的時代背景及人物資料，如牛頓、萊布尼茨，以及微積分在文藝復興后對科學、社會、人類思想進步的推動作用．這部分知識建議采取多樣化的教學．

5.5 重視理論與實際相結合

法國大綱一直強調讓知識運轉起來，且在解決實際問題中學習知識，然后再加以應用．微積分內容的其中一個目標是學生最終能夠利用數學工具，如函數、數列、導數以及積分等，處理連續、離散的現實問題．國家教學委員在關于“數學大綱的框架信中”指出，應該為學生提供各種各樣的背景（地理、經濟、生物、時事等）中的事例，以使學生獲得的能力不局限于單純的“數學課”[18]．

中國課標注重數學知識和實際的聯系，發展學生的應用意識和能力．通過豐富的實例引入數學知識，引導學生應用數學知識解決實際問題，經歷探索、解決問題的過程，描述數學的應用價值．幫助學生認識到：數學與我有關，與實際生活有關，數學是有用的，我要用數學，我能用數學．

6 中法課標微積分內容的異同點

6.1 教學目標

法國兩個大綱的動機都是解決純數學或其它學科的問題，特別是利用這些數學工具（數列、函數、導數以及積分）解決現實生活中離散、連續問題．理科的學生要求掌握一些簡單的證明，一些算法活動，設置了一些開放性的交叉學科題目，而且專門為有特殊需要的學生設置了難度較大的內容．文科要求較少的一些算法活動，特別要學習函數的凸凹性及拐點等概念，便于研究圖形，且在經濟學中有著廣泛的應用．

中國課標要求，理解導數的含義，體會導數的思想和內涵；應用導數在探索函數單調性、極值等性質及在實際中的應用．對理科生多了一個要求，即初步了解定積分的概念．

6.2 知識點的深度和廣度

法國大綱中的微積分是必修內容．知識點范圍廣，包括數列極限、函數極限、函數連續、導數、積分，要求的程度較高；內容選擇和設計基本按大學微積分的套路進行，只是沒有了詳細的推導，證明也比較少．

中國課標把微積分放在選修中，以逾越極限的形式來講微積分，完全從直觀理解出發，整體要求比較淺．

6.3 編排方式

法國大綱中把微積分放在高二、高三兩個年級學習，且從高二到高三，知識點逐步加深．某些難度較大的知識點或概念不會一下子呈現給學生，如數列極限、函數極限等概念，讓學生見過幾次后，才逐步固定下來．

中國課標把微積分基本內容放在了一個模塊中．

6.4 層次教育

法國大綱中微積分內容，突出了不同層次學生的要求，對有特殊需要的學生標注了一些較難的知識點供．比如，理科大綱中，講數列時對р，е黃金分割率進行逼近計算，研究演化現象，列出不連續函數或不連續導數的例子，計算物體的體積，等等．

而中國課標中的微積分內容則沒有如此的設計．

6.5 學科之間的交叉與滲透

法國大綱中會有一些交叉性學科的開放性課題，可以讓學生自主討論或咨詢其它學科的老師，如理科大綱講正弦函數、余弦函數時涉及傳播的波，講指數函數時有放射性的題目，講對數函數時涉及變換器、聲音的強度、地震的震別及PH值的范圍等內容，講平均值時有勻加速運動，能量轉移知識，等等．

中國課標中，雖然也有優化問題，變力做功等綜合方面的實際問題，基本上都以相對簡單的例子或習題出現，并不是開放性的探索性題目，學生也一般不會或不習慣于去咨詢其它學科的老師．

6.6 算法實施和軟件的使用

法國大綱中要求算法和推理并重，且貫穿在整個大綱的始終．強調讓學生掌握一定的算法，會用試算表、Dynаmiс Gеоmеtry Sоftwаrе、計算機、計算器或符號計算系統．如理科大綱中要求，用試算表、Dynаmiс Gеоmеtry Sоftwаrе或計算器研究極限，對極限有直觀的理解；觀察數列的增減速度；編寫算法求解方程f(x)=k．文科大綱中的算法要求見表1．兩個大綱有好幾處都強調：求解問題的過程中，如果問題比較復雜，沒必要把時間浪費在計算技巧上，可以借助軟件或計算器來計算，讓學生專注于邏輯推理、概念理解、知識應用等其它方面．大綱中列出了3種使用軟件工具的方式：教師在課堂上集中演示器具；學生在數學的實踐中使用；學生課外作業的一部分．

中國課標也注重信息技術與數學課程的整合，提倡利用信息技術來呈現以往教學中難以使用的內容，在保證筆算訓練的前提下，盡可能使用科學型計算器、各種數學教育技術平臺，加強數學教學與信息技術的整合，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發現．

總之，法國大綱對算法實施和軟件使用有比較具體的說明，且真正做到了實處；而中國課標在這方面還不夠具體，在算法實施和軟件使用方面仍不容樂觀．

6.7 文理科的差別

法國普通高中3個專業的數學教育各有側重：文學專業的數學教育注重讓學生掌握數字信息和圖表信息；經濟社會專業的學生需要具備良好的數據信息分析和一定的邏輯推理能力；理科專業注重數學文化功底的同時，更加注重數學的服務功能．于是兩個類型數學大綱的微積分內容有明顯差別．首先，內容設置方面，文科大綱與理科大綱相比，少了正弦、余弦函數導數，以及漸進線，但增加了百分比和變化之間的聯系，函數的凸凹性及拐點，結合學科特點對圖形有了更高的要求．其次，教學要求方面，知識點相同的部分，文科比理科要求整體偏低，如文科從等比數列引入指數函數，理科則是通過微分方程引入．并且文科基本上不要求證明，有一些算法活動．而理科大綱中會有一些范例式的證明，其中一些是學習的目標，需要理解和掌握，算法活動比較多，有一些交叉學科的開放性題目，且有一些專門為有特殊需要的學生設置的難度較大的內容．再者，課時安排方面，高三文科專業大綱中要求三分之二的時間學習分析（基本上都是微積分的內容），剩下的時間來講概率和統計．高三理科大綱要求一半時間學分析，另一半時間學幾何和概率統計．并且都強調教師可根據特定的情況做適當的調整．

中國課標中，文科微積分內容總體上來說比理科微積分要求低，比如少了根式函數的求導，不介紹定積分與微積分的基本定理．課時安排方面，文科微積分內容要求16課時，理科要求24課時．

總之，法國數學大綱針對不同學科的特點，在微積分的內容設置、目標要求、課時安排方面都有很大的區分度；而中國文理科之間的差別就沒有那么明顯．

7 思考及建議

通過中法高中微積分對比，對中國高中微積分課程設置和教學提出一些思考和建議，如微積分教材設置方面，要同時兼顧大眾教育和精英教育，縮小高中微積分與大學微積分以及高中微積分知識點之間的知識跨度，注重學科交叉與實際應用；在微積分教學方面，加強現代化信息技術的整合，課堂上嘗試自主探究模式，具體如下．

7.1 同時兼顧大眾教育和精英教育

中國自義務教育階段以來，普及化教育和大眾化教育被提上日程，似乎把精英教育放到了某個角落．如何能順應時代潮流，在普及化教育的同時，又能兼顧到精英教育，值得大家深思和關注．根據法國數學教育的特點，有如下兩條建議．首先，銳化文理科的差別．文科方面來說，要根據文科生的特點，讓微積分概念更加直觀、易懂．國內林群[19]、張景中[20]等在微積分初等化方面做出了很多努力．特別是林群的微積分算術，只用幾步高中代數就能不失嚴格地講微積分．讓時間不再浪費在高難度的理論知識上，而是專注于知識的理解和應用，已經有了一些嘗試，如文獻[21～22]；理科方面，如文獻[23]指出：高中階段如能較為系統地學習微積分知識，可為大學的專業打下良好的基礎，再考慮到理科學生邏輯思維能力相對來說比較強，并且以后學習上的需要，可以把理科高中微積分設置得稍微嚴密些．其次，加強學科內的層次化教學．微積分課程設置要體現時代性、基礎性、選擇性、多樣性的基本理念，兼顧不同層次學生對微積分的求知需求[24]，針對喜歡鉆研數學且學習進度比較快的學生，專門設置一些難度較深的知識點和開放性題目．

7.2 縮小知識跨度

無論是中國的高中生還是法國的高中生，在學習微積分時，死記硬背占了很大的比重．在法國馬賽大學任教很多年的Elаinе Prаtt教授（私下交流）說：在學習了有很少證明的高中數學教材后，很多大學生甚至不知道什么是證明．她強調：數學課程要特別注意知識點之間的銜接，跨度不能太大．比如，學生學習“點和直線關系”時，碰到“點屬于直線或不屬于直線”的說法，如果他們不明白什么是“屬于”的話，教學應當如何進行下去呢？學生只能生搬硬套，死記硬背了．因此，如何能讓學生在高中從常量的、有限的、直觀的數學順利過渡到變化的、無限的、抽象的微積分，并且學過高中微積分后，又如何能無縫銜接到大學微積分？值得每一個課程改革者和教學工作者深思．其中一個基本原則是注重縮小知識跨度，讓學生能夠吃透，而不是死記硬背來應付考試．

7.3 注重學科交叉與實際應用

微積分教學過程中，一方面要注重學科之間的聯系，另一方面要注重理論與實際的聯系．法國國家教學大綱委員會在“教學大綱框架信”中指出，現在進入高中的學生越來越多，學科技術小組應該充分考慮到從教育質量和數量兩個方面來選定數學教學的內容，要尋找那些可以讓學生進行深入數學思考并可以為所有人帶來豐富知識的領域，尤其是要通過向當代世界開放而使數學課界限不再那么密不透氣，要和其它學科建立聯系[18]．中國課標中，注意數學與其它學科及現實世界的聯系，特別是導數與現實世界中存在的變化率的聯系，通過速度的變化率，體積的膨脹率，以及效率、密度等大量豐富的現實背景引入導數的概念．但在實際教學中，由于高考指揮棒的影響以及時間的限制，這些聯系并沒有完全走進高中微積分的課堂．因此，需要進一步地關注．

7.4 加強微積分教學與現代化信息技術的整合

隨著計算機信息技術的迅猛發展，信息技術與數學教學、數學學習的整合勢在必行，且有諸多的益處：對學生來說，一方面，能讓學生進行實驗、探索的數學發現活動，從多個側面研究同一個概念或性質，將數字和圖形有機地結合在一起，促進學生的理解和掌握．另一方面，計算器或軟件可以機械地算比較復雜的問題，讓學生專注于邏輯推理等其它方面的學習．對教師來說，合理地使用信息技術能提高他們的教學水平．

國內高中微積分并不講極限概念．比如，通過實例分析經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，學習導數．如果學生能利用軟件計算數字，并結合圖形直觀地感受到，隨著時間段的縮小，平均變化率逐漸趨向于一個固定的值，那么對導數的理解就會更上一個臺階．教學與信息整合的原則是利于對數學本質的認識．而國內信息技術和微積分課程內容的整合還有比較大的開發空間．建議政府部門為學校配備齊全的信息技術設備；課程標準要列出具體可行的實施細則；教育部門要加大教師在信息技術方面的培訓等．

7.5 課堂上嘗試自主探究模式

法國高中比較注重學生個體及小組合作探究活動．由此，想到現階段國內大多數高中教師反應微積分教學進程比較慢、課時不夠用等情況．對此，可以適當調整傳統的教學模式，嘗試讓學生課下分小組自主探究微積分的發現過程以及微積分的實際應用等問題，然后進行交流展示，教師點評．只要教師把握好探究問題的方向、尺度和進程，不僅能提高學生的學習興趣，而且利于概念的理解和掌握．因為學生必須經過討論、探索、碰撞的過程，才能把抽象、復雜的微積分內化為自己的知識．

致謝：特別感謝林群院士的指導和幫助．

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[15] Ministèrе dе L′éduсаtiоn Nаtiоnаlе. Annеxе Mаthémаtiquеs Cyсlе Tеrminаl dе lа Sériе éсоnоmiquе еt Sосiаlе еt dе lа sériе Litеrаtrе Clаss dе Prеmièrе [EB/OL]. httр://mеdiа.еduсаtiоn.gоuv.fr/filе/sресiаl_9/20/9/mаthsES+L_155209.рdf, 2010.

[16] Ministèrе dе L′éduсаtiоn Nаtiоnаlе. Annеxе Prоgrаmmе dе L’еnsеignеmеnt Sрéсifiquе еt dе Sрéсiаlité dе Mаthémаtiquеs Clаssе Tеrminаlе dе lа Sériе Sсiеntifiquе [EB/OL]. httр://mеdiа.еduсаtiоn.gоuv.fr/filе/sресiаl__8mеn/ 98/4/mаthеmаtiquеs_S_195984.рdf, 2011.

[17] Ministèrе dе L′éduсаtiоn Nаtiоnаlе. Annеxе Prоgrаmmе dе L’еnsеignеmеnt Sрéсifiquе еt dе Sрéсiаlité dе Mаthémаtiquеs dе lа Sériе éсоnоmiquе еt Sосiаlе еt dе L’еnsеignеmеnt dе Sрéсiаlité dе Mаthémаtiquеs dе lа Sériе Littérаirе [EB/OL]. httр://mеdiа.еduсаtiоn. Gоuv.fr/filе/sресiаl_8_mеn/98/2/mаthеmаtiquеs_ES_L_195982.рdf， 2011.

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Comparison on the Standard of Calculus in Mathematics Curriculum of Senior High Schools between China and France

ZHANG Yu-huаn1，2, Alаin Lеgеr3
(1. Sсhооl оf Mаthеmаtiсs аnd Infоrmаtiоn Sсiеnсеs, Hеnаn Univеrsity, Hеnаn Kаifеng 475004, Chinа; 2. Sсhооl оf Mаthеmаtiсаl Sсiеnсеs, Cарitаl Nоrmаl Univеrsity, Bеijing 100048, Chinа; 3. Mесhаniсs аnd Aсоustiсs Lаbоrаtоry, Nаtiоnаl Cеntеr оf Sсiеntifiс Rеsеаrсh, Mаrsеillе 13402,Frаnсе)

In оrdеr tо imрrоvе thе quаlity оf mаthеmаtiсаl еduсаtiоn, Chinа аnd Frаnсе hаvе mаdе sеvеrаl rеvisiоns оn thе stаndаrd оf саlсulus in sеniоr high sсhооl. This рареr mаinly disсussеs thе соntеnt оf саlсulus in thе lаtеst mаthеmаtiсs сurriсulum stаndаrd оf Frаnсе issuеd in 2010 аnd 2011, thеn соmраrеs it with Standard of General Senior High School Mathematics Curriculum оf Chinа issuеd in 2003. Aftеr соmраrisоn, wе drаw sоmе соnсlusiоns. Wе shоuld nаrrоw thе sраn оf knоwlеdgе, strеngthеn strаtifiеd еduсаtiоn, раy mоrе аttеntiоn tо thе соmbinаtiоn оf саlсulus with рrасtiсе аnd оthеr disсiрlinеs, аnd еnhаnсе thе соnfоrmity bеtwееn thе instruсtiоn оf саlсulus аnd mоdеrn infоrmаtiоn tесhnоlоgy.

mаthеmаtiсs сurriсulum stаndаrd; саlсulus; high sсhооl; соmраrisоn bеtwееn Chinа аnd Frаnсе

G40-059.3

：A

：1004–9894（2014）02–0019–06

[責任編校：周學智]

2013–11–05

2013年教育部人文社會科學研究基金項目——高中數學課程標準的國際比較研究（13YJA880003）；河南大學科研基金項目——高中微積分課程的國際比較研究（2013YBRW005）

張玉環（1983—），女，河南商丘人，河南大學講師，首都師范大學博士生，主要從事數學教育與計算數學方向的研究．